II

lies autres y mais s’en écarte dans le sens de la liauleur , en sorte que le rapport entre le côté de sa base et chacune de ses arêtes longitudinales , ne peut être déterminé que par des considérations théoriques. Mon but, pour le présent, est d’exposer la méthode que i’ai suivie pour airiver à cette détermination. J’ai décrit, dans l’article relatif au prisme hexaèdre régulier, plusieurs variétés de forme du même minéral, entre lesqiœlles je choisirai celle que représente la figure 1 36, et que j’ai nommée doubtarUe; je reprends

. ' ^ ^ ^ Tiai

son signe représentatif, qui est MBBBA*A*P. J’ai à

faire voir que ce signe est celui qui résulte de l’ensemble le plus simple des lois de décroissement dont j’ai &it dépendre les difiEërentes faces qui terminent la forme dont il s’agit, parmi lesquelles la lace xest

donnée par le décroissement B; d’oô il suit que le côté horizontal du triangle mensurateur est égal à l’apothème du triangle qui coïncide avec la base de la molécule int^rante , et que le côte vertical est égal à la hauteur de la même molécule. Il en résulte que dans celle-ci, le côté de la base est à la hauteur comme v/2 à l’unité.

Supposons maintenant que la véritable hauteur soit doublé de celle que j’ai prise pour donnée. Il est facile d’en conclure que le signe précédent se chan-

' ' , ^ il a ^ ^ . •

géra eni cet autre, MBBBA*A*P. Or, il est visible . Ml P

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que ce dernier signe est moins simple que le premia', où le plus grand nombre de rangées soustraites n’est que de deux , au lieu qu’il est de quatre dans celui que je viens de lui sul^tituer. D’ailleurs, ce dernier renferme quatre décroissemens eu hauteur, au lieu d’un seul , ce qui est moins conforme à la marche la plus ordinaire des lois de la structure.

Supposons , t^i oontraii'e, que 1^-véritable hauteur ne soit que la moitié de celle qui se rapporte au signe que j’ai adopté. Poujr ramener celui-ci à l’hypothèse dont il s’agit^ il faudra le transformer en cet autre ;

MBBBA(*A*B*G*)P. Or, ce dernier signe est encore M E X r 4 U P

moins simple que le précédent , puisqu’on y trouve aussi im décroissement par quatre rangées, et de plus un décroissement intermédiaire. ' ‘ ‘

Si l’on suppose d’autres fecteurs communs', tels que 3,4)5, etc;,’ d’une part, et j, i, etè. , de l’autre, on àura un ensemble de décroissetnens dont la complication ira toujours en augmentant; 'et ainsi le signe que j’ai préféré est celui qui satisfait à là condition de la plus grande simplicité possible.

Les substances qui n’ont offert jusqu’ici que des cristaux produits en vertu d’unè seule loi de décroissement, ou dans lesquels le nombre deceslois est très borné, ne se prêtent pas également à' la solution du problème qui nous occupe. B pourra arriver que les lois qui' ont ’d’àibord été adoptées comme les plus simples, se trouvent remplacées par

d’autres, dans le signe représentatif auquel conduiront de nouvelles variétés amenées par de nouvelles découvertes. Mais il sera toujours facile de traduire les premières expressions en celles qui devront les remplacer , pour que le signe remplisse la condition proposée. •

Il 7. J’ajouterai un second exemple, qui me sera fourni par le feldspath. Si l’on excepte les cristaux dérivés des formes qui sont les limites des autres , il en est peu qui aient un a^ect plus symétrique que la plupart de ceux qui appartiennent au minéral dont il s’agit, et l’on est en quelque sorte étonné de l’air d’irrégularité sous lequel se présente, au premier coup-d’œil, le parallélépipède obhquangle qu’on en retire à l’aide de la division mécanique. Mais le contraste disparaît, lorsqu’on le soumettant à des observations précises, on parvient à des mesures d’angles et à vm rapport de dimensions qui le ramènent à la symétrie dont il semblait d’abord s’écarter , et qui sont la source de celle que la cristallisation a répandue sur les variétés secondaires .qui en dépendent.

Pour mieux faire concevoir ce que je viens de dire , je partirai de la forme que j’ai nommée dèciduodécimale t que représente la figure 3o3, et qui réunit aux pans d’un prisme décaèdre symétrique, des sommets à deux, larges faces P , JK > qui se réunissent sur une arête I perpendiculaire à l’axe, et dont la .première a, ses, deux bords les plus longs

remplacés par deux trapèzes adjacens à deux autres qui remplacent les angles solides, à la rencontre de l’arête terminale ét des pans M, M.

La division mécanique des cristaux de cette variété a lieu parallèlement aux faces P, M, T. Les joints qui répondent à P, M, sont très nets et faciles à obtenir. Celui qui répond à T est souvent insensible, ou se laisse seulement entrevoir. J’ai cependant des fragmens sur lesquels on le distingue presque aussi facilement que les deux premiers j mais il en diffère en ce qu’il est moins éclatant. Les faces P, M sont exactement perpendiculaires l’une sur l’autre; la ffice T fait avec la face M un angle de ISO**, et avec celle de retour un angle de 6o**. On voit déjà , d’après ces premières données, que le parallélépipède offre la réunion de trois angles caractéristiques des formes les plus régulières , savoir , l’angle droit et ceux de i20<* et de 6o'*. U se rattache encore à la symétrie , par le rapport de ses dimensions, ainsi qu’on va le voir.

Soit AR (fig. 3o4) ce même parallélépipède , dont nous supposerons les faces BRGO, GO AD, BOAH, respectivement parallèles aux faces P, M, T (fig. ,3o3). Je remarque d’abord que la (ace y, d’après sa position, doit résulter d’un décroissement, soit simple, soit intermédiaire, sur l’angle RBO (fig. 3o4)- Or, il est d’autant plus naturel de le supposer simple, que d’aixtres variétés offrent des facettes dues à des décroissemens qui ont la même ligne de départ, avec

des inelinaisons diflërentee, et que ces sqrtes de

successions nh>nt Ueu (]^e relativement à un ensemble

de décroissemens ordinaires, c’est-à-dire dont les ac-

lions sont dirigées parallèlement à des arêtes ou à des diagonales.

Maintenant) uy (fîg. 3o3), qui est parallèle à la ligne de départ, fait sensiblement un angle droit avec la &ce M prolongée , ou , ce qui revient au même, sa position est horizontale, dans le cas où les &ces M, T sont situées verticalement. Or, par la nature du décroissement, uy est parallèle à la diagonale OR ( iig. 3o4)> Donc aussi cette diagonale est située horir zontalement. Cette observation va d’abord nous donner le rapport entre GP et PL perpendiculaires sur AO.

Menons OZ parallèle à PL, puis ZR. Le plan OZR sera horizontal ; donc il sera peiqjeudiculaire sur le plan vertical BRPiH. Mais BOGR, d’après l’observation, est aussi perpendieulaire sur BRNH; donc, la commune section OR dœ deux plans OZR, BOGR, sera de même perpendiculaire sur BRNH ; donc elle le sera sur RZ. Donc l’angle OR2 est droit ; mais OZR, qui mesure llhcidence de BOAH sur BRTIH, est de 6o^; donc OZ=aRZ, ou PL = aGP.

Nous connaissons déjà deux des angles saillans du parallélépipède, l’un de <)0^, que font entre elles les faces M, P (fig. 3o5) (i), et celui de lao**, qui donne l’inclinaison de M sur T. Noi® pouvons main-

(i) Cette figure représente le même parallélépipède (pe figure 3o4, avec sa notation.

DE CIUSTALLOGRAPUIE. 35)

tenant déterminer le troisième, qui mesure l’inddence dé P sur T, ou de P sur la lace opposée k T. Je prendrai pour donnée celui que formé la face P (fig. 3o3) avec Parête sp, et qui ' est le même que D60 (fîg. 3o4). Supposons que dans le triangle GCH*, on ait GP : OP :: 3,î Va* Ce rapport donne a5** pour l’angle OGPjd’oùil suit queDGO, oü l’angle formé par la lace P avec l’aréte êp (fig. '3o3) , est de 11 5^ i4S ce qui s’accorde avec l’observation. 11 s’agit maintenant de déduire du même rapport l’incidence de BOGR sur GRND (fig. 3o4). Si du point R nous menons RE perpendiculaire sur ZO , ensuite EX perpendiculaire sur la même ligne , puis RX , l’angle ERX*4“ 90^ donnera l’incidence proposée. RZ étant égale à GP, et BZ égale à PO, soit RZ=:3, d’où U suit que BZ = Va. Soit OZR ( fig. 3o6 ) le même triangle que figure 3o4> L’angle RZE étant de 60**, nous aurons

RZ : ER :: a : >/3.

Donc ER s= » et à cause de RŒ = So** ,

, ER : OE i : >/3.

Donc Cffic=\/Ç* Maintenant i ' '

OZ(fig. 3o4)=3RZ=6, B0= \/0Z*+BZ“= ,

B0:BZ::0E:EX, ou ER:EX:: v/Ç‘- Vlï - Vip:

d’où l’on tire ERX=2i^4o^* Donc l’incidence

3So TRAITÉ

de P sur la face opposée à T (fig. 3o5) est de 111'* 4o^ et celle de P sur T est de 68^ ao'. Le premier de ces angles est celui que forme la face P avec celle qui est adjacente à sp (fig. 3o3), derrière le cristal, et qui est parallèle à T. Cet angle , mesuré sur des cristaux où les deux faces dont U s’agit sont d’une grande netteté, est très sensiblement de 1 1 1 ^

Poîir compléter la détermination du parallélépipède , menons AC et CS (fig. 3o4) , perpendiculaires l’une sur GO, l’autre sur le prolongement de BS. Si nous connaissions la loi du décroissement qui , en agissant parallèlement aux bords GO, BR, produit les facettes cgio., hzav (fig. 3o3), nous aurions le rapport entre AC et CS. L’incidence de ces Êicettes , tant sur la base P (fig. 3o3) , que sur les faces latérales M , est très sensiblement de i35^, et de plus, celle de M sur P est de go**. Or, l’idée qui se présente comme d’elle-même , et que confirme une observation que je citerai bientôt, est que le décroissement dont il s’agit a beu par une simple rangée ; d’où il suit que CA (fig. 3o4) = ÇS, et que les deux faces BRGO, GO AD, sont aussi ^ales.

U est facile maintenant d’avoir le rapport entre OR et OT , perpendiculaires l’une et l’autre sur BO. D’une part,

OR xBO=PLx AO.

D une autre part ,

OTxBO?a=ORxGO,

DE CRISTALLOGRAPHIE. 36i

OU, à cause de l’égalité des faces BRGO, GO AD,

OT X BO =5 GP X AO = i PL X AO , par une suite de ce que PL = aGP. Donc OK. X BO : OT X BO :: PL x AO : iPL x AO.

D’où l’on tire OK=aOT.

11 résulte de ce qui précède , que le parallélogramme qui passe par les points A, C, S est un carré; que dans celui qui passe par les points G, P, L, et dont les angles sont de lao"* et 60*^, le côté PL est double dû côté GP, et que dans celui qui passe par les points K, O, T, et dont les angles sont de iii*’ ^o' et 68*^ 20', le côté OK est aussi double du côté OT. Par une suite nécessaire, les deux faces BRGO, GO AD, sont ^ales en étendue, et la face BOAH est double de chacune des deux autres. Ces dimensions , qui sont aussi celles de la molécule intégrante, s’accordent avec ime observation que J’ai citée ailleurs, et qui consiste en ce qu’en général les joints naturels les plus éclatans et las plus faciles à obtenir répondent aux Êicettes de la molécule qui ont le moins d’étendue, et réciproquement. Dans les cristaux de feldspath, ceux qui sont parallèles aux faces P, M, ont le même degré d’éclat et de netteté, ce qui est d’autant plus remarquable, que les &ceà qui leur correspondent ne sont pas semblables, en même temps qu’elles sont égales en étendue. Cette égalité, qui dépend de la condition que les décroissemens

qui donnent les facettes c^ib, ôxau fâg. 3o3), aUat lieu par une simple rangée, achève de motiw l’existence de cette loi. A l’égard des joints parall^es aux faces T (6g. 3o5) , qui sont doubles des premières , on conçoit conunent ils résistent beaucoup plus que les autres à la division mécanique, et ont moins d’éclat , dans le cas où ils se montrent le plus sensiblement.

On trouve, aux environs de Clermont, dans le département du Puy-de-Dôme , des cristaux isolés et nettement prononcés, qui présentent la forme primitive donnée immédiatement par la nature. Les feldspaths porpbyriques du même pays renferment ' plusieurs variétés secondaires du même minéral, parmi lesquelles on distingue celle que j’ai nommée déciduodècimalep et qui a servi à nous diriger dans la recherche des angles et des dimensions de la forme dont je viens de parler..

Nous pouvons maintenant aller plus loin , et achever de déterminer les difl^entes lois auxquelles est soumise la structure de cette variété , dont une seule nous est connue, savoir, celle du décroiæmnent pr une rangée sur les bmrds D, C (fig. 3o5), d’où dépendent les facettes n, n .3o3). Mais je dois auparavant faire remarquer une propriété que le parallélépipède du feldspath partagé avec d’autr» formes primitives, et spécialement avec le prisme rhomboïdal oblique. Elle consiste en ce que des décroissemens qui ont lieu simultanément par des lois

difierentes, sur des parties qui ne sont pas identiques, peuvent &ire naître des faces également inclinées en sens contraire. 11 en résulte un ^pect symétrique que la loi de symétrie n’exige pas, mais qui ne lui &it pas exception. Nous commencerons par les laces latérales.

Soit cryp ( fig. 507 ) , la coupe du noyau prise par un plan perpendiculaire aûxfaCes M, T (fig. 3o5), et aux arêtes G, H; et sous-divisée en petits parallé- 'logrammes qui seront les coupes analogues d’autant de molécules intégrantes. Le décagone mnoacdsefy^ représente la figure de la même coupe, prolongée jusqu’aux pans du prisme, de manière que mn ré- .pond à M (fig. ^oZ)fjrm (fig. 807) ù z (fig. 3o3) , fX k lyon k z\ €to à T, et ainsi des autres. Or, les décroissemens qui donnent. les fiàoes /, z, /, etc. (fig. 3o3), ayant lieu sUr 1^ arêtes verticales qui passent par les angles y, r, etc. (fig. 807) , il est aisé de voir que l’assortiment de tous les petits parallélogrammes situés au-delà des côtés M, T, etc. , est composé des coupes des difierentes lames de superposition qui s’appliquent Sur les paus M, T (fig. 3o5) , en vertu des lois de décroissement dont il s’agit.

Maintenant , si nous comparons la fiice / (fig. 3o3) , qui est dirigée suivant fy (fig. 807), avec la face adjacente à l’arête 3* (fig. 3o3), qui est l’aoal(^ue de la face T, et dont la direction est ef (fig. 807), il est aisé de voir que, relativement à celle-ci , le décroissement est séro , et qu’à l’égard de l’autre,

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il a lieu par deu& rangées en hauteur sur l’aréte verticale qui passe par Or, le grand côté fu de chaque petit parallélogramme , tel que gifju> , étant double du petit côté g/Â. , il en résulte que les deux côtés gt-,fi du triangle fg& sont ^aux; et parce que l’angle fig=Qo\ le triangle est équilatéral. Donc

tfg=6o^ = ife.

C’est-à-dire que la face / qui résulte du décroissement indiqué , a la même inclinaison en sens contraire, que la face adjacente à T, relativement à laquelle le décroissement est zéro.

Comparons de même la face z (fig. 3o3), dirigée suivant my (6g. 3o7), avec la Êice z' (6g. 3o3), dont la direction est on (6g. 3o7). La première naît d’un décroissement par quatre rangées sur l’arête verticale qui passe par l’angle ^ j et la seconde œt parallèle à celle qui naîtrait d’un décroissement par deux rangées, sur l’aréte verticale qui passe par l’angle r. Or, dans le triangle ykm , l’angle k 'est de 60** , et le côté ky est double du côté km j d’où il suit que l’angle m est droit , et l’angle kym-àe 3o^. D’une autre part , dans le triangle ozn , l’angle z est de 120^, et les deux côtés zo, zn sont égaux. Donc les angles zno, zon sont chacun de 3o^J et ainsi la face z', qui résulte d’un décroissement }>ar deux rangées , a la même inclinaison en sens contraire que la face z, produite par un décroissement double du premiej. Les mêmes conséquences s’apr

pliquent aux autres &ces latérales, qui sont la répétition des précédentes'.

On voit, par ce qui vient d’être dit, que les pans M, T, Z (fig. 3o3), et les trois qui leur sont parallèles, font entre eux des angles de lao^, comme ceux d’un prisme hexaèdre régulier ; et si l’on rétablit les quatre autres pans, et que l’on suppose les arêtes S" , , remplacées par deux nouveaux pans

également inclinés sur leurs adjacens, on aura le contour d’un prisme dodécaèdre dont tous les pans formeraient entre eux des angles de iSo*^.

Nous avons supposé que la face y résultait d’un décroissaient ordinaire sur l’angle I (fig, 3o5). Il est facile de s’assurer que ce décroissement a lieu par une rangée. Car l’angle ROG (fig. 3o4) étant droit, ainsi que l’angle ROA, il en résulte que dans le triangle mensuratenr bcd (fig. 3o8), le côté cd qui représente l’excès en largeur d’une lame de superposition sur la suivante, sera au côté ci, qm représente l’excès en hauteur, comme. GO (fig. 3o5) est à OA. Remarquons d’abord que la ligne OR est parallèle et égale à la petite diagonale du parallélogramme qui passe par les points G, P, L, et dans lequel l’angle P est de 130**, et le côté PL est double du côté GP. Donc

OR : GP :: v^3 : i.

Mais, à cause de l’égalité des faces GOAD, GOBR, GP X OA «OR X GO.

Donc

OA : GO :: OR : GP :: : i :: hc : cd (fig.’3o8).

D’ailleurs l’angle bcd= 64^ 4^^ J d’après ces données, on trouve 34*^ i']' pour la valeur de l’angle cbd, et ajoutant celle de l’angle GOA (fig. 3o5) = 64^ 4®^ on a 99*^ 29' pour l’incidence de P sur (fig. 3o3), ce qui s’accorde avec l’observation.

La propriété de donner, par des lois différentes de décroissement, des faces également inclinées en sens contraire, s’étend à celles qui naissent sur les bords ou sur les angles de la base. Nous en avons un exemple dans les faces s , s' (fig. 3o3) , dont la première résulte d’un décroissement par deux rangées en laigeur sur le bord F (fig. 3o5) de la base, et la seconde, d’un décroissement par deux rangées en hauteur sur l’angle Ale ( fig. 3o5 ), et que nous considérons comme tel, pour plus de simplicité, parce que si on le rapporte à l’angle AlO de la base , il devient intermédiaire. Voici comment ou peut démontrer la corrélation dont il s’agit.

Soit ar (fig. 309) la forme primitive déjà représentée figure 3o4- Si je mène rc (fig. Sog) par le milieu de bo , le triangle ocr sera isocèle. Pour le prouver, je mène oz perpendiculaire sur èh, et cf perpendiculaire sur oz. ça étant la moitié de ob, of sera aussi celle de or j mais le triangle ozr étant perpendiculaire sur obha et 6m7^, et l’angle ozr étant de Co*^, il en résulte que fr'zsr^. Donc le triangle

rfz est équilatéral, c’est-à-dire que fr'=.fz~of\

mais oc = v/(o/)*-|-(c/)% et cr=\/{fry-h{cfY. Donc oc =: cr.

Maintenant, je remarque que ax (fig. 3o3) coïncide avec le bord supérieur B (fig. 3o5) de la face latérale parallèle à T. De plus, çy (fig. 3o3) , qui est la ligne de départ du décroissement d’où dépend la facette s, est sensiblement parallèle 9. as, d’où il. suit que ce décroissement a lieu sur l’arête F. Supposons deux rangées de soustraites en laideur. Ayant prolongé le plan goad (fig. 3og) d’une quantité égale à lui-même , de manière que oxza représente le prolongement, si je mène ou par le milieu de xz , et gk par le milieu de oa , la facette s (fig. 3o3) sera parallèle au plan bou (fig. dog) 5 et par une suite nécessaire, au plan rgk. ,

Soit mnr (fig. 3 10) le triangle mensuratcur, dans lequel l’angle mnr sera égal à l’angle TOK (fig. 3o5), c’est-à-dire de 68^ ao(, et mn (fig. 3 10) sera à nr comme OT (fig. 3o5) est à { OK; d’où il suit que mn (fig. 3 10) =ssnr- Donc chacun des deux angles nmr, mrn= 55*^ 5o'. Ajoutant à l’angle nmr 68** 20', qui est la valeur de l’angle TOK ( fig. 3o5), j’ai 124** to' pour l’incidence de s sur P (fig. 3o3), ce qui est conforme à l’observation.

Je passe à la facette et j’observe que son bord uz est parallèle à «o , qui a la même inclinaison, en sens contraire, que as, d’où il suit qu’il est aussi incbné de la même quantité, en sens contraire,

que çy. Mais çy est parallèle à oc ( fig. 809 ) , et puisque or est horizontale, et que le triangle ocrest isocèle , il en résulte que cr, qui a la même incli* liaison , en sens contraire , que oc j est parallèle à uz. Maintenant, si je mène rp par le milieu de hh, elle sera parallèle k ou ow. kgk', d’où il suit que le plan rcv est incliné de la même quantité , en sens contraire , que le plan cou , et ainsi il est parallèle à la fecette a' (fig. 3o3). Or, ùc=Sîo6, et

br est un des côtés de la base. Donc le décroisse-

ment a pour signe (fig. 3o5 ) H.

Le signe complet de la forme est

G*G*M‘HTiPCDM.

/ s M TjrPn t i

118. Je vais décrire quelques autres formes du même minéral, que je choisirai parmi les plus simples, à l’exceptiôn de la dernière, parce qu’elles me paraissent remarquables par l’aspect symétrique qu’eUes empruntent de cette rimplicité.

La première est le feldspath unitaire (fig. 3n),

dont le signe est MIP. Les faces P , y étant des

rectangles, et la face M un parallélogramme obliquangle , on voit que cette variété s’oflTre sous l’aspect d’un prisme rectangulaire obhque , dont la base sera P, d’après la position indiquée par la figure. Mais l’idée qui se présente à la vue d’un cristal .de cette forme, est de le mettre dans la position contraire,

Digiti5 cd by GoogI

où ses pans seraient les faces P, M, et sa base la fBoey^ prce qu’elle s’accorde mieux avec les dimensions ordinaires des prismes , dont ia plus longue est dans le sens de l’axe. Ainsi , il ne faut qu’un seuf décroissement par mie rangée pour transformer le parallélépipède primitif en un autre, dans lequel il serait difficile de la reconnaître, sans le secours de la théorie. L’incidence de P sur j/-, d’après ce qui a été dit plus haut, est de 99*^ 29'. On trouve des cristaux isolés de cette variété, dans le département du Puy-de-Dôme.

La seconde variété est le feldspath ditétraèdre

ft

(fig. 3i2), qui a pour signe G'TIP. Sa forme est

l TxP

celle de l’octaèdre que j’ai nommé rectangulaire y et qui appartient, comme primitive, à l’arragonite et à diverses autres substances , où sa position naturelle est la même que dans le cas présent, c’est-à-dire que la plus courte des arêtes situées au contour de la base commune des deux pyramides dont il est l’assemblage est horizontale, comme ici l’arête e. Cet octaèdre est alongé dans le sens de l’axe qui passe par les milieux de e et de son opposée, en sorte que ses angles latéraux sont remplacés par deux arêtes longitudinales 3", », et c’est ce qui a lieu encore fréquemment dans l’octaèdre de l’arragonitc, et des autres substances. L’incidence de P sur x est de 1 28** 5 1 ' . On trouve des cristaux de cette forme au Saint-Gotbard.

La variété précédente se réM>ut en deux autres, dont l’une, que l’on rencontre très rarement, est le feldspath binaire (fig. 3i3). Son signe est *GTP, .

et sa forme est celle d’un prisme rhomhoïdal oblique, dont les pans sont incbnés entre eux de 1 20^ et 6o**, et dont la base P fait avec l’arête y un angle de 1 15*^ i4'.

La même forme se retrouve dans l’autre des variétés dont j’ai parlé , avec la différence que sa base est située en sens contraire, ainsi qu’on le voit figure 3i4»

Elle a pour signe G*TI , et porte le jiom de felà-

Spath imitatif. L’incidence de sa base sur l’arête fi est de II 5^ 55', c’est-à-dire plus forte d’environ f de degré que celle qui a lieu dans le feldspath binaire. On trouve au Saint-Gothard des cristaux très prononcés de cette variété.

Parmi les formes que je viens de citer, il en est . trois qui appartiennent, comme formes primitives, | à diverses espèces de minéraux , savoir, l’octaèdre rectangulaire, le prisme rectangulaire oblique, et le prisme rhomboïdal oblique, qui est double, ainsi qu’on l’a vu. Mais aucune de ces formes ne pourrait être substituée, comme, noyau hypothétique, au véritable , qui est le parallélépipède que l’on obtient à l’aide de la division mécanique ; car il est fiicile de concevoir que l’on ne pourrait en faire dériver la forme de celui-ci , qui alors devrait être , consi-

déi’ée comme secondaire, sans contrarier la loi de symétrie (i).

Je terminerai par la description de la variété appelée feldspath quintuplant, que représente la figure 3i5, et dans laquelle la coïncidence des faces s et X donne naissance à un caractère j>articulier de symétrie, qui consiste en ce que les intersections de s avec M et *, où les lignes tt, e, qui sont les plus longs bords de s , sont parallèles entre elles. C’est ce qu’il est facile de démontrer.

Soit hd (fig. 3i6) le parallélépipède primitif, tel qu’on l’a déjà vu figuie 3og. Le plan rq/* (fig. 3i6), qui passe par le milieu de hh , est parallèle à la face X (fig. 3 1 5). Par un point quelconque de l’arête g'o, je mène /ni parallèle à rf, et ensuite ty parallèle à of\ le plan mty est de même parallèle à la face x (fig. 3i5). D’une autre part, le plan^r/îfc (fig. 3i6), qui passe par les milieux de oa et bh, est parallèle à la face s (fig. 3i5). Or, les sections mt, gk des

(i) Rome de l'Isle, qui avait d’abord assimilé la forme primitive du feldspath à un parallélépipède rbomboïdal, dont il n’indique pas les angles , a fini par se conformer à l’opinion de Saussure, d’après laquelle cette forme serait celle de la variété unitaire. Mais il s’est trompé au sujet de l’incidence de P sur y, qu’il suppose être de iiB**, au lieu qu’elle n’est que de gg*! 4° • ( Cristallographie , t. II , p. /S^j et suiv. ) Suivant M. Jameson , la forme primitive dont il s'agit est celle du feldspath ditétraèdre. (System of Mineralogr, 1. 1 , p . 368, édit. i8i6. )

deux plans grfk , sur un même plan goad^ étant parallèles, la commune section yv des mêmes plans sera parallèle , soit à mty soit à gk ; mais yp répond au bord supérieur tt de la face s (fig. 3 1 5), et ml (fig. 3i6) à son bord inférieur e (fig. 3i5); donc ces deux bords sont parallèles l’un à l’autre. A l’aide de ce parallébsme, les deux parties du sommet auxquelles appartiennent les faces P, *, s’assimilent entre elles , et toutes celles dont secompose l’ensemble de la forme se trouvent en harmonie les unes avec les autres. J’ai observé cette forme sur des cristaux du département de l’Isère.

Le feldspath présente aussi des bémitropies, mais elles sont du même genre que celles qui ont été décrites dans l’article où j’ai traité de ces modifications.

I ig. Le dernier des exemples relatifs au but de cet article aura pour objet la détermination de la molécule intégrante de l’épidote. Les cristaux de cette substance se divisent parallèlement aux pans d’un prisme d’environ 1 1 et 65*^. Les joints naturels que cette division met à découvert sont très nets, surtout dans les cristaux d’Arendal, en Norwège. Le prisme se sous-divise, mais avec moins de nettete, dans le sens d’un troisième joint, qui fait des angles inégaux avec chacun des premiers; et comme ce joint correspond à la petite diagonale de la coupe transversale, il en résulte que' les côtés de celle-ci sont inégaux. La division mécanique donne

DE CRISTALLOGRAPIUE. 3/3

nn autre joint perpendiculaire à l’axe du cristal , mais moins sensible que les précédens. Ainsi la forme primitive est un prisme droit PMT (fig. 3 17), qui a pour base un parallélogramme obliquangle. Ce prisme représente la molécule soustractive dont il s’agit de déterminer les dimensions.

Pour y parvenir, je choisis la variété que je nomme amphihexaèdre Gt que représente la figure 3 18. Je remarque d’abord que les faces M, T sont parallèles aux pans de la forme primitive, et que la face r est dans le sens du joint qui sous-<livise cette forme diagonalement. Soit un (fig. 3 19) cette même forme; ayant mené uh perpendiculaire sur dm^ je cherche le rapport entre cette ligne et dk , en prenant l’angle udm pour donnée. Cet angle, mesuré avec soin , se trouve . un peu plus grand que 65‘h Pour faciliter la recherche dont il s’agit, j’ai recours à un procédé dont je fais souvent usage , lorsque l’angle que je me propose de déterminer approche de celui qui est donné par un rapport simple entre les côtés analogues à uk et dk, eu sorte que ce dernier rapport m’est resté dans la mémoire.

Dans le cas présent, ce rapport est celui de 2 à i, d’après lequel l’angle kdu est de 63** j. Cet angle étant trop petit, j’essaie le rapport de V^5 à i, d’où je déduis pour l’angle cherché 65** 54^ qui est sensiblement trop fort. J’en conclus que le vrai rapport est entre celui de V4 ^ i celui de à i. Doublant les termes de cçs deux rapports, pour avoir

un intermédiaire, j^ai, d^uie part, » V^> de l’autre \/io à Va. J’essaie rintermédiaire v/g à y/a , qui me donne l’angle de 64^ ^

faible. Je triple les termes des deux rapports , et j’ai V^i5 î V3 et ^Tâ à s^vec les deux intermédiaires y/Ï4 à V^ et \/i3 à \/3; le premier donne 65*^ lo'; je m’en tiens à ce rapport, dont le résultat s’accorde sensiblement avec l’observation. Dans le même cas , l’incidence de M sur T est de 1 14** 5o'.

Maintenant , mon but est de déterminer le rapport entre les côtés C, B (fig. 3ig) , en nombres rationnels, pour facibter les calculs relatifs aux décroissemens sur les diflFérentes parties du noyau. Soit dulm (fig. 320)le même parallélogramme que figure 3ig. Je mène la diagonale mu, puis dg parallèle à mu , et prolongée jusqu’à la rencontre de gu.

La face r (fig. 3i8) étant parallèle au joint naturel qui sous-divise diagonalement la forme primitive, l’angle gdm (fig. 3ao) sera égal à l’incidence de M sur r (fig. 3i8). Or, la mesure mécanique donne pour cette incidence un peu plus de 1 1 6^. Je suppose, pour un instant, qu’elle ait exactement cette valeur; j’aurai donc MTOti=64^ (fig. 32o), et dum — So^5o'. La demi-somme des angles dmu-\-dum sera donc de 57** a5', et leur demi-différence sera de 6** 35'. Je fais cette proportion ,

du-\-dm : du — dm tang57** a5' : lang 6** 35'.

Retranchant le logarithme du quatrième terme de celui du troisième, j’ai pour différence celui de 1 3,56 à peu près. Je substitue i4 à ce nombre. Dans celte hypothèse, '

du -f- dm : du — - dm i4 î i ,

et la proportion devient , en laissant le quatrième terme inconnu ,

i4 I I ” tang57^25' : tang

Je trouve ^ = 6^ a3', d’où je conclus que l’angle

dmu = 63^ 4®^ que l’angle gdm~ 116^ 12', ce qui s’accorde avec l’observation citée plus haut. Il suit de là que

du (fig. 319) : dm :: i5 : i3 :: B : G.

11 reste à déterminer, de même en nombres rationnels, le rapport entre G et G, ou entre B et G. Je choisis le second. J’ai besoin, pour le trouver, d’une donnée qui me sera fournie par les positions des faces n, n' (fig. 3 18). Je remarque que l’intersection y de la face n avec la face r est perpendiculaire sur l’arête d’où je conclus que la face n résulte d’im décroissement ordinah’e sur l’angle udm (fig. Sig), ou E (fig. 317). Soit yeS' {ûg. Sai) le triangle mensurateurj si je mène c?e (fig. 3 19) perpendiculaire sur la diagonale mu, et si je suppose que le décroissement ajt lieu par une rangée ,

(fig. 3a i) sera a i£' v. de (fig. 3ig) : dx ou G. Faisant du = iS et dm'=. i3 , conformément à ce que j’ai trouvé ci-dessus, Je cherche l’expression du logarithme de de. Or, de = ? ukz=z i5 \/î4>

dm=i3, rt sin«/recî=:sin63‘* 48^ um'.uky ce qui me donne

log um— i,i8ioi33.

Substituant à uky dm et um leurs logarithmes, j’ai log de = 1, 066860g.

Maintenant, la mesure mécanique ayant donné sensiblement i a5^ 3o' pour l’incidence de n sur r {fig. 3 18), il en résulte que dans le triangle mensurateur (fig. 3a i), l’angle est à peu près de 3o'. Or, l’angle de 35*^ 16', qui en diffère peu, est un de ceux qui se .présentent souvent sur les cristaux ; par exemple, il est la moitié du petit angle du rhombe, dans le dodécaèdre rhomboïdal, et de la plus petite incidence des faces de l’octaèdre régulier, et le rapport entre son sinus et son cosinus est celui de i à V*2 , en sorte qu’on l’a toujours présent à l’esprit. En l’adoptant, dans le cas présent, et en se rappelant que le logarithme de de (fig. 3 19) est 1,0668609, on trouve pour le logarithme de dz 0,9208187, qui répond à peu près à 8 -f- mais ce nombre étant un peu trop faible, parce que J’ai supposé Syè (fig. 32i)=35‘^ 16', je

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DE cristallographie. Zjj

lui substitue 8-+“i> ou L’angle <1^6 qui s’en déduit est alors de 35^ Sa', et l'incidence de n sur r (fig. 3i8) est de laS** 3a', conformément à l’observation.

J’aurai donc

du (fig. Siq) est à d!z ou mn :: i5 i ^ 9 : 5.

J’ai eu d’ailleurs

du'.dmV, et uk'.dkv,\/\^\\/%,

ce qui suffit poxir être en état de déterminer les résultats de tous les décroissemens sur les différente» parties du noyau.

lao. J’ajouterai ici les descriptions de deux autres variétés du même minéral.

La première, que représente la figure 3a a, et que j’ai nommée épidote sexquadridécimal ^ se trouve dans le département de l’Isère, en cristaux d’un petit diamètre et d’une forme alongée, qui, dans une