B = 8AH

D = 8CH-8.23 = 8^-f8^2*4-8*.a* + 8'.2%elc.

Ou voit par là que le terme général, dont le rang

ùûi

est marqué par n , a pour valeur

Pour ramener ce terme à une expression plus simple, je remarque que ses parties étant prises dans un ordre inverse , forment une progression géométrique croissante , dont le premier terme est 8a"~* , le dernier terme 8“, et la raison 4- On peut donc en calculer la somme par la formule connue, et analogue à celle dont nous avons fait usage (t. I, p. 77). Ou aura , en désignant cette somme par s.

Quant à la seconde série relative aux octaèdres , j’observe que, d’après le calcul précédent, on a les égalités

8a — 4-^= S. a’, ou a=^-f-a*,

86 — 4Bz=8.2‘, 6 = ®H-2%

8c — 40=8.2’, etc. c = — -f- 2’ , etc.

D’où l’on peut conclure qu’un terme quclconcpie du rang n de la seconde série est égal à la moitié du terme correspondant de la première , plus à 2". Donc, désignant par s' le terme du même rang c|ue 5 , ou aura

s'=is4-2"=f(8-— a")4'2-=|8"H-i2-.

Cela posé, soit a’ la sobdité d’un des petits oc-

tacdrcs composans : représentera la solidité

. d’un des tétraèdres correspoudans ; par conséquent , d’après les formules trouvées plus haut, la solidité de tous les octaèdres sera égale à (f 8*-{- et

celle des tétraèdres à (|8" — Le rapport de l’une des solidités à l’autre a donc pour expression

ia“ 8" — a» 4« — i *

Si l’on représente par h le nombre qui répond à la dernière de toutes les divisions possibles, ce nombre étant en quelque sorte infini, la quantité 4" sera elle-même infiniment grande par rapport à l’unité, <le manière qu’on pourra n^bger celle-ci sans erreur sensible J ce qui réduira l’expression précédente à

La solidité des octaèdres sera donc double de celle des tétraèdres; d’où il suit que si l’on suppose le cristal composé uniquement d’octaèdres , la quantité de vide sera à la quantité de matière à peu près dans le rapport de i à 3 , c’est-à-dire qu’elle en sera sensiblement la moitié. Si l’on conçoit, au contraire , que les tétraèdres existent seuls , la quantité de vide sera double de la quantité de matière; suppositions qui paraissent très admissibles, lorsqu’on fiiit attention à la grande porosité des corps.

79. Je vais maintenant exposer la manière de ramener la détermination des formes secondaires qui

DE CRISTALLOGRAPHIE. aaS

onl un octaèdre pour noyau, à celle des formes qui dcriveut du jjarallélépipcde. Mais je ferai remanjucr d’abord la différence que présentent l’octaèdre rectangulaire et celui que l’on nomme obliquangle , avec les autres, savoir, le régulier, le symétrique et le rhomboïdal, relativement au résultat que l’on obtient en appliquant deux tétraèdres sur deux faces opposées de chacun d’eux. Les trois derniers octaèdres ayant toutes leurs faces égales et semblables, le parallélépipède auquel ils passent par l’addition de deux tétraèdres, et que j’appellerai désormais parallélépipède substitué y conserve la même forme, quelles cjue soient les faces sur lesquelles on place les tétraèdres complémentaires. 11 en est autrement des deux octaèdres que j’ai cités d’abord, et dont les faces ne sont égales et semblables que quatre à quatre. Suivant que l’on pose les tétraèdres sur les Cices opposées de l’une ou de l’autre figure, on obtient deux parallélépipèdes dont la forme est différente , mais qui sont ^ux en solidité. Les octaèdres et les tétraèdres qui les composent sont d’ailleurs égaux et semblables chacun à chacun, en sorte que la différence dont il s’agit n’influe en rien sur la molécule intégrante, et laisse subsister l’imité de structure. La molécule soustractive seule est variable dans les diverses appHcations de la théorie, de même que dans les décroissemens intermédiaires relatif aux formes prismatiques, nous avons vu les petits parallélépipèdes dont se composaient les rangées sous-

traites, changer d’un résultat à l’autre, suivant les nombres d’ai’êtes de molécule intégrante retranchées sur les côtés de l’angle qui subissait le décroissement.

8o. La méthode que je vais développer ici étant générale, l’exemple que j’eu donnerai se rapportera à un octaèdre quelconque, que nous supposerons représenté par la figure 1 78.

Concevons un décroissement ordinaire qui ait lieu sur l’arête OL. On transformera l’octaèdre en un parallélépipède, de manière que cette arête soit commune à l’un et à l’autre solide , ce qui se fera en plaçant les tétraèdres complémentaires sur deux des quatre faces qhi ne contiennent pas cette ligue, comme on le voit fig. 179. Supposons que le décroissement rapporté à ce parallélépipède soit mixte, et qu’il ait lieu par trois rangées en largeur et deux en hauteur.

Désignant l’arête OL par D, on aura D (fig. 178) j)our le signe de ce décroissement.

On suivrait le même procédé à l’égard d’un décroissement sur le bord SL , qui est aussi commun à l’octaèdre et au parallélépipède SP (fig. 179}. Concevons qu’il ait lieu par quatre rangées en largeur , et désignons le bord SL par B , le signe du décroissement sera ( fig. 1 78).

Passons aux décroissemens sur les angles, et supposons d’abord un décroissement ordinaire sur l’angle LSO. On transformera l’octaèdre eu un parallélépipède , de manière que cet angle soit commun a

DE CRISTALLOGRAPHIE. aaS

Pun et à l’autre solide, ce qui ne pourra se faire qu’eu plaçant les tétraèdres complémentaires sur les deux feces 3?ïRS, LOP, comme on le voit fig. i8oj et si le décroissement dont il s’agit , rapporté à ce parallélépipède , a lieu par deux rangées en laigeur de petits parallélépipèdes semblables, il aura pour signe A, A

désignant l’angle LSO de l’octaèdre primitif.

La même méthode s’applique à un décroissement intermédiaire sur l’un quëlconque des angles du noyau. Si nous concevons un décroissement de ce genre qui ait lieu par exemple sur l’angle SLO (fig. 178), on placera dans ce cas les tétraèdres complémentaires sur les faces SOR, LNP (fig. 179), afin que l’angle SLO devienne l’un de ceux du parallélé-, pipède substitué; et si l’on suppose que, d’après la mesure du décroissement, il y ait deux arêtes de molécule soustraites sur le bord LS, ime seule sur le bord LO , et trois dans le sens de LG, en sorte que ce décroissement rapporté au parallélépipède se fasse par trois rangées en liauteur de molécules doubles , on aura pour signe représentatif, en désignant l’angle

SLO par E, et les arêtes LS, LO par B et D, (EsB'D*) (fig. 178).

D’après ce qui précède, on voit que tout l’artifice de la théorie consiste à supposer que le décroissement ait agi d’abord sur le parallélépipède substitué, et qu’ensuite ce parallélépipède ait repassé à la forme de l’octaèdre par le retranchement des deux tétraèdres it. i5

jjaG TRAITÉ

complémentaires. Ces tétraèdres peuvent être considérés en général comme une espèce d’échafaudage, à l’aide duquel on élève l’édifice de la structure, et qui disparaît ensuite autour de l’octaèdïe, de manière cependant qu’il doit être toujours présent à l’esprit de l’observateur qui veut se rendre compte du travail -de la cristallisation.

8 1 . Nous avons vu plus haut qu’un octoèdre peut être transformé en parallélépipède de plusieurs manières, suivant le choix que l’on fait des'deux faces sur lesquelles on place les tétraèdres complémentaires. Il en résulte qu’il y a aussi diverses manières de faire dériver d’un parallélépipède le décroissemenfque subit une même partie de l’octaèdre. Par exemple, si nous reprenons le décroissement ordinaire sur l’angle LSO (fig. 1 78) , que nous avons considéré ci-dessus, et qui avait pour signe A, et si nous plaçons cette fois les

tétraèdres complémentaires sur les faces OSR, LNP, comme on le voit figure 17g, ce décroissement, rapporté au nouveau parallélépipède, sera censé avoir lieu sur l’arête ST, et il aura pour signe représentatif 6 désignant l’arête ST. Supposons que l’angle

LSO subisse un décroissement intermédiaire qui , rapporté au parallélépipède fig. i8o, ait pour expression ( AB*C'), C désignant l’arête SOj si l’on rapporte

ce décroissement au parallélépipède lig. 179, Usera censé avoir lieu sur l’angle LST , et son signe deviendra (a a marquant l’angltt LST;., Parmi ces

diverses manières de déterminer le décroissement qui a lieu sur un angle de l’octaèdre , celle que j’ai indiquée plus haut mérite la préférence pour les raisons que je Vais exposer.

En suivant cette marche, on obtient cet avantage, que le décroissement que l’on çonsidère , soit qu’on le rapporte immédiatement à Eoctaèdre ou au parallélépipède substitué, ne cliange pas de nature, et conserve la même origine , l’angle sur lequel il prend naissance restant commim aux deux solides. Cette dernière condition, qui semble assez naturelle , ne pouvant être remplie que d’une seule manière , elle sert à mettre de l’uniformité dans la solution du proWème , et fait cesser l’indétermination qu’il offrait d’abord , lorsqu’on l’envisageait dans toute sa généralité. ’

La métliode prescrite a un autre avantage , qui consisLe eu ce qu’elle simplifie la notation des décroissemens, dans laquelle il n’entre que des lettres qui représentent les angles et les arêtes de l’octaèdre lui-même, en sorte que la figure de ce solide prinntif suffit à l’intelligence de tous les signes. On a vu au contraire, par les exemples cités précédemment, .que si l’on tait dériver le déci’oisscment d’un autre parallélépipède que celui qu’indique cette méthode, ou arrive à 4es expressions dont les termes se rap- , portent à des angles et à des bords, tels que a et (t (fig. 179), fpû n’appartiennent poipt- à l’octaèdre, ce qui .exige que l’on accompagne chaque signe

aa8 TRAITÉ

d’une figure particulière , qui en donne l’interprétation.

8a. Au reste, la position d’une fece, produite par un décroissement quelconque sur les angles, peut être déterminée d’une manière purement technique, à l’aide d’un signe qui se rapporte à l’octaèdre , et qui lasse connaître les valeurs relatives des quatre lignes, telles que Am, An, A/;, Açr (fig. i8i), interceptées par un plan parallèle à la fiice dont il s’agit. Par exemple , supposons ce plan tellement situé, que les nombres 3, i et a , expriment combien les lignes Am , An , A/?, renferment de parties abquotes des arêtes AE, AE', AE"j le nombre proportionnel correspondant à la quatrième ligne Agr ne pourra être que f ; car il existe entre les quatre nombres une relation nécessaire, que nous ferons bientôt connaître. Cela posé, le signe dont il est question sera A(B*B'‘B"*B'"|)j c’est-à-dire qu’U contiendra les lettres que portent les côtés de l’angle A, respectivement accompagnées d’exposans , qui marquent les nombres de parties proportionnelles, ou si l’on veut, de dimensions de molécide soustraites sur les mêmes côtés, par le plan parallèle à la face de décroissement. Je donne à ces sortes de signes le nom de signes techniques , pour les distinguer de ceux, qui fournissent immédiatement la mesure du décroissement , et que j’appelle signes théoriques. D’après le signe technique , on pourra toujours couper l’octaèdre par un plan parallèle à la face dont il dérive, et se faire une juste

DE CRISTALLOGRAPHIE. aag

idée de la position de cette Ëice. Dans les décroissemens ordinaires relatif à l’octaèdre, et dans tous ceux qui se rapportent au rhomboïde et aux autres formes, soit qu’ils agissent suivant des lois ordinaire ou intermédiaires, le signe théorique suffit pour déterminer les plans analogues à celui dont je viens de parler, et qui sont utiles, soit pour mettre les cristaux en projection , soit potur en exécuter des copies en bois. La réunion des deux signes , dans le seul cas qui Êisse exception , o0nra l’équivalent du double emploi , dont le signe théorique est susceptible partout ailleurs.

Le signe technique , qui donne la position du plan mpnq (fig. i8i), étant connu, il est facile d’en déduire le signe théorique. Mais parce que l’on peut considérer le décroissement qui produit une face parallèle à mpnq , comme agissant sur l’un des quatre angles mAp^ pAn^ nAg, qAm, il faut avant tout faire un choix entre ces divers angles. Or, on doit préférer, dans tous les cas, celui qui est formé par les deux côtés les plus longs , tels que Am, Ap, dans l’exemple qui vient d’être cité. Par là le décroissement agit en largeur dans le sens où sa marche est plus rapide , et son expression est ea général plus simple.

Maintenant, soit mpnq (fig. 182) le même plan que fig. 181 , et supposons que les valeurs relatives des lignes Am, An, A/>, Aq soient expi’imées par X, jr J s et U, en sorte qu’on ait le signe teelmique

Prolongeons le jikn mpnç jüsqù’à c<r qu’il coupe en r le côté AI dû tétraèdre complémentaire appliqué sur l’angle «Agr. Si nous représentons par û) le nombre d’arêtes de molécule contenues dans Ar, le signe théorique du décroissement rapporté à l’angle mAp seta (AB*B"*).

Cherchons Soit AEOI (fig. i83) le même parallélogramme que figuré 1 8a. Les trois points p,n,r étant en ligne droite, il doit y avoir une relation entre les nombres z,y et &>, qui mesurent comparativement les lignes Ap, A?i, Ar. Pour la trouver, menons pg parallèle à Ar, les triangles semblables Anr, png donnent la proportion

pg : Ar :: ng, ou Ag — -An * An.

Or, le nombre de parties proportionnelles contenues dans pg ou Ag étant le même que celui que renferme Ap, il suit de la proportion précédente tjue l’on a >

d’où l’on tire

Il peut arriver qu’après la substitution des valeurs numériques dcx, z et ù> dans le signe (AB*B"*)j les

exposans de B et de B!' aient des facteurs communs et des diviseurs particuliers. Mais en multipliant d’abord les trois exposans par les diviseurs des deux

DE CRISTALLOGRAPHIE. a3i

derniers, cl en les divisant ensuite par les facteurs communs avix deux mêmes exposaiis, ou tlonricra au signe sa véritable forme, savoir, celle par la(|uelle il fait connaître les nombres tl’arcles <le molécule soustraites en vertu du décroissement sui’ les bords de l’octaèdre primitif. . , .

L’équation «= ^ étant résolue par rapport ày,

conduit à la suivante ,^=— ; c’est-à-dire , que des

trois nombres z, y, eo, qui expriment les valeurs relatives des lignes Ap, An, Ar, celui qui répoiul à la ligne située en diagonale, est égal au produit des deux autres, divisé par leur somme. Ce résultat, qui estgénéral pour tout parallélogramme, va nous servir à calculer la relation que nous avons annoncée entre les quantités composantes d’un signe technique. Pour cela, reprenons la figure i8i , dans laquelle les lignes Am, An, Ap, Aq ont toujours pour expressions ar, y, Z, U, et menons les diagonales mn, pq,- qui se croiseront en o sur l’a.xe de l’octaèdre. Ueprésoutons pour un moment par p le nombre de parties proportionnelles contenues dans la ligne Aq. Les trois puirUs m,o, «étant en ligne droite, les quantités x, p, y seront liéés, d’après ce qui précède, par l’équation

et la même, dépendance existant, elilrv

Z, P et U, oa aura pareillement ,