J : CS :: V3 + V

donc

w = I = T (ci) j

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DE CRISTALLOGRAPHIE. ' 6i

propriété remarquable, qui peut être utile pour mettre Je triacontaèdre eu projection. Il ne s’agit que de tracer le dodécaèdre régulier, puis d’élever au centre de chaque face une perpendiculaire es moitié de ci y après quoi on tirera les lignes si, sb , sp, etc., qui seront les côtés des rhombes du triacontaèdre. Maintenant

w=v/(c«)*+(cr)*= \/ï ;

donc

rs'.irii ^ • \/ ‘•V' : \/ 5 — 5.

Mais ce rapport est le même que celui de ky :yx

(% i5), ou de y/3 H- V5 : Va. Car si l’on met ces deux rapports en proportion , et que l’on prenne le produit des extrêmes et celui des moyens , on

trouvera , de part et d’autre, Y/io + 2 \/5.

Concluons de là que le grand angle du rhombe est égal à l’incliitaison respective des faces du dodécaèdre régulier, qui peut être regardé, ainsi que nous l’avons vu, ‘comme le générateur du triacontaèdre, c’est-à-dh'e, que cet angle est de 1 16‘^,33'32".

2g. Cherchons encore l’inclinaison dè chaque face sur celles qui lui sont adjacentes. Si nous menons iu (fig. 4o) perpendiculaire suréc, il perpendiculaire sur bs , puis ul, l’angle ilu sera > la moitié de l’incli'* PaLsou proposée'. . ...

Sa

Or,

(-•7X.— (")*X(feQ*. / x.__5+ t/5 7^ y/5‘

= 4 ^ â~~)— (fi«)‘=(w)‘

= («■)• H- (c«)* = 4 -h I = 5 J donc

donc i7=2=c£.

Maintenant, sî nous comparons ensemble les triangles cui, iu/, nous trouverons, i*. qu’ils ont chacun un angle droit ritué en w j a*, que l’un des côtés adjacens à cet angle, savoir, tu, est commun à l’im^et à l’autre ; 3*. que l’hypoténuse »/ est égale à l’hypoténuse ci; donc les deux triangles sont semblables et égaux^ donc i/u= icu, lequel est de 72^ , c’est-à-dire, que la moitié de l’angle qui. mesure Tiucidenoe respective des faces du triacontaèdre est égale à l’angle au centre dans le pentagone régulier, qui est une des faces du dodécaèdre générateur, n en résulte que l’incidence dont il s’agit est exactement de .1 44*-

Quant à l’existence du triacontaèdre symétrique , eu Minéralogie, elle n’est pas plus possible que celle -du dodécaèdre et de l’icosaèdre réguliers. Clar on ne pourrait faire dériver le triacontaèdre que d’un noyau

cubique, en supposant à la cristallisation une marche analogue à celle qui a lieu pour le tnacontaèdre du fer sulfuré. Mais le rapport entre les deux demidiagonales des rhombes «/n, s'/», s"m" (fig. 38), dans le triacoutaèdre symétrique, exclut toute loi admissible de décroissement.

3o. Les effets de la loi intermédiaire (AB'C*) , qui offrent des trapézoïdes irréguliers , lorsqu’ils se combinent avec des faces parallèles à celles du générateur , prennent au contraire un caractère sensible de symétrie, en s’associant avec la loi qui donne naissance au dodécaèdre pehtagonal. La surface du solide secondaire qui en résulte, et dont on voit la projection (6g. 4i)> est alors composée de 24 triangles isocèles obtus^,/',/’', etc., dus au décroissement intermédiaire , et de 12 triangles isocèles aigus , e , e,e', etc., qui proviennent de l’autre décroissement. Cette variété, dont le signe est

BCG«G(A“B*G')(ÂB>C‘)(*AG*C*),

porte le nom àe fer suif uré pantogène , parce que toutes les parties du générateui' concourent à son origine, par les décroissemens dont elles sont les termes de départ. L’incidence de e sur/j la seule qui soit nouvelle dans cette variété, est de i62‘*58^ 34".

Ce qui précède suffit pour bien concevoir le résultat géométrique des lois auxquelles est soumise

la slniclure de cette même variété; mais il né seM pas inutile d’entrer dans quelques détails sur le m&* canisme intime de cette structure. Nous avons vu que les deux décroissemens qui donnentle fer sulfuré icosaèdre (fig. 19) sont censés avoir deux époques dHférentes, en sorte que celui qui se rapporte aux angles, agissant d’abord solitairement, a produit le triangle cTA€ (fig. 20) que je prends pour exemple, et qu’ensuite ce triangle, par l’intervention du décroissement sur les bords, est devenu le triangle pnm. De plus , les angles du premier triangle sont situés aux tiers des côtés du second, et les côtés de chacun des triangles font, avec ceux de l’autre, des angles de 60*^ et go*' ( p. 3o ).

Le fer sulfuré panlogène présente quelque chose d’analogue, relativement à la marche des décroissemens dont il dépend. On doit concevoir que celui qui est intermédiaire a commencé par agir seul jusqu’à im certain terme, de manière à produire autour de chaque solide e (fig. 4^) du générateur, trois triangles scalènes f, f f". Au-delà de ce terme le décroissement sur les bords s’est joint au précédent, et en même temps qu’il agissait de part et d’autre de chaque ligne a'c' comprise entre les trianet des autres lignes semblablement situées, tous ces triangles prenaient de l’accroissement, et ils ont fini par s'e convertir en triangles obtus isocèles, f" ,f', fX fig' 40 > limilès par les triangles aigus et pareillement isocèles e", e, qui résultaient du dé-

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DE CRISTALLOGRAPinE.

troissement sur les bords , et <[ui seraient devenus des pentagones, si les pre^iiers triangles n’en avaient à leur tour restreint l’étendue.

3i. JNous pouvons maintenant distinguer les époques relatives aux deux décroissemens. Si nous faisons passer un plan coupant par les points A, c (lig. 35) du triacontaèdre, les trapézoïdeséafA, bceh, deviendront des triangles isocèles semblables hf',f' (lig. 4 1 ), et il est évident que ahc ( lig. 33 ) représentera le triangle e' (fig. 4* point e, f ( lig. 35) étant

aux sommets de deux angles solides du générateur, et le plan.f/ze étant parallèle à P, il est aisé de voir que les points a, c', pris aux intersections des lignes oÆ, in, ch, en, correspondent aux mêmes points (fig. 42), lesquels sont restés fixes pendant l’accroissement des triangles f'', f, f. Soit A le. côté du cube P, M, M' (fig. 35), et a celui du générateur dontle.s angles solides sont situés aux points e, t, etc. (fig. 35). Les lignes a'e' , ac étant respectivement les mêmes que ed-,om (fig. i5), ou p'r',pr,el cesdernières étant entre elles dans le rapport i l 2 des lignes un, «X (p. 17), il en résulte que a'c' (lig. 35) = jac. Mais «c = î A (p. 45); doncac'= jA. D’une autre part A =~a j donc a'c'—fa. C’est-à-dire que l’origine du second décroissement répond au ternie où, dans le poljgone qui représente les grandes faces des lames de superposition , le côté jiarallèie à celui du générateur est égal aux | de ce dernier.

Maintenant les cotés du triangle qui forme la base

de la pyramide 4i) élant dans le sens des diagonales horizontales supérieures du rhomboïde qui résulterait du décroissement intermédiaire, et Jcs côtés du triangle formé par les diagonales horizontales du noyau faisant des angles de 6o*^ et 90*^ avec ceux du premier triangle, puisque ces deux triangles sont nécessairement situés l’un à l’égard de l’autre comme «TéA , mnp ( fig. 20 ), il faut que le décroissement intermédiaire soit renfermé dans la for-

mule 72=

(p. 4o), qui représente générale-

ment tous les résultats soumis à la condition dont je viens de parler. Or, si l’on fait a:= a,y = i , comme l’indique le signe (p. 63), on trouve 77 = |, ce qui est la mesui’e de la loi d’où dépendent les facettes y*', y' (fig. 4i")- suite nous offrira une autre loi, qui rentre dans la même formule.

Faisons x=jr ; nous aurons 77= i. Ce résultat se rapporte au cas où les trois fa(tes produites par le décroissement coïncident sur le même plan , ce qui a lieu daus l’icosaèdre (fig. 20).

Il arrive a.ssez souvent que ces dernières faces s’associent à celles de la variété précédente, comme on le voit figure 43. C’est alors le fer sulfuré triforrne , ainsi nommé parce que sa forme dérive de l’octaèdre régulier par les facettes d, du dodécaèdre pentagonal par les faces e, d, et d’un solide à 24 trapézoïdes par les faces y’, y'. On aura le signe de cette variété en

ajoutant A à celui du fer sulfuré pantogène. L’in cid

(leuce de d snvf, sur f ou sur/*, est de 157^ 4?^ 33".

3a. Je terminerai ce qui concerne le cube par la description d’une variété de fer suUiiré dont on voit la projection (fig. 44^j qui olii’e jusqu’à présent le maximum relatif au nombre de facettes observées sur les divers corps produits par la cristallisation. Cè nombre est ici de i34> Le signe est

mrP(A-B‘G-)(A*B*GO(A*B*G*XAB'G‘)(ÂB«C‘)

(ÂB'C*)(^AG*C'X‘AG*C')CAG*C')BBCCGî*G“G

(Afe'B3XAB‘C=>X»AC*G=’)À. (1).,

Incidence de P sur s, ou M sur s , et M' sur s" ,

f sur «, /' sur y, et/" sur i39‘^ 18' i3";

P sur y', M sur y, et M' sur y y 140^ 18' 38";

e sur re, e! sur n' , et e" sur , iG9>»i9M6^

(i) Les décroissemens qui donnent les facettes o", o\ o ,

pourraient être représentés d’une manière plus simple par A , *A , A* -, mais j’ai préféré l’indication du décroissement inter> médiaire, à cause de son analogie avec les autres parties du signe relatives aux facettes / et s.

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Les autres incidences se trouvent indiquées aux articles des variétés précédentes.

Si l’on considère la série des faces s, o' ,f, s', P, que je prends pour exemple, on remarquera que ceux de leurs bords qui forment leurs communes intersections, savoir , les bords 6, cT, A , v , sont parallèles entre eux; la même chose a lieu par rapport à la série des faces dont les bords com-

muns sont y, TT, 9", et des autres semblablement situées , ainsi que par rapport aux faces M, e', P , qui ont pour bords communs les lignes tr,v, Cj». C’est de ce parallèlisme remanpiable qu’est tiré le nom de fer sulfuré parallélique que j’ai donné à cette variété, qui n’a été trouvée jusqu’ici qu’au Pérou, dans le district de Petorka.