DU TÉTRAÈDRE RÉGULIER

87. On a vu, dans l’exposé de la théorie relative à l’octaèdre, que ce solide pom'ait être converti en parallélépipède, par l’addition de deux tétraèdres placés sur deux de ses faœs opposées. Si l’octaèdre est radier, les tétraèdres complémentaires seront euxmêmes réguliers , et le parallélépipède sera un rhomboïde aigu , ayant ses angles plans de 60^ et 1 30^, et semblables à celui que l’on voit (fig. 196). Ce parallélépipède représente la molécule soustractive, et on peut le substituer, comme noyau, à l’octaèdre, pour en Élire dériver les formes secondaires, par des décroissemens qui agiraient immédiatement sur ses bords ou sur ses angles.

Mais on connaît deux espèces de minéraux , savoir : le cuivre sulfuré et le cuivre gris , dans lesquelles le tétraèdre, qui n’est ordinairement que complémentaire relativement à l’octaèdre, devient la base d’un système de cristaUisation où il se montre qudiquefois sans aucune addititm de facettes , et où toutes les formes secondaires sont marquées de son empreinte. Or, en appliquant à co tétraèdre tout ce qui a été dit sur le résultat de la division mécanique

du rhomboïde dont il lait partie, on en oonclura que les molécules intégrantes sont aussi , dans le cas présent, des tétraèdres réguliers, qui seulement empruntent de leur ressemblance avec la forme primitive , un caractère particulier , et que les molécules sous- > tractives sont de même des rhomboïdes semblables à celui dont je viens de parler.

D’après cela , rien n’est si simple que la détermination des formes secondaires. Gir il est d’abord évi-

dent que les décroissemens qui agissent , soit sur l’angle eso, soit siu* les bords es , os ^ considérés dans le tétraèdre (fig. 197), ne sont point distingués de ceux qm se rapportent aux mêmes parties, dans l’hypothese du ‘rhomboïde pris pour générateur, puisque ces parties sont la même fonction dans les deux solides. Mais parce que. tous les angles du tétraèdre, ainsi que tous ses. bords, sont identiques, il est clair que les décroissemens 'qui ont lieu sur chacun des angles 0, o, «, et sur chacun des bords eo, or J es, s’assimilent aux premiers, puisqu’il suffit de changer la position’ du- tétraèdre , en le plaçant , par exemple, de manière que sa. face ors coïncide avec la face eor de l’octaèdre, pour que pe qui a été dit.de l’angle eso et des bords es, os, s’applique à d’angle oe«, et aux bords 00, es, qui, dans le déplacement du tétraèdre , ont été substitués aux premiers. La fig, 198 présente la notation du tétraèdre, qui se déduit des considérations précédentes.

.. 33. Je citerai d’abord, comme exemples, deux

DE CRISTALLOGRAPHIE. *3i

variétés de cuivre gris, que j’ai choisies à dessrin parmi celles dont les formes sont les plus composées , parce que les rapports de position qu’ont entre elles leurs diverses faces , fournissent des indications pour arriver à la détermination des lois de décroissement dont elles dépendent.

La première variété est celle que représente la figure 199, et que je nomme cuivre gris identique. £n examinant attentivement un cristal -de cette va*' riété, on juge d’abord, par le parallélisme qui a lieu entre les bords opposés des faces o, o, qu’elles sont des rhombes égaux et semblables. De plus , les quadrilatères /, /, sont sensiblement des rectangles; d’où il suit que leurs intersections, telles que y, *, avec les faces 0,0, sont parallèles entre elles. Enfin , le parallélisme a lieu encore d’une manière très sensible entre les bords par lesquels les hexagones r, r, coupent les rhombes 0,0; à l’égard des faces P, ’ comme elles n’anticipent sur aucune des autres, elles n’influent en rien sur leurs figures.

Concevons maintenant que les rhombes 0,0, qui sont au nombre de douze, s’étendent les uns vers les autres , jusqu’à ce qu’ils se réunissent par leurs bords, en masquant toutes les autres fiices. Il est visible qu’ils n’auront point changé de figure , et ainsi ils composeront la surface d’un dodécaèilre semblable à celui que j’appelle rhomboïddl. Il est facile de vérifier cette conséquence , à l’aide de la mesure mécanique , qui donne 120^ pour les incidences mu-

a5a TRAITÉ

iuelJes des faces o y o. Si nous supposozis que ce dodécaèdre passe à la forme de la variété que j’appelle étnarginée (Théorie du dodéc. rhomboïdaly fig. i5o)y les facettes qui remplaceront les bords de ce dodécaèdre y et qui répondront aux faces /y r, auront les mêmes positions que les laces 7iy ny du grenat émarginé , en sorte que la forme de la variété identique de cuivre gris ne diffère de celle de ce grenat que par le rapport de ses dimensions y qui loi donne un aspect assorti à celui du tétraèdre primitif} tandis que dans le grenat y le rapport correspondant porte l’empreinte du dodécaèdre y qui est le type de la forme.

Il ne s’agit plus que de déterminer 1^ lois de décroissement qui y en agissant sur différentes parties du tétraèdre y donnent les &ces Oy r et f.

i”. Pour les facettes o y o. Si parmi ces facettes nous choisissons comme exemple les trois qui appartiennent à la partie de la forme située vers le pointy, il est visible qu’elles naissent d’un décroissement sur les angles supérieurs des faces P, P’ du tétraèdre primitif y considérées comme celles d’un soropet de l'bomboïde. Désignons par j7y les demi-diagonales de ce rlmmboïdey ^ par n le nombre de diagonales soustraites en vertu du décroissement. Nous pouvons appbquer ici la f^mule

mu : au :: (n-f i) ^ V,

relative aux dccroissemens sur les angles suprii^

DE CBISTALLOGRAPHIE. »65

(l’un rhomboïde (t. I, pag. 3ii). Or, le rapport mul au est celui de la perpendiculaire sur l’axe dans le rhomboïde secondaire , auquel se rapporte le décroissement, et la partie de cet axe (pi’elle intercepte. Soient g' et p' les demi-diagonales de ce second rhomboïde, nous aurons^' : p' ît î i, comme

dans le dodécaèdre rhomboïdal. Donc la proportion précédente devient

ou

v/â : I ” (»+ 1) VI î Vm ;

d’où l’on tire n = i , et ainsi le décroissement a lieu par deux rangées.

2®. Pour les Êicettes r, r. Elles naissent d’un décroissement inverse sur l’angle A (fig. 198)* De plus , elles remplacent les bords supérieurs du rhomboïde au(juel appartiennent les êkæs o, o (fig. 199)» dans lequel :p' Vâ : I. Or, si nous appliquons au cas présent la formule relative à l’espèce de décroissement dont il s’agit , et qui donne

uy \au (t. I, p. 317),

le rapport uy • au sera celui de la perpendiculaire sur l’axe au tiers de cet axe, dans le rhomboïde o, o, et par conséquent' celui de Donc fai-

â54 traité

sant ^ :ï= I , et a = \/a4) comme dans le rhomboïde dont le tétraèdre représente le sommet supérieur, nous aurons

et

v/8 : 1 ::n4-i : (i— an) Va,

d’où l’on tire nz=j. Or, la quantité n exprimant le nombre de diagonales soustraites en largeur, qui est la moitié du nombre de rangées soustraites , l’expo^ sant du signe relatif au décroissement sera f . Si l’on substitue à ce décroissement son équivalent, sous la forme d’un décroissement intermédiaire, le signe deviendra (AB'B*).

3®. Pour les faces /, t. Elles ont , comme je l’ai dit , les mêmes positions , relativement aux rhombes o, o', que les faces r, r, à l’égard des rhombes o, o; d’où il suit que si Ifô unes et les autres se prolongeaient jusqu’à s’entrecouper , et de manière que la symétrie fut rétablie dans le solide qui en résulterait , celui-ci serait semblable au solide trapézoïdal dérivé du dodécaèdre rhomboïdal j et les deux faces / , , en

se réunissant , feraier t entre elles le même angle que les trianglesj'so, (fig. i46» Tliéorie du dodécaèdre rhomboïdal). Or, d’après les données que nous avons indiquées au même endroit, le sinus de la moitié de cet angle est au cosinus comme \/ 1 ^ •

' Remarquons maintenant que les faces /, l' (fig. 1 99)

DE CRISTALLOGRAPHIE. a55

naissent d’un décroissement sur les bords supérieur^ du rhomboïde, dont le tétraèdre représente le sommet correspondant; ce qui permet d’appliquer, au cas présent , la formule relative à l’espèce de décroissement dont il s’agit {t. I, p. agS), et d’après laquelle

fr' pr i: V^ii :i :: V(n-l-i)*4-f-(2« — 1}‘8 : a , '

OU

Il : I tî • a4;

d’où l’on tire

3/1* — 2/1 = 21, et

Cette équation, résolue à la manière de celles du second degré , donne /s = 3. *

Le signe complet de la variété qui vient de nous occuper sera donc

PBBA*A*AïAï.

PW «O • r

On trouve , dans le Tyrol , des cristaux de la même variété, dont la forme que représente la figure 200 ne diflfère de celle du dodécaèdre rhomboïdal émaiginé qui a été décrite plus haut (p. ipS), que par l’addition des facettes P , P , qui sont parallèles à celles du noyau. La symétrie relative à l’ensemble a prévalu sur celle qui ne se rapporte qu’à l’identité des parties sur lesquelles naissent des décroissemens similaires, ce qui n’a pas empêché que la

a55 TRAITÉ

forme n’ait conservé sur les quatre faces ajoutées à celles qui lui sont communes avec le dodécaèdre émarginé , l’empreinte du tétraèdre primitif.

Le cuivre gris est susceptible d’ofirir différentes formes, qui sont comme des sous- divisions de la précédente, et dont chacune résulte de la combinaison des ùices primitives avec des &cettes produites par l’une ou l’autre des lois de décroissement dont la variété identique offre l’assemblage. Je me bornerai à indiquer celle que représente la fig. aoi ,

dont le signe est PBÉ, et qui porte le nom de euit>re P*/

gris encadré. Nous avons vu que les faces /, r(fig. 199) de la variété identique, an^ogues à celles qui remplacent les bords du dodécaèdre rhomboïdal dans la variété émarginée de celui-ci , sont produites par deux lois différentes de décroissement. Cette distinction s’annonce dans la forme dont il s’agit ici , où les iàces /, se montrent séparément (f g.ao 1 ), au lieu de s’associer les feces r , r. Lorsque le décroissement a atteint sa limite, ce qui est rare, la forme devient celle d’un dodécaèdre à triangles isocèles (fg. aoa), dans lequel la partie qui enveloppe le noyau est composée de quatre pyramides, dont chacune s’ap plique par sa base sur une des faces de ce noyau. Le

signe est BÔ.

89. La seconde des variétés que J’ai annoncées, et que représente la figure ao3, porte le nom de

cuivre gris bifère , et a pour signe

PBBBBA*A‘A* A'.

Elle diffère de l’identique par l’absence des faces r, r (fig. 199), et par l’addition des faces y*, e. 11 existe une variété que j’ai nommée cuïVre^ris épointé, dont la surface n’est composée que des faces P, e (fig. 2o4); et si l’on suppose que ces dernières se meuvent parallèlement à elles-mêmes , en s’approchant du centre, jusqu’au terme où les angles je, je', se toucheraient , la forme sera celle de l’octaèdre régulier. Mais ordinairement les faces e different des faces P , en ce qu’elles sont beaucoup plus petites , et quoiqu’on puisse en obtenir de semblables en divisant le tétraèdre primitif, par des plans qui interceptent ses angles solides, parallèlement aux quatre triangles qui le terminent, on doit encore les distinguer de ces dernières , en les considérant comme résultant d’un de'croissemeut, ainsi que l’exige la nature du système de cristallisation.

Reste les faces y' dont le signe est B. Or, si nous

continuons d’assimiler le tétraèdre au sommet supérieur d’un rhomboïde, le solide qui résultera de

l’effet complet du décroissement B sera l’équiaxe de

ce rhomboïde. Donc , si nous désignons par g, p , les demi-diagonales de ce même rhomboïde, et par 5-',/?',

celles de son équiaxe , nous aurons

et .

c’est-à-dire que le solide secondaire est un cube.

Il existe une forme que représente la figure 2o5, et que j’ai nommée cuivre gris, qui résulte de la combinaison des faces de ce cube et de celles du tétraèdre primitif. On voit (fig. 206) la projection de ce cube, tracée d’après l’hypothèse où le décroissement aurait atteint sa limite.

U résulte de tout ce qui précède, que les J&ces du dodécaèdre émarginé peuvent servir de données pour déterminer leurs analogues , situées sur les formes qui dérivent du tétraèdre régulier. En ajoutant celles qui convertissent ce tétraèdre en octaèdre régulier, et celles qui donnent le cube, et qui se retrouvent les unes et les autres sur des formes originaires du dodécaèdre , on a un exemple remarquable de la corrélation qui existe entre les formes que j’ai désignées sous le nom de limites. Je reviendrai sur celte corrélation lorsque je traiterai des applications de la Cristallogra}}liie à la détermination des espèces minérales.

De la structure du dodécaèdre hi-pyrùmidal dans quelques espèces de minéraux.

90. Le dodécaèdre bi-pyramidal , tel que l’offre entre autres la cristallisation du quarz, semble, au

DE CRISTALLOGRAPHIE. aSg

premier abord, y faire la foiictioi^ de forme primitive, soit à raison de son aspect symétrique , soit en ce qu’il est divisible par des plans parallèles à toutes ses faces. Mais l’adoption du rlioniboïde comme noyau de ce dodécaèdre , qui n’est plus alors qu’une forme secondaire, quoiqu’elle ne soit pas démontrée, a du moins l’avantage d’offrir à la théorie, pour arriver à son but, un moyen simple et indépendant des diflicuUés qui naissent du mécanisme compliqué de la structure. Au reste, le vide qui resterait encore ici à remplir dans nos connaissances , si dans la suite de nouvelles recherches devaient amener ime manière devoir plus heureuse, est d’autant moins sensible, que la forme du dodécaèdre dont il s’agit n’appartient qu’à un petit nombre d’espèces minérales, et que le quarz , qui est remarquable par son importance, est en même temps celle dont les formes s’accommodent le mieux de l’hypothèse à laquelle j’ai été conduit par les observations que je vais exposer.

Soit ss' ( fig. 307) lui dodécaèdre du genre dont il s’agit. Parmi les 'six faces de l’uue des pyramides, choisissons-en trois qui alternent entre elles et avec celles de l’autre pyramide, telles que asb , csd, eafy d’une part , et hs'c , es'd, asfy de l’autre. Concevons que ces six faces se prolongent jusqu’à circonscrire exactement un espace. 11 est clair que le solide qui en résultera sera un rhomboïde (fig, 208) , d’où l’on voit que le dodécaèdre peut être considéré comme un rhomboïde dont on aurait retranché six tétraèdres.

aGo

par des plans qui, en partant de chaque sommet , tel que s, passeraient par les milieux a ^ b, c, etc. , des côtés inférieurs «A, nA, etc.

Rappelons-nous maintenant que , dans le cas d’un décroissement par deux rangées en hauteur sur les angles inférieurs d’un rhomboïde, le solide secondaire est exactement semblable au noyau, en sorte que, si le décroissement n’atteint pas sa limite , il restera des faces triangulaires parallèles à celles du noyau, et que si le décroissement s’est arrêté au terme où les faces qu’il a fait naître ont elles-mêmes la figure Inangulaire , le solide secondaire sera un dodécaèdre bi-pyramidal , analogue à celui que représente la figure 207 , et qui se trouvera uniquement composé de molécules rhomboïdales. .

Les choses étant dans cet état , imaginons que tous les petits rhomboïdes composans se transforment eu dodécaèdres, par le retranchement de six tétraèdres, comme je l’ai expliqué il n’y a qu’un instant. Concevons de plus que tous les petits dodécaèdres coraposans soient sous-divisés à l’aide de six plans analogues à ceux qui pass^aient par l’axe ss' , et par les arêtes obliques sa, sb, sc, s'a, s' b, s'e, etc. Ces, dodécaèdres pourront être alors considérés comme des assemblages de six tétraèdres , dont chacun aura deux faces semblables au triangle bsc , et les deux autres semblables au triangle scs'. Ces tétraèdres seront les molécules intégrantes, et la molécule soustractive sera le rhomboïde auquel passe le dodé-

Digitizôd by Go(

caèdre, par le prolongement de six de ses faces prises en alternant vers chaque sommet , et d’un sommet à l’autre.

Dans cette hypothèse, les dodécaèdres laisseront entre eux des interstices produits par la suppression des tétraèdres qui compléteraient les molécules soustractives. De plus, il est aisé de concevoir que chaque dodécaèdre adhère à ceux qui l’entourent par six de ses laces , qui coïncident avec celles de la molécule soustractive, en sorte que deux faces contiguës, prises sur deux dodécaèdres voisins , sont disposées comme les triangles as6, a! s h' (fig, 209) , dont le premier représente une des faces de la pyramide supérieure de l’un des dodécaèdres, et l’autre une des faces delà pyramide inférieure dans le dodécaèd,re adjacent J d’où l’on voit que les centres de gravité de ces deux triangles se confondent en un point commun c.

Venons à la manière dont les joints naturels sont assortis dans le dodécaèdre. Soit sgsh (fig. 210) une coupe de ce solide prise à l’aide d’un plan qui passerait par les sommets s, s' (fig. 207 et 208), et par les milieux des arêtes ùc, fe. Les petits rhombes qui soas-diviscut cette coupe représenteront les sections principales d’autant de molécules rhomhoïdales soustractives, et les lignes nZ, A/n, rZ, etc., seront les traces d’autant de plans parallèles à hsc (fig. 208) , et qui retrancheraient des tétraèdres, dans le passage de la forme du rhomboïde à celle du dodécaèdi-c. Ou s’est borné à indiquer ici ceux' de ces plans (|ui cou-

aGa TRAITÉ

peut les rhomboïdes extrêmes, ou ceux dont se composent les bords des lames décroissantes, tournés vers les arêtes gs , hs'. La position de ces lames est une suite de ce que le décroissement qui produit, par exemple, la face parallèle à ôsc, est censé avoir beu par deux rangées en hauteur sur l’angle hnk (fig. 3o8) du rhomboïde générateur, en sorte qu’elle se rejette du côté opposé , en prenant direction gs (fig. aïo).

Dans l’assortiment que représente cette figure , la quantité dont chaque lame est dépassée par la précédente est mesurée par une diagonale oblique a'/ de molécule rhomboïdale, et l’épaisseur de chaque lame renferme quatre arêtes de molécule a' k r\px\ en sorte que les dimensions du déçroissement sont doubles des véritables, dont Pune est mesurée par ime demi - diagonale oblique, et l’autre par deux arêtes situées dans le sens de la hauteur. Mais il faut se rappeler que dans les décroissemens sur les angles, les arêtes analogues à ceUes dont je viens de parler alternent d’une lame à l’autre par leurs positions respectives. C’est une suite de ce que les angles saillans que la soustraction des molécules fait naître sur le bord de chaque lame correspondent aux angles I rentrans de la lame qui précède et de celle qui suit. Si donc l’on imagine que les rangées dont les arêtes terminales alternent' avec celles des rangées auxquelles appartiennent les lignes aj, a'p, a'g, lassent uu mouvement en vertu duquel les sections princi-

Digfürad by Guogle

DE cristallographie. * a65

pales des molécules rhomboïdales tpii les composent coïncident avec le plan sgs'h , il y aura deux de ces molécules dont les arêtes extrêmes prendront la position TTv (fig. ai I ) (i), en partant du^nilieu cr de la diagonale a^, de manière que les quadrilatci'es eufÂVj seront les coupes principales des rhomboïdes correspondans; et il en sera de même de toutes les autres arêtes situées dans le plan sgs'h (fig. aïo et 2 II). Alors la demi-diagonale vj" représentera la quantité réelle dont chaque lame dépasse celle qui la suit, et la ligne yri/ égale à la somme des deux arêtes ^6, er, représentera la dimension du décroissement dans le sens de la hauteur. Voici maintenant les inductions qin se tirent de ce mode déstructuré, relativement à la manière dont les joints naturels , situés parallèlement aux faces du dodécaèdre , sont assortis entre eux.

Il est d’abord évident que les facettes par lesquelles les petits dodécaèdres adhèrent entre eux , et dont deux sont représentées (fig. 209), forment des plans continus , comme s’il n’existait que des rhomboïdes ' au lieu de dodécaèdres. Il n’en est pas ainsi des facettes produites par la suppression des angles sohdes des dodécaèdres. Si l’on se borne d’abord à les considérer dans les rhomboïdes dont les coupes principales coïncident avec le quadrilatère sgs'h (fig. 210),

(1) Cette figure représente la partie du plan désignée par les mêmes lettres ( fig. 210).

aG4 ’ TRAITÉ

il est facile de voir que leurs positions se rapportent à, quatre plans presque infiniment voisins , parallèles entre eux et à la ligne sg-, dont l^un passe par les sections xZf un second par les sections rt, rV,

r"t", un troisième par km , k"m!\ et le dernier

par al J a'I', olT. Il en résulte que les facettes dont il s’agit sont tellement disposées, que leur retour au niveau n’a lieu que de quatre en quatre molécules, parmi celles qui sont situées dans le sens de la hauteur. Or l’intervention des facettes qui répondent aux sections etc., ne change rien aux alignemens

sur quatre plans différens dont je viens de parler; elle ne fait autre chose qu’accélérer le retour au niveau, qui a lieu alors de deux en deux molécules, , ainsi qu’on le concevra , en faisant attention que xz est sur le prolongement de ■pr, '7f>f sur celui de r# , etc. Reste à examiner les positions respectives des facettes qui répondent , dans les difierens dodécaèdres , aux ^ triangles sbs'y scs', sds', etc. (fig, 207). Pour conce- ■ voir l’assortiment des jomts naturels auxquels elles répondent, supposons cfue tous les petits dodécaèdres qui sont censés contenus dans celui que représente la fig. 207 , se meuvent sur les prolongemens de leurs axes, jusqu’à ce que tous les hexagones qui forment les bases communes de leurs deux pyramides se trouvent sur un même plan. Supposons de plus , pour un instant, que dans ce cas la disposition des hexagones dont il s’agit soit semblable à celle que l’on voit figure 212. Il est évident que des plans dir igés sui-

vant les 6 rayons ca, cA, cg, etc., de l’un quelconque el des hexagones, et qui passeraient en même temps par l’axe du dodécaèdre auquel appartient cet hexagone , subdiviseraient le dodécaèdre en six tétraèdres , et par conséquent seraient dans le sens de ses joints naturels. 11 est clair encore que les mêmes plans étant prolongés, tantôt passeraient entre deux dodécaèdres voisins , et tantôt se confondraient avec les plans qui sous-di viseraient d’autres dodécaèdres; c’est ce que l’on concevra facilement à la seule inspection des lignes hs , a«, situées sur les prolongexnens des rayons ch, ca", d’où il suit que, dans l’hypothèse présente , tous les joints naturels situés dans l’intérieur du dodécaèdre total seraient sur des plans continus,, comme dans les cristaux ordinaires.

Pour ramener maintenant les choses à lem' véritable état , considérons l’assortiment représenté figure ai3, dans lequel les petits quadrilatères SWe Ueir, etc., sont les coupes principales d’autant de rhomboïdes,etS'a;ig-,e«r/,etc.,celles des dodécaèdres qui résultent des sections faites dans les rhomboïdes. C’est une suite de ce que S'x tombe au quart de la diagonale ei, et ainsi des autres lignes ig , rl, en, etc.

Maintenant, si nous menons gx,ln, o«, etc. , chacune de ces lignes sera le petit diamètre de l’hexagone qui forme la base commvme du dodécaèdre analogue; c’est-à-dire, qu’elle aiura la même position que el

aSS TRAITÉ

(fig. 212), menée par le centre, perpendiculairement

sur deux côtés opposés dr^ahy de l’hexagone.

Donc, si l’on suppose que tous les hexagones qui répondent aux lignes gx^ In, ou, etc. (fig. 21 3), se relèvent jusqu’à coïncider sur un même plan , ces hexagones ne se trouveront pas entièrement dégagés, comme on le voit figure 212; mais chacun anticipera sur ceux qui l’entourent, puisque les lignes gx, In, ou, etc., anticipent elles-mêmes les unes sur les autres; et telle sera cette espèce d’enjambement, que si l’on considère deux hexagones voisins (fig. 214), l’ex* trémité xf du diamètre xx', tombera au tiers du diamètre zz, etc.

Remarquons que dans le mouvement des hexagones pour aller se placer sur un même plan, que nous supposerons passer par j'/ (fig. 21 3), perpendiculairement à l’axe SS', le diamètre gx se relève de manière qu’il coïncide avec km, quand son mouvement est achevé. Remarquons de plus, que la distance entre les diamètres km et ty est ^ale à l’un quelconque d’entre eux , puisqu’elle est mesurée par leur prolongement entre les lignes UX, BG, dont les distances sont les mêmes qu’entre les lignes eR , UX, d’une part , et BG , KH , de l’autre.

Donc s’il n’existait que les dodécaèdres analogues aux diamètres, tels que gx et km, qui sont placés immédiatement l’un au-dessus de l’autre , ou analogues aux diamètres, tels que km, ty , dont la distance est ^ale à chacun d’eux, tous les joiuts seraient

sur des plans continus : cela est évident pour les diamètres gx et hm J et quant aux diamètres km et (y, il est facile de juger que leur position respective est la même que celle des diamètres e/, e'Z'f Gg. 2 1 2), et par conséquent cette position ne peut altérer la continuité des alignemens.

Mais entre les hexagones analogues à km et ty (6g. 21 3), se trouveront ceux qui appartiennent à ni et ou , et qui interromperont la communication des joints; d’où l’on voit que nous pouvons considérer trois ordres de dodécaèdres , dans chacun desquels les hexagones auront leurs axes sur tme même ligne, comme ceux qui appartiennent aux diamètres gx et km , ou seront distans entre eux d’une qutjbtité égale à un petit diamètre , comme ceux qui sont indiqués par km et ty. Ainsi, les dodécaèdres d’un même ordre pourront être sous-divisés par des plans continus ; mais ces mêmes plans tomberont à faux sur les dodécaèdres des deux autres ordres; en sorte que tous les joints correspondans se rapporteront à trois plans qui seron t parallèles entre eux , et approcheront beaucoup d’une exacte coïncidence , à cause de la petitesse des dodécaèdres.

Les retours au niveau ayant lieu uniformément, et après des intermittences égales , à l’égard des plans qui correspondent aux six triangles situés , comme sbs\ scs', sds', etc. (6g. 207), dans chaque petit dodécaèdre, les joints qui ont lieu dans le sens de ces plans seront tous identiques , eu sorte que dans les

aG8 TRAITÉ

cas où ils deviendront apparens , ils auront la même netteté. IVlais les joints parallèles les uns aux faces asb, csd, esfy les autres aux faces bsc, dse,asf, provenant de deux contextures différentes, ne peuvent pas être regardés comme exactement identiques. Aussi cette différence s’annonce-t-elle d’une manière sensible dans certains morceaux de quarz, où les joints parallèles aux six faces du rhomboïde ffîg. 208), résistent beaucoup moins que les autres à la division mécanique, en sorte que je suis parvenu plusieurs fois à obtenir ee rhomboïde ^sous une forme bien prononcée. Mais comme, en général , les joints naturels , en conservant les mêmes positions relative, sont susceptibles de varier dans leur degré d’écm et de netteté, par l’influence des causes accidentelles , on trouve des cristaux dans lesquels ceux dont il s’agit n’offrent pas de différence bien marquée, et l’on en sera moins surpris , si l’on considère c[ue la proximité des plans auxquels correspondent les facettes des petits dodécaèdres , et le retour frequent de ces facettes sur le même niveau , doivent produire à peu près le même effet que l’alignement exact de celles qui coïncident avec les faces du rhomboïde générateur. L’accident le plus rare semble plutôt devoir être , comme il l’est réellement , celui (|ui détermine une grande diversité entre les résultats de la division mécanique, relatifs aux faces des pyramides prises alternativement.