Arragonite apotome

La tendance de l’arragonite à réunir plusieurs cristaux, de manière qu’ils s’offrent à l’œil sous l’apparence d’un cristal simple , n’est pas limitée à la forme prismatique. La variété que je vais décrire en offre un exemple d’un genre tout different , dans un dodécaèdre composé de deux pyramides droites très aiguës réunies base à base, et que représente la figure 393. Je lui ai donné le nom di apotome, que portent dans ma méthode plusieurs autres variétés relatives à diverses substances , dont les &ces inclinées à l’axe sous de petits angles, semblent descendre rapidement du sommet.

Pour feire concevoir plus facilement la structure de l’aggrégat d’où résulte cette variété, je substitue d’abord a l’octaèdre primitif, comme noyau hypo-

te

DE CRISTALLOGRAPHIE. Saq

tliétique, un prisme rhomboîdal semblable à celui de la variété basée, tel que le représente la figure agS, et dans lequel les valeurs des demi-diagonales g ci p de la base étant v/aS et \/g, la hauteur H, que je désignerai par h,a^/\6 pour expression; c’est-à-dire que les trois dimensions g, p, h, sont entre elles dans le rapport des lignes en, ex, sz (fig. 377).

Supposons quatre de ces prismes assortis comme ceux qui composent la variété symétrique basée (fig. 291), et imaginons que chacun d’eux subisse un décroissement par quatre rangées en hauteur, seulement sur les deux côtés extérieurs de sa base. Prenons pour exemple le prisme n , dont les côtés analogues à ceux que je viens de désigner sont les lignes o'g,gm, qui répondent aux arêtes B , B (fig. agS), en sorte que nous pouvons leur substituer ces dernières. Le décroissement étant censé agir à la fois sur les arêtes B, ô , et de part et d’autre de chacune'd’elles , les faces qu’il fera naître seront parallèles aux faces R', R", et /, r" (fig. 292) , du dodécaèdre ; et parce que les côtés d g, dg' (fig. 291), qui appartiennent à deux prismes voisins coïncident sur une même direction, chacune des faces R', d (fig. 292), sera composée de deux triangles adjacens à son apothème , et qui se confondront sur un même plan. En raisonnant des autres prismes comme des précédens, on en conclura que l’effet de tous les décroissemens qui agissent simultanément sur les bords extérieurs des quatre prismes sera de produire hùit faces triangu-

33o TRAITÉ

laires, qui se réduiront à six , par une suite de ce que quatre d’entre elles , prises deux à deux , serontde niveau. A l’^ard du mécanisme de la structure inté> rieure, on doit concevoir que si l’on coupait les pyramides par des plans parallèles à leur base commune, en allant vers le sommet, ces plans offiiraient le même assortiment que celui qu’on observe sur l’hexagone (fig. agi), en sorte que

les figures dont est composé ne feraient que diminuer d’étendue , en conservant toujours leurs positions respectives.

11 est facile de déterminer les angles du dodécaèdre bi-pyramidal, en combinant les dimensions du noyau hypothétique avec la loi de décroissement

quia pour signe B (fig. ag3). On trouvera que lésinas de la moitié de l’ineidenoe de l’une quelconque R' des faces de la pyramide supérieure sur son adjacente r dans la pyramide inférieure , est au cosinus dans le rapport de i6 à.3 , ce qui donne pour l’incidence dont il s’agit iSS**

A l’é^rd des angles que font entre elles les faces adjacentes sur une même pyramide, ils ont deux mesures différentes ; l’une est relative à l’incidence, de deux faces telles que R', R", qui naissait sur les arêtes extérieures gm (fig. 291), ou B, B

(fig. 293) de la base d’un même prisme. Le sinus de la moitié de cette incidence est au cosinus comme

: V72, d’où l’on déduit 1 17^* io' pour l’incidence cherchée.

L’autre mesure se rapporte à l’incidence de deux &ces telles que R" (fig. 39a), et sou adjacente le long de l’arête mz , qui ont pour bases deux bords tels que Im (fig. aQi), séparés sur deux prismes différens contigus l’un à l’autre. Soient gtm , Itm (fig. 394) , ces mêmes faces Hmitées par le plan du triangle gml (fig. Q91) , et par le plan gtl (fig. 394) perpendiculaire au précédent. Menons mf perpendiculaire SOT gl, puis tfj ensuite fn perpendiculaire sm* ml J puis tn , enfin fx p^pendiculaire sur mt , puis /x; l’angleyx/ mesurera la moitié de l’incidence cherchée. Or, Im (fig. 391 et 394) est à w^comme le rayon est au cosinus de l’angle aigu du rhombe P (fig. 393) :: P» 16 : 7. De plus ,

fn i ft II 3 : 16, d’après ce qui a été dit plus haut. En partant de ces données, on trouve

d’où l’on tire

fxl = 65*^ 33'.

Donc l’ioddence proposée ^

J’ai déjà remarqué ci-dessus que tel est , dans plusieurs agrégats, le rapport entre les côtés o/, ml (fig. 391), des rhombes N, N', etc., que ceux de l’hexagone sont à peu près ^aux. Mais en supposant l’égalité rigoureuse, il n’en résulterait pas que les faces des pyramides dussent coïncider dans deux points Z , 2! (fig. 392), situés aux extrémités de l’axe,

35a traite

]>arce qu’il faudrait encore que l’hexagone fût régulier. Cette coïncidence dépend d’un certain rapport entre les côtés de l’hexagone mm' (fig. agi), qu’il est facile de déterminer. Il est d’abord évident que quatre de ces côtés, savoir, mZ, mg^ m'I', sont égau.v entre eux, et qu’il en est de même des deux autres //', gg'. Ainsi, il suffira de détemainer le rapport entre ml et /Z', ou, si l’on veut , entre ml et oZ, qui est la moitié de II'. Soit olmys (fig. agS) , le même assortiment de lignes que figure 291. Pour qu’il satisfasse à la condition indiquée, relativement à la coïncidence des faces de chaque pyramide dans un. même point, il faudra que «», menée perpendiculairement du centre o de la base sur le côté wiZ-, soit égale à ao, qui est la perpendiculaire entre le même centre et le côté 61. Or,

oy'-ys :: P* :: *6 .*7.

Soit 16; d’où il suit que^s=: 7. Les triangles semblables osy , axm donnent

sm ou 7 -^-ym : qy :: «* î os.

Mais par l’hypothèse, 5x=os. Donc