Le parallélisme des ligues cr, o , éb , qui dépend

des deux décroissemens successifs CC, n’a pas besoin d’explication. 11 est de même facile de concevoir que les intersections A, »>, des faces o' jf\ «SP, sont parallèles, parce que les nombres d’arêtes soustraites sur les deux côtés adjacens à l’angle qui subit les décroissemens d’où résultent ces facettes étant les mêmes pour toutes, en sorte qu’il n’y a que le nombre de rangées soustraites qui varie , les lignes de départ des décroissemens dont il s’agit gardent entre elles un parallélisme qui entraîne celui des bords par lesijuels les facettes sont contiguës les unes aux autres et à la face P du générateur. Mais la

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facette s étant produite par un décroissement qui agit sur un des angles de la face M, c’est-à-dire sur un angle différent de celui auquel se rapportent les signes des autres facettes, le parallélisme de son bord 6 avec les bords ef, À, », n’est pas également évident. Pour le concevoir, remarquons d’abord que d’après la manière de considérer les décroissemens , qui a été adoptée pour le signe représentatif du cristal, celui qui donne la facette o' est représenté

par (AB'C*) , et celui d’où dépend la facette s par (*AG*C‘). Or, ce dernier signe indique deux, arêtes de molécule soustraites sur G ( fig. 45 ) et une sur C. Donc, si nous prenons sur G et sur C les deux bgnes Ar, Ao, qui soient censées égales l’une à deux arêtes de molécule et l’autre à une arête, et si par les points o , r, nous menons la droite or, celle-ci .sera la ligne de départ du décroissement rapporté à l’angle A de la face M. Donc , si nous menons Ao et As, de manière que le petit triangle ors soit parallèle à la face produite, nous aurons

Ar = 2 , Ao = I , A« = f .

Maintenant, si nous supposons que le décroissement agisse sur l’angle A de la face P , il faudra , pour représenter cette manière de le considérer , traduire le

signe précédent en celui-ci (AC'B^). Mais comme la quantité soustraite sur B doit être au moins égale à une arête de molécule , il est nécessaire de doubler

les exposans de C et de 13, en substituant C*R*

àC’B*, et alors la mesure du décroissement, qui était censé avoir lieu par deux rangées en hauteur, se trouvant elle-même doublée dans le même sens , l’exposant de A devra être ^ , en sorte que le signe

prendra cette nouvelle forme (AB'C*). Or, les nombres d’arêtes soustraites sur les bords B, C , étant les

JL

mêmes que ceux qu’indique le signe (AB’C*) relatif à la facette o', on en conclura , en appliquant ici le raisonnement que nous avons fait à l’égard de cette facette comparée aux suivantes^' , que la ligne s est située parallèlement aux lignes «T , A, i'.

34. Reste à expliquer le parallélisme qui règne entre les intersections 3/, tt, 3", des facettes rt, e'.

Pour y parvenir, remarquons d’abord que si l’on supprime l’assortiment des facettes e', y' ri, sera le même que dans le fer sulfuré triforme ( fig. 43 ) , où les bords communs à deux facettes voisines sont parallèles, d’après ce qui a été dit plus haut. Il reste donc à prouver que la facette n (f:g. 41), qui remplace l’arête z (fig. 43), a ses bords parallèles à cette arête. Or, on concevra aisément que la condition d’où dépend ce parallélisme exige que, dans le rhomboïde qui résidterait du prolongement des facettes n

(fig. 44)) triangle formé par les trois diagonales horizontales supérieures ait ses côtés dans le même gens que les arêtes z", z (fig. 43), qui font la

même fonction relativement au rhomboïde auquel appartiennent les facettes f f", c’est-à-dire que

les côtés du triangle dont il s’agit doivent faire des angles de 6o** et de go** avec ceux du générateur (p. 3g), ou, ce qui revient au même, la loi qui donne les Ëicettes n (fig. 42), doit être du nombre

de celles que représente la formule /i= (p- 4o)*

Or, d’après le signe du cristal, on a *=3, i , d’où l’on tire /ï=| , ce qui est la mesure du décroissement indiqué par le même signe.

üü PRISME RHOMBOIDAL OBLIQUE.

U était naturel de s’attendre que la symétrie des formes sous lesqueUes se présentent les sobdes que nous avons considérés jusqu’ici, fournirait des données pour exprimer les lois de décroissemens dont ces solides sont susceptibles, par des formules simples , qui auraient le double avantage de faciliter la détermination des cristaux secondaires et le développement de leurs propriétés. J’avais cm , en préparant la première édition de cet Ouvrage, devoir restreindre à ces mêmes solides la généralité des méthodes dirigées vers l’application delà théorie, dans la crainte qu’en voulant l’étendre aux autres parallélépipèdes moins réguliers, je ne tombasse le plas souvent dans des formules si compliquées, qu’on ne pourrait en faire usage sans un travail pénible et fastidieux. Mais les tentatives que j’ai Élites depuis

que j’ai repris le même sujet, m’ont prouvé la possibilité d’assimiler , au moins jusqu’à un certain point, la marche des calculs relatifs aux solides dllFérens du cidae et du rhomboïde, à celle qui avait été suivie par rapport à ces derniers.

Je commence par le prisme rhomhoïdal oblique, parce que c’est de tous les solides dont il s’agit, celui qui se rapproche le plus du rhomboïde, à l’aide d’une propriété que je vais faire connaître.

Soit a g ( fig. 46, pl. 35 ), uir prisme de ce genre , dans lequel les angles bad, bcd, de la base sont supposés obtus. Il sera facile d’appliquer ce que je vais dire au cas où les mêmes angles seraient aigus. De l’extrémité supérieure de l’arête cg, je mène une droite es à l’extrémitéinférieure de l’arête opposée as. J’ai trouv é que dans les applications de la théorie à toutes les variétés originaires des différentes espèces qui ont pour forme primitive un prisme analogue à celui dont il s’agit ici, on obtient des résultats conformes à l’observation, en supposant que la ligne es soit perpendiculaire sur l’une et l’autre des arêtes eg, as. Cette propriété sert à limiter l’étendue du prisme dans le sens de la hauteur, en sorte qu’ayant mesuré l’angle aeg que forme la diagonale obli(|ue ac avec l’arête eg , et ayant retranché 90** de cet angle pour avoir l’angle aes , si l’on cherche le rapport le plus simple, qui s’accorde sensiblement avec la mesure mécanicjuc, entre le sinus et le cosinus du secoiul "•n^le, ce rapport sera celui de es. à as. Soit eysl la

DE CRISTALCOGIUPIUE. 73

eoupc du prisme prise par un plan perpendiculaire aux faces latérales; désignant par g la rnoitiéj^x de la diagonale j'Z parallèle à bd, qui est toujours horizontale; par P la moitié ex de la diagonale es, située dans le même plan vertical que la diagonale oblique CO de la base, et par h l’arête as ou cg, on a les données nécessaires pour soumettre au calcul les résultats des lois de décroissemens d’où naissent les formes secondaires.

35. Cne autre propriété qui dérive de la précédente consiste en ce que, si de l’extrémité inférieure de l’arête as , on mène une perpendiculaire sur la diagonale oblique ae, les deux segmens seront eu rapport commeusurable, quels que soient d’ailleurs les angles du prisme rhomboïdal. Cette seconde propriété, qui a lieu en conséquence de ce que le triangle esa est rectangle, et qui est générale pour tous les triangles de ce genre, ne fait autre chose que présenter sous une nouvelle face celle qu’a le cosinus de l’angle plan aigu d’un rhomboïde quelconque, d’être dans tous les cas une quantité rationnelle. Pour démontrer cette corrélation, j’observe qu’un triangle rectangle tel que mae (fig. 47)? peut toujours être considéré comme étant le quart d’un rliombe amnr, dont les diagonales seraient entre elles dans le rapport des côtés em et ea. Cela posé , si nous menons ni perpendiculaire sur am , ml sera le cosinus de l’angle aigu amn, mn étant prise pour le rayon , et si nous désignons c/n par g et ea par p,

TR/JTÊ

nous aurons

mn ou am ' ml :: g*-\-p* 'g' — p* (t. I., p. 28/{).

Maintenant , menons de l’angle droit du triangle amc la ligne c/j' perpendiculaire sur l’hypoténuse. Je dis que les segmens gm et ag seront en rapport rationnel, ou, ce qui revient au même, l’un quelconque des segmens, par exemple ag, sera en rapport rationnel avec l’hypoténuse entière am. Car la proportion ci-dessus peut être mise sous cette forme

am • am — ml ou al :: g*-\-p* ' 2p*.

Mais , à cause des triangles semblables anl, acg, on a

ag='-al‘,

donc

am ! ag :: g'-\-p* t p'-

C’est-à-dire que dans tout triangle rectangle, l’hypoténuse est au plus petit des segmens formés par la perpendiculaire cg , comme la somme des carrés des deux côtés cm et ca est au carré du plus petit de ces mêmes côtés.

Nous venons d’avoir am lag V. g'-\-p* 'p*\ donc (am—ag) ou mg : ag i: g'+p'^p* : p» j

mg ‘ ag :: g* : p* :: (cm)* : («cj* ; donc ( fig. 46) ,

c4 : a-^ :: (es)* : (ns)*.

DE CRISTAr.LOGRAPHIE. 78

Mais ici cs = :ip, as—h‘, donc c-\[. : a<\|. /\p* t A*,

ou autrement les sej^mens c-vf. et a^jr sont entre eux comme les carrés des lignes es , as.

36. Voici une troisième propiiété qui procède de la même origine. Si l’on mène c» perpendiculaire sur^s , et que parle point n on fasse passer la ligne perpendiculaire sur ab et sJ", ses deu.\ segmens ïtfi, seront en rapport rationnel, ou, ce qui revient au même, la ligne entière sera en rapport rationnel avec l’un quelconque des deu.\ segmens, par exemple avec xÇ”.

Pour le prouver, mepons perpendiculaire sur n A, et qui tombera nécessairement à l’extrémité de

Nous avons cÇ" = Or ,

bd=2g.

CO = îac=îV^(cs)*+(«5)*=ît/

donc

V 4g'-t-4p'-+-A>* cy “V £:“-f-p‘’

< = N/(cO‘ — (cx}‘= \/

ab ■

^jF±Z2^