CS
*njty — X — ^
Znxy — Zy
Comparant les expressions de cm et de es, on aura
cm CS ::
(nxy + X 4-^) t/
V/ (anxj/— X— y)*4-3(x— J')
D£ CRISTALLOGRAPHIE. Sj
Or, le second terme étant le tiers de l’axe commun au générateur et au rhomboïde secondaire, il en résulte que le premier terme qui représente cm est égal à d’où l’on conclura que
donc
/ a(/»jy4-.r4-y)
\/ i^nxy—x — y)* + à(x — j)* ’
/. 4(»ry4-J? + y)*
O (anxj^ — X— 3(x— jr)**
Mais Qp'* — 3^'*=a*=6, ou + Et
mettant à la place de g'* sa valeur,
4(>uy-|-x+'y)*
Donc
3(a/irjr — X —y)' -f- 9(x—
6(nxy4-^+y)*
• ./ a(njy-«-j4-y)*
’ V (anxy — x — ^^j^y + SCx — y)*
yy 4- 3(x— ^)»
i8. Les deux triangles qflf dhp (fig. aa ) , dont le premier est inscrit dans le second , de manière que ses côtés sont parallèles à ceux des triangles yzXy sont susceptibles de prendre l’un à l’égard de l’autre ime infmité de positions différentes, ou, ce qui revient au même, l’angle aho peut varier à l’infini, suivant les diverses valeurs de ar, jy et n. Or, il y a One position sous laquelle cet angle étant de 60'' , les angles du triangle afl sont situés aux tiers des côtés du triangle dhp^ et il]^existe de même une
innnité de rapports entre x^y et tï, qui satisfont à la condition qu’il ait cette mesure. 11 est facile de trouver une formule générale qui embrasse tous ces rapports. Car, dans le cas dont il s’agit, on a
ao : bo :: \/Z : i , ou
tinxy—X' — y : (i-^)v/3 :: V3 : 1.
anx/ — » — J' = 3x — Sj' J
ce qui donne
2X — V Tl •
xy
Nous verrons plus bas l’utilité de cette formule.
ig. Cbercbons encore l’expression générale de rt, c’est-à-dire de la ligne rz prolongée jusqu’à la rencontre de hp.'
Nous avons cm-xx. à cause des triangles
semblables C/7Z&, hpr^
cm ou : hc 'î ao • ah ao :
aTixy — X — Y * \f{p‘nxy — x — 3(a? — y')* j
d’où l’on tire, en mettant à la place de sa
valeur '
Z{(^2nxy — X — yY -f- 5{x —
bc:= 2
Mais
\^nxy — X -\-yJ ’
Vs J
doae
lilais
ou
br ou bc—cr=
anxy—f —
bo I ao •• br I rt ,
i^—y) V 3 : anxy — X —y : :
^£±3Lv/j;«=î±2’.
anxy — x — y ^ x — y
Ce résultat fait connaître que la ligne rt est une constante , pour un même rapport entre x et y ^ indépendamment de toute valeur de n.
20. 11 ne sera pas inutile d’entrer ici dans quelques détails sur les diverses positions que prennent les faces secondaires à l’égard de celles du générateur , et sur les variations qui en résultent dans l’assortiment des deux triangles afl, dhp, à mesure que le rapport entre x et y restant le même , la quantité n augmente ou diminue. Soit ux (fig. aS) la même projection du générateur que figure a i , et soit ef (fig. a5 ) la même ligne de départ relative au décroissement qui agit sur l’angle a. Soit de plus an la ligne qui donne la valeur de n, auquel cas le triangle efn sera parallèle à celle des faces secondaires qui est tournée vers la face azuy du générateur. Concevons que la position du triangle efn soit celle qui se rapporte à l’assortiment des deux triangles que représente la figure 23. Soit enfin ux (fig. 26) une autre projection du générateur, et ef la ligne de départ déjà indiquée. Si par le point a nous menons at
4a TRAITÉ
parallèle à ef., jusqu’à la rencontre du prolongement de la diagonale j'r, U est évident que la face produite en vertu du décroissement passera par at, d’où il suit que le point t est le même que Bgure 22. Gîncevons que la face dont il s’agit passe en même temps par tô (fig. 26) , qui, d’après ce qui a été dit, sera la même ligne que figure 22. Imaginons maintenant que la valeur de n diminue et représente successivement ' des décroissemens dont la mesure augmente dans le sens de la liauteur, en sorte, par exemple, que dans un premier instant le triangle efn prenne la position efn. La face produite continuera de passer par at (fig. 26), mais la ligne tb suivra une direction telle que tb\ qui s’écartera du point r, en restant sur le prolongement du plan mené par yzar ( fig. 26 et 22); et si l’on suppose que n continue de diminuer , la ligne tb' passera à d’autres positions encore plus éloignées de r, telles que tb"^ en sorte que la face produite coïncidera, dans ce dernier'cas, avec les lignes at et tb''. Il suit de là que le point t est commun à toutes les faces secondaires qui correspondent aux différentes valeurs de n, et c’est pour cela que la ligne rt est une constante , ainsi que nous l’avons démontré par le calcul.
Maintenant, supposons que pendant les variations de n le triangle efn ( fig. 25 ) soit parvenu à la position efrJ'^ qui .soit telle que l’on ait 01/2"= af. Dans ce cas, la face produite cessei’a de regarder la face azuy du générateur, mais elle sera tournée vers l’arête az^
en même temps le côté dp du triangle pdh (fig. 33) se sera mu autour du point t, de manière à prendre une direction perpendiculaire sur la ligne ca ; et il est iàcile de concevoir qu’alors le décroissement pourra être assimilé à un décroissement ordinaire qui agirait par renversement sur l’angle yaxy du genre de ceux dont nous avons parlé ( 1. 1, p. 3i6).
Au-delà du même terme, n continuant toujours de diminuer, le triangle efn prendra de nouvelles positions telles que efn'", et lorsqu’il sera arrivé à la position efn"', en sorte que l’on aura o/*""=oe, le côté dp sera devenu parallèle à xz , comme on le voit ( fig. 37 ) , et alors le rhomboïde pourra être conçu comme le résultat d’un décroissement direct ordinaire sur l’angle a (fig. a5) du générateur. Il en résulte que si, dans le rapport àe kp' (p. 3g), on fait ar=3 on trouvera ^’.p' y/» : v/,3,
ce qui est le même rapport auquel on parvient par les formules relatives aux décroissemens ordinaires. {Toyezp.^.)
Reprenons l’hypothèse dans laquelle l’effet du décroissement est représenté par la figure 33 , et suppo^ sons que la valeur de n , en partant du terme qui répond à cette hypothèse, aille au contraire en augmentant. Les faces du rhomboïde approcheront toujours davantage de coïncider avec celles du générateur, et en même temps l’angle phr qui croissait tandis que n diminuait, deviendra toujours plus petit. Au-delà d’un certain terme, la ligne rt sortira
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<lu triangle dpà, comme on le voit fig. 28, et coupera le prolongement de dp, de manière à conserver constamment la même valeur.
ai. J’ai supposé, pour plus grande simplicité, que les décroissemens intermédiaires n’agissaient que sur deux angles solides opposés du cube qui fait la fonction de générateur. Mais dans la réalité , ils ont lieu également sur tous les angles solides , à cause de la symétrie de la forme à laquelle ils se rapportent , et c’est ainsi que nous les considérerons dans les applications suivantes. Parmi les variétés qui offrent des exemples deces décroissefnens, je choisirai d’abord celle que je nomme yèr sulfuré quadriépointê , et qui est représentée figure 29. Son signe rapporté au noyau (fig. 17, pl. 82 ) est
MP(a'“B*G‘)(ÀB'C*) (A“G*C*)À.
MP /* f f d
Ainsi, dans le cas présent, on a x=2,^=i,n=|. Incidence de M sur f, de M' sur y'", et de P sur f' , 1 43'* 18' 2" ; de M sur y"' de M' sury*, et de P sur f", io5‘*3o'4^^; de M sury'", de M' sur y'', de P sur f, de c? sur /, /' ou i57^47^33" (1).
22. Si l’on suppose que les facettes d deviennent nulles, et que les faceltesy,y^,y^', etc., se prolongent jusqu’à se toucher par leurs angles 7^, e, ou jusqu’à
(1) Je donnerai dans un instant la manière de trouver ce» angles par le calcul.
ceqiie les faces P, M, M', se trouvent converties en quadrilatères, on aura une autre variété, qui est très rare ( fig. 3o) , et que je nomme Jer sulfuré triacontaèdre. Les faces P sont des rhombes, et les faces y, y', etc., des trapézoïdes irpéguliers. Le signe ra[>porté au générateur (fig. .32) est semblable à celui
de la variété précédente, en supprimant A. Il est de
même inutile de répéter ici Fiiidication des angles que forment entre elles les différentes faces. Mais je vais exposer la méthode du calcul qui conduit à la détermination de ces angles, ainsi qu’à celle des angles plans.
Pour avoir l’incidence dey sur y' ou sur y", servons-nous de la figure 3 1 , qui est la même que la 30', et traçons les diagonales mm, min' et m'nik' , des trois trapézoïdes dont il s’agit , c’est-à-dire de ceirv qui sont situés autour de l’angle solide e. Le triangle mm'm' sera équilatéral , puisque les points m, m', m', considérés relativement au générateur (fig. 3a)y sont placés tous les trois d’après les mêmes condilipns. Donc le solide intercepté par le triangle mrtiSiri' ( fig. 3 1 ) peut être envisagé comme la partie supé*rieure d’un rhomboïde , que l’on aurait divisé suivant un plan mené par les trois diagonales horizontales situées du même côté. Faisant donc x:=2,y = i , et n = 2 , dans le rapport entre les demi- diagonales g', P de ce rhomboïde , on trouve
g':p' >/ïâ : Vî, «t 2p'*:g'*-^p'*:: 14:11,
ce qui donne pour l’incidence de deux quelconque^ des trois feces situées autour de l’angle z (6g- 3o), i4i^ 4?^
Si l’on suppose Une perpendiculaire menée du milieu d’un des trois côtés m'/n, mm', ou m'm" ( fig. 3i ), sur l’axe de la pyramide mcnini', il est facile de voir que l’angle formé par ces deux lignes mesurera l’iucidence de l’uu quelconque des triangles mcm' , mcni', rricni' , sur la base mm'rrl', et que le supplément de cette incidence donne celle de d sur fif' ou f" (fig. 29). Or, la perpendiculaire dont il s’agit est à Taxe
:: Vi« : V3 :: \/6 : 1,
d’où l’on déduit 157*^47^ 33" pour l’incidence proposée.
23. Cherchons maintenant celle de la face /* (fig. 3o), prise à la droite de x, sur les laces P, M, M'. Soit bple cube auquel appartiennent ces trois faces. Menons les lignes hy, fy, fh, de manière
que cy , ch, cf, soient entre elles comme x ,y et ^ ^
ou comme les nombres 2,1 et l-. Menons de plus les lignes ce, cg, co, perpendiculaires l’une sur hy^ l’autre sur Jy, et la troisième sur fh, et enfin les lignes^/, gh etoy.
11 est facile de voir que cfe sera semblable au triangle mensurateur qui donne l’incidence de f
sur P (fig- 3o), que gch (fig. 33) sera semblable à celui qui donne celle de la même face sur M (fig. 3o), et que ocy ( fig. 33 ) sera semblable à celui qui donne celle de la même face sur M' (fig. 33 )j d’où il suit que l’incidence de f' sur P ( fig. 3o ) sera le supplément de l’angle cef (fig. 33), celle de f' sur M le supplément de l’angle cgh^ et celle de /'sur M' le supplément de l’angle coy^ ou, ce qui revient au même, la première incidence sera égale à l’angle cfe-\- 90^, la seconde à l’angle cZ/g'+go'*, et la troisième à l’angle cyo -j- 90**.
Or,
Cf.ce-.-. Cf-, r : -7^=
Il n’est peut-être pas inutile de remarquer que ce rapport est le même que celui rpii existe entre les deux demi-diagonales p' et g' du rhomboïde auquel appartiennent les faces qui, dans le dodécaèdre pentagonal (fig. i5, pl. 3a), se réunissent trois à trois autour de cliaque angle solide du générateur, ainsi qu’on s’en assurera en mettant le nombre 2 à la place de ra, dans les expressions — n*-f-2/i* — -n-f- t
et de ces demi-diagonales (p. ji 6).
lien résulte que l’angle ndp, par exemple, étant de io6*^ 36' 5" (p. 22 ) , l’angle cfe ( fig. 33 ) , égal à sa moitié sera de 53^ 18' 2", et par conséquent l’incidence de j/ sur P (fig. 29) sera de i43‘*i8'2".
D’une autre part,
cy^
ch Icg'Cfig. 33) l’.ch: , J ■ ■ ; ; 1/3: «/â ,
ce qui donne pour l’angle c/tg 3a‘^ 1 S' 20" j donc l’incidence dey^ sur M= 1 22^ 1 8' ao" ( fig. 29 ).
Enfîn,
<y:co(6g.3.)::cx:-^::.:p^.;;v/73;, j
d’où l’on conclura que l’angle c/o est de i5‘^3o'4'S et l’incidence de/^ sur M égale à lo5^3o'4’^.
24- Cherchons encore l’incidence de /' sur à l’endroit de l’arête x (fig. 28 ). Soit PMM' (fig. 35) la même projection, auquel cas ôal/i, hceh répondront aux deux faces f',f" (fig. 3o). Menons le plan tne ( fig. 35 ) parallèle à P , qui est censée être située horizontalement. Soit tne (fig. 36) ce même plan, et bath, bceh les trapézoïdes déjà représentés ( fig. 35). Menons te (fig. 36) , et du milieu x de cette ligne élevons la perpendiculaire xr jusqu’à la rencontre de bh. Menons ensuite nx, puis xz, perpendiculaire sur bh, et joignons les points /, z , par une courbe droite. L’angle tzx sera la moitié de l’incidence proposée.
Or , il est aisé de voir que
nx : rx ;; ch 33) :: 1 : |.
D’une autre part ,
nx : tx (fig. 36) ;; cA :c^ (fig. 33) :: i :s.
Soit nx=ii( fig. 36)3 nous aurons et tx= a.
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Maintenant
rn— v/(«a:/-h(r3r)‘ = v/ ‘ •
xz-
Donc
• tx ' xz II s/ï3 î 1 ,
ee qui donne pour l’angle tzx 74** 29' 55”; donc l’incidence de f' sur f' à l’endroit de * ffig. 3o) est dei48«ï59'5o”.
25, Avant de passer aux angles plans des trapézoïdes f, f'^ etc., proposons-nous de trouver un rapport qui nous sera utile pour la détermination de ces angles, savoir, celui qui a lieu entre les dimensions du générateur, et celles du cube qui résulterait du prolongement des rbombes P, M , M^, jusqu’à ce que toutes les autres faces eussent disparu.
Soit (fig- 3i ) ce dernier cube, et omlg, hknr ^ les trois rbombes qui répondent à P, M, ]VP (fig. 3o). Ayant mené par les milieux des côtés hd, fic,cdy etc., les lignes ps, B’fJk, et ensuite la ligne Aff , cberchons le rapport entre la demi-diagonale i7 de chaque rhombe , et la moitié is du côté du cube. Soit iszs=a, et il=su. Le triangle Igi étant semblable au triangle yhc ( fig. 33 ) , nous aurons (fig. 3i) gi=xjilz=t^u, puisque ch (fig. 3i)=^cy. De plus , si nous menons par le côté gl du rhombe oglm un plan xutq , qui aille toucher le sommet h du rhonrbe hknr, ce plan répondra à la face bceh tf. 4
5o TRAITÉ
(fig. 35), et le triangle hd-g (fig. 3i ) dont le côté Ihg coïncide avec le plan xutq, et dont les côtés /tS-, sont jierpendlculaires sur crf, sera semblable au triangle fch (fig. 33).Doncpuisqueyb:cA::f :i ::a:3, on aura aussi A3- ( fig. 3 1 ) : 2 :3 j donc
>3- — yh : 3-j ; : 2 : 3 ,
ou
d’où l’on tire u={a. Donc il:=-^iu=lu. D’après ce résiütat , il serait facile de construire le triacontaèdre avec un cube donné, en traçant d’abord sur ses diflërentes faces les rbombes omlg, hicnr, etc. , puis en faisant passer par les quatre côtés de chacun d’eux des plans tangens aux angles aigus des rbombes tracés sur. les faces adjacentes.
Pour continuer la solution du problème, menons par le point d la ligne du parallèle à xs, puis la diagonale ôc, ensuite la ligne cl perpendiculaire sur xs, et enfin la ligue tl. Pour plus grande simplicité , désignons par l’unité la demi-diagonale bi. jNous aurons
aô=V^2, Vî==*^>
gi = \/32.
Maintenant , les triangles ilg , slu , sont égaux et semblables; donc z/s Vjî* Mais dtf étant pa-
rallèle à la direction du décroissement qui a lieu vers ' l’angle c , op a
J=idb=V'ï=V'il;
DE CRISTALLOGRAPHIE. 5i
donc
eu : us 4 * * > et c« : es 4 t 5 ;
donc aussi çy : d'.l ^'.5. Mais cy étant une perpendiculaire menée du sommet du triangle rectangle deu sur l’hypoténuse , on a
cd.cu
Donc la proportion cy\cl'.l^'S devient Vjtc/”4*5'î donc cl=\/ 1.
Le triangle clt est semblable au triangle cef (fig.33)j donc
cl : Cf (fig. 3i ) :: ce : c/(fig. 33) 3 : (p. 4? ) >
donc
VI • et 3 ' V5 5 donc cf=s= VH- D’une autre part
a?d = tts=V5Ç, 6d= V2= VU;
bxovibd — cfof = (8 — i)VI|=7Vp^-
Mais
cs = ica=:f Vî«=5 Vrï;
donc
CS : ôa: 5 : 7.
Or, les triangles semblables ctTs, arTTÔ, donnent CS • bx cv • hTT
donc
C7T ' bT( 5
donc
C7r=-^ic=-^. 2 = 1 X I , et cfou V'f|- = | Vi*
Et parce que ci— i et c/* = v/-j , on aura
c?r^^ci et c/=|cft(i).
Soit maintenant ycbv{^^. 34) la coupe principale du cube, indiquée par les mêmes lettres (fig. 3i ). Soient aussi vr, i, /, fc (fig. 34) les mêmes points que figure 3i. Menons by (fig. 34) qui passera par le milieu de l’axe cvy et ensuite 7rt. Les parties c/*, ci , des lignes cy ,cb, étant les moitiés de ces lignes , aveu lesquelles elles sont dans le même rapport, il est évident que îTf est parallèle à by . Donc
Mais
ccù : c^f. :: ctt ; bc.
C7r=\ci—-^bc-^
(i) J’ai supposé que la ligne cl, perpendiculaire sur xs, tour chait le rhombe omlg', c’est ce qu’il est facile de vérifier. Car soit h le point où cette perpendiculaire rencentre xs , auquel cas elle sera désignée par ik. Noiu aurons ]/f, puisque c’est l’expression trouvée plus haut pour cl.
As - t/Qs)--(cJ?-== V/^ —
Ponc gl o\i hx^ks-, donc les points h et l se confondeafh.
donc
’ ca = -^c4/.
Or, û) étant le point de l’axe par lequel passe le plan xstq (fig. 3i ), c’est-à-dire le point qui réjwnd à e (fig. 35), il en résulte que la ligne 4®(fig- ^4) est la moitié de l’axe du générateur; donc elle est à la moitié c4 de l’axe du cube P, M, M' (fig. 35 )
Donc les dimensions du générateur sont à celles de l’autre cube :: 7 : 12. 11 suit de là que la grande diagonale ac du rhombc abcdj qui est égale à la moitié du côté du cube P, M , M', est à la distance entre les points e, <, laquelle mesure le côté du générateur, dans le rapport de 6 à 7.
26. Maintenant, pour déterminer les angles plans de l’un quelconque abht (fig. 35) des trapézoïdes du solide secondaire , reprenons la figure 36 , et prolongeons d’abord les lignes nt, ne, jusqu’à la rencontre d’un plan vertical ksi qui passe par les points a , c. Ayant déjà ie, nx ,xz, xr et tz , menons ac, kl, ensuite su perpendiculaire sur kl, xu située sur le prolongement deux ,1^ parallèle à «a , et mb prolongée jusqu’à la rencontre de hj, puis la diagonale ah et ti perpendiculaire sur celle-ci.
1*. Pour l’angle ath. Si l’on suppose un plan coupant qui passe par les trois lignes ah, qh, aq (fig. 35), on pourra considérer la pyramide aqht comme la partie supérieure d’un rbomboïde, détachée par un
plan qui coïnciderait avec les diagonales horizontales situées sur cette même partie. Désignant doue ai ( fig. 36 ) par g, et ti par p' , nous aurons ( p. 45 )
g'==s/TS,p'=^\/^,et g'* -h-/* : :: 25 : 1 1 .
Or , ce rapport étant celui du rayon au cosinus du petit angle du rhoinbedoutle triangle ath représente la moitié supérieure, on en conclura que l’angle
2*. Pour l’angle ahh. Le plan tne étant parallèle au plan abc, l’angle abh sera le supplément de l’angle tnb. Cherchons ce dernier angle.*Soit tne ffig. 37) le même plan que figure 36, et nx, xr les mêmes lignes. Menons tr, er, ensuite r<r perpendiculaire sur tn , puis xc. Désignant tx par 2 et nx par 1, comme ci-dessus (p. nous aurons de
même xr=j, et m= V-^. Or,
tn=y/{txy 4- («xJ* = = n/5*
Donc
Déplus,
ro- = v/(arr)*4-M‘ = i
donc
rnZ r7'A v/65 : v/Ië*,
ce qui donne
' rnT ou tnb (fig. 36)=68‘'9' i6’^;
donc
abh = 1 1 1** So' 44^^-
3*. Pour l’angle /Aft. La détermination de cet angle était celle qui souffhrit le plus de difficulté. Nous la ferons dépendre du rapport entre tA et tz perpendiculaire sur As. Nous avons déjà eu (p. 4q)
ix I xz •• \/T3 : 1.
Désignons mamtenant par l’umté la demi-diagonale de chacune des faces du générateur. Dans celte hypothèse, te étant le côté des mêmes laces, nous aurons
Vî : *2 •• \/i3 î I J
donc
xz = \/5; donc
tz ou \/{tx)' -f- (xz)* = V^.
Reste à trouver l’expression de th. Nous avonS' oc : :: 6 I 7 (p. 53-).
Mais
te — y/li\ doncnc=fVzj donc a7n=|v/a.
D’une autre part , hm=i\/ {myY + {hyY ,
my=3-j(fig. 3i)=ïcd=ïps=o/=ac(fig. 36),
Ay=;A3-(fig.3i)=/»=io=ïoZ=îac (fig. 36)
donc
AOT = V^f|.24--^.2=v/^^ . 2 ,
ah =\/(/im)* + (aTO)*= •2-h:^.2 = \/||-2 ,
Ai = -J aA =
Mais
hi'.htv.gi Vg'*+W* : : Vi 8+ 7 :: \/ï8 :
(voj'ez p. 54), ou
Vîi *• A/ :: v/i8 : V^j
donc
donc
ht : te :: \/|| : ^97^ : \/686,
ce qui donne thb = 57^0' 5o",
Nous aurons donc , en résumant ,
atk=.i >6^6' i4'^j abh=:i 1 i'^5o'44^^ j thb==5'j^o'5o'''.
La différence entre la somme de ces trois angles et 36o^, donnera 75^2' 12", pour la mesure du quatrième angle tab. J’ai cm devoir donner à la Uxéorie du triacontaèdre de la nature, tout le développement ' nécessaire pour montrer jusqu’à quel point la forme de ce soüde s’écarte de la symétrie à laquelle il semble qu’on aurait dû s’attendre , en considérant qu’elle est le résultat d’un ensemble de décroissemens uniformes , dont les effets se combinent avec les faces d’un noyau qui' est lui-même remarquable par la régularité de sa forme.
27. La Géométrie a aussi son triacontaèdre, dont il m’a paru intéressant de foire le rapprochement , avec celui dé la Minéralogie. Sa forme , dont on voit la projection (fig. 38), est symétrique, en ce que toutes ses faces sont des rhombes égaux et semblables. Parmi ses divers angles solides, au nombre de trentedeux , vingt, tels que a, sont formés par trois plans , et les douze autres , tels que s , sont composés de cinq plans.
L’idée de ce sobde, dont il ne parait pas que les géomètres se soient beaucoup occupés , s’était présentée à Romé de l’isle, à l’occasion du triacontaèdre du fer sulfuré, qu’il regardait comme ayant la même régularité; et il pensait que pour le construire il fallait foire dans le dodécaèdre régulier des coupes qui, en passant par toutes les arêtes et eu même temps par le centre, détacheraient douze pyramides pentagonales ; puis placer ces mêmes pyramides sur les faces d’un second dodécaèdre semblable au premier (i). Mais les géomètres qui en feront le calcul verront que, dans cette hypothèse , les pyramides seraient trop alongées pour que les faces de chacune se trouvassent de niveau avec celles des pyramides adjacentes, en sorte que les soixante triangles se réduisissent à trente rhombes. Tous ces triangles formeraient, au contraire , des angles rentrans.
(i) Grbtallo^apliie , t. III, p. a54, note io5.
Il est cependant possible de construire le Iriaconiaèdre symétrique au moyen du dodécaèdre régulier. Mais, pour y parvenir, il faut tronquer celui-ci sur toutes scs arêtes, par \ des plans également intdinés sur les deux pentagones qu’ils entament, de manière qu’il ne reste plus rien de la sur&ce du dodécaèdre.
Car chaque arête de ce solide étant commune à deux pentagones adjacens, il est visible que les soixante bords qui termineraient les douze pentagones considérés séparément, se réduisent à trente arêtes, lorsqu’ils sont tous réunis •, et comme les points qui se correspondent sur toutes ces arêtes sont à des distances égales du centre , le sobde qui résulte de leur retranchement doit avoir tontes ses faces semblables et disposées régulièrement autour du n»êrac centre.
On peut aussi faire dériver le triacontaèdre dt < l’icosaèdre régulier, en tronquant celui-ci sur toutes ses arêtes , d’après les mêmes conditions. Nous donnerons dans la suite une autre construction du , même polyèdre, à l’aide d’un cube pris pour générateur.
38. La recherche des angles du triacontaèdre symétrique , dont nous allons maintenant nous occuper, servira à développer plusieurs propriétés intéressantes de ce solide. Mais avant de l’entreprendre, rappeloiis-uous un rapport qui a été délerininé plus haut (p. ao), et qui consiste en ce que dans ua pentagone régulier abpbi ( fig. 89) le rayon ci est à
la médiane cd de ce même rayon divisé en moyenne et extrême raison, comme 3 : V^5 — i.
Cela posé, ayant mené la diagonale <i/?, la ligne h' n qui passe par le centre, le côté in du décagone régulier inscrit dans le même cercle, et enfin cf perpendiculaire sur in y cherchons d’abord les angles de chacun des rhombes du triacontaèdre. Concevons un plan coupant ab'pbi (f^. 38), qui intercepte la pyramide pentagonale dont le sommet est en s. Soit b'sb ( fig. 4o) cette même pyramide. Menons la hauteur SC y les deux rayons ci , cb , puis sr perpendiculaire sur biy et enfin cr.
Le triangle isb est évidemment la moitié d’un des rhombes du triacontaèdre. Or, l’inclinaison de chaque plan sur les deux faces dont on vient de parler, par exemple, celle du plan tangent à l’arête pr (fig. i5), sur les deux pentagones pdnarypcltr, serait égale à l’angle ykx, dont le complément kxy mesui’e la moitié^ de l’incidence de ces pentagones l’un sur l’autre. Donc si nous considérons a/ôpô' (fig. 4o) comme un des pentagones du dodécaèdre qui, dans le cas dont nous venons de parler, serait inscrit au triacontaèdre, l’angle ers sera égal à l’angle ykx ^ fig. 1 5 ) ; et par conséquent le rapport entre cr et es est censé connu. Donc ayant la valeur de cr, on trouverait aisément celle de es , et par suite celle de rs. Le problème se réduit donc à chercher cr et ir. Commençons par cette dernière quantité.
6o TRAITÉ
Nous avons ci î i« :: 2 : \/5 — 1. Faisons ci— a, auquel cas nous aurons in— De plus, cf
étant perpendiculaire sur in , on aura
Or , nous connaissons déjà in et de plus cre, qui est ^ale à ci. Reste à chercher cf.
( ofT = («•)•-( iff =(c0* - i (m)‘
=4-i(6~a V5)=4-i + iK''^
Donc ‘
V/5)(G-at/5)__5- v/5
et
Maintenant il est facile d’avoir <?r; car
cr±=V'(«)— 0>)‘= v/4— (~~-^-)=v/ —
Mais, d’après ce qui a été dit plus Iiaut,
cr: c5(fig. 4o)’-iy (fig. i5):j'x ::{/ 3-f- V5 : Và
(roj'ez p. 26.) Donc
