partie des morceaux , passent à la forme aciculaire

Son signe est TM'G'CBE P. Voici les mesures de

TMroïeP

ses principaux angles. Incidence de Msur T, 1 14*^50'; de M sur o, lai^ a8'; de M sur r, i iG** la'; de T sur r, 134*^ i5'; de Msur P, go^; deesurr, 145**.

La seconde variété, qui est très rare, a été découverte à Arendal , en Norwége , où ses cristaux sont d’un volume plus ou moins considérable. Le plus gros de ceux qui sont dans ma collection a

378 THAITÉ

5 centimètres (environ 30 lignes) de hauteur, sur une épaisseur de 3 eentimètres (environ i3 lignes)^ mais on en a trouvé de beaucoup plus volumineux. On voit (figure 3a3) la projection de leur forme.

Ces cristaux, ainsi que d’autres du même pays, qui offrent des variétés différentes, avaient été rangés, par les premiers observateurs, sous le nom d^akanticone {pierre de serin)., tiré de la ressemblance entre la couleur jauné verdâtre de leur poussière, et celle du plumage de cet oiseau. L’examen de leur structure me les fit reconnaître pour une nouvelle variété d’épidole, et ce rapprochement est aujourd’hui généralement adopté.

Le' signe de la variété à laquelle ils appartiennent

est *G'G*GWGÈCCABBE E* (1).

r s i MT l n h O d ut <j y

Cette variété, dont la surface est un assemblage de 48 faces, 18 pour chaque sommet, et 12 pour la partie moyenne, naît du concours de douze lois de décroissement , dont les effets se combinent avec les pans M , T de la forme primitive. C’est la plus composée qui ait été observée jusqu’ici , et cette espèce de maximum sert à mieux faire ressortir la simplicité qui régne dans l’ensemble de ces lois, que l’on

(i) Le signe E» est l’équivalent, sous une forme plus simple, de celui que i’avais adopté dans mon Traité, et qui exprimait un décroissement intermédiaire sur les angles £, L' (iig. 317) de la base.

croirait avoir été choisies parmi celles vers lesquelles la cristallisatioa semble être entraînée de préférence, par cette même simplicité, et dont les résultats s’ofirent de toutes parts dans les formes ordinaires.

I2I. Lës exemples qui précèdent me paraissent sulHre pour donner une idée des principes sur lesquels est fondée la méthode qui en est le sujet, et de la marche qu’elle doit suivre pour arriver à son but. Il me reste à exposer diverses considérations qui, je l’espère, répandront un nouveau jour sur ce que j’en ai dit et achèveront de la motiver.

J’expliquerai d’abord en quoi consiste l’artifice de la méthode. Les rapports qui portent le caractère de simplicité auquel on reconnaît les points fixes d’où part la théorie , se montrent par intervalles dans la série de ceux que donnent les divers angles qui sous-divisent la circonférence. Si un de ces rapports simples se trouve à une assez petite distance du rapport compliqué auquel conduit la valeur de l’angle qui a été mesuré immédiatement à l’aide du goniomètre, pour que la différence entre cet angle et celui qui dérive du rapport compris dans la série paraisse susceptible d’être négligée , je substitue ce dernier rapport à celui qu’a donné la mesure mécanique.

Quelquefois, au-delà de ce rapport, on en rencontre un autre qui n’en est pas éloigné , et qui , considéré en lui-même , satisfait à la condition exigée. Mais ordinairement Tangle dont il dépend diffère assez de celui que donne le premier rapport , pour

38o TRAITÉ

qu’on ne soit pas exposé à prendre un terme fixe pour l’autre. Je vais en citer mi exemple que je tirerai du quarz. Je reprends le rapport V*i49 * V^a4o, qui dérive de la mesure trouvée par M. Malus, pour l’inclinaison de chacune des facesde la pyramide surlabase. J’ajouted’aborduneunitéà i49jpour avoir le nouveau rapport v/i5à J’ajoute de même une unité à 24, et j’arrive au rapport \/i5 à V^T*, ou \/3 à V5, qui ne difiôre que de ^ en plus, du rapport à \/8, et qui est même plus simple. J’en déduis l’inclinaison qui correspond à celle dont j’ai parlé, et je trouve qu’elle est de 142'* I4^ lieu de c’est-à-dire qu’elle en diffère de 34^

en plus. Or , cette différence étant de celles qui ne peuvent échapper au goniomètre, j’en conclus que le véritable point fixe est le rapport de à \/8.

Je me propose maintenant de faire voir que les diverses applications de la théorie, telle que je la conçois, aux différons cas que l’on peut considérer dans la détermination des molécules intégrantes et de tout ce qui en dérive , ont leur source dans cette idée si satisfaisante et si vraie , qu’en général la nature tend vers l’uniformité et la simplicité. Les rapports entre les dimensions des formes limites possèdent éminemment cette dernière propriété. Les points fixes qui représentent ceux dont les autres formes dépendent la font reparaître ; et dans les cas où ces formes sont prismatiques, un autre genre de simpli-

cité, savoir , celui qui naît des lois de décroissement prises dans leur ensemble, se présente pour compléter la détermination des rapports dont il's’agit.

J’ajoute que les lois de décroissement elles-mêmes, lorsqu’elles ne sont pas indiquées par l’aspect de la forme, peuvent être déterminées avec certitude d’après la raison de la plus grande simplicité. Ainsi en mesurant, à l’aide du goniomètre ordinaire, l’inclinaison respective des pentagones du fer sulfuré dodécaèdre à la rencontre de leurs bases, je trouve qu’elle approche beaucoup d’être égale à 127^. De plus, le calcul m’apprend que dans l’hypothèse où le décroissement qui produit ces pentagones aurait lieu par deux rangées en largeur sur les bords du cube primitif qui leur servent de lignes dej départ ,1 ’inclinaison dont il s’agit serait de 126*^52' 12"; j’en conclus que c^ angle est celui de la nature , et la théorie me donne la valeur exacte de cette petite dilféreuce de 7' 48", que l’instrument ne peut saisir.

Je vais citer un autre exemple que je tirerai de la loi de décroissement qui donne les faces r, r (fig. 802) de la variété d’étain oxidé qui m’a servi pour déterminer l’angle fondamental de l’octaèdre primitif de ce minéral. Nous pouvons , pour plus de simplicité , substituer à l’octaèdre primitif, comme noyau hypothétique, le prisme symétrique dont la base coïnciderait avec celle qui est commune aux deux pyramides dont cet octaèdre est l’assemblage; d’où il suit que les pans coïncideraient avec ceux qu’indiquent

38a TRAITÉ

les lettres /, l (fig. 3oa). Soit ahcd (fig. 824) la -coupe transversale de ce prisme. Dans notre hypothèse , les faces /e,r' (fig. 802) résulteront d’un décroissement sur les arêtes longitudinales qui passent par les points rt , 6. Soient am , hfo , les triangles mensurateurs relatifs à ce décroissement , auquel cas l’angle anr ou. bof mesurera la moitié de l’incidence de r sur /. M. PhiUips indique pour cette incidence 1 26*^ 4^', dont la moitié, 63**22'3o", est la mesure de l’angle anr, ou bof. Si la mesure est exacte , les nombres de rangées soustraites en largeur et en hauteur doivent être entre eux comme le sinus de 63^ 22' 3o" est au cosinus. Je trouve que le rapport entre l’un et l’autre est celui des nombres 89889, 448a8, abstraction faite des secondes. Comparant ces nombres , je m’aperçois que leur rapport ne diffère presque pas de celui de 2 à l’unité. J’en conclus que ce rapport est le véritable. J’eu déduis l’incidence de r' sur r, qui se trouve être de 127*^ 52' 16", et qui diffère de 7' 1 2" en plus, de celle qui a été indiquée par M. Phillips. J’observe que cette différence, qu’il est indispensable de négliger, est plus que le double de celle que j’ai cru pouvoir regarder comme nulle, pour ramener à une limite fixe le rapport entre es et cm. La mesure mécanique semble se tourner ici contre elle-même.

122. Dans cet exemple, et dans ceux qui précèdent , je n’ai fait autre chose que me conformer à la marche générale des sciences physiques. Nos expériences ne sont jamais rigoureuses. Mais nous sommes

d’autant mieux fondés à les regarder comme décisives , lorsqu’elles ne donnent que de Itères différences avec les résultats de nos théories , qu’on aurait plutôt lieu d’être surpris qu’elles n’en donnassent aucune.

Lorsque le célèbre Coulomb fit les belles expériences à l’aide desquelles il démontra que les forces électriques et magnétiques suivaient la raison inverse du carré de la distance, les expressions numériques de ces forces , déduites des moyens mécaniques qu’il employait pour les mesurer, ne représentaient jamais bien exactement la loi à laquelle il supposait que ces mêmes forces étaient soumises. Mais elles la touchaient de si près, qu’il avait droit de rejeter la différence sur les petites erreurs inséparables de l’observation. Ainsi, dans une expérience relative au magnétisme , où la mesure des forces dépendait du carré du nombre d’oscillations que faisait, en 6o", une aiguille aimantée suspendue librement , et placée successivement à deux distances du centre d’action d’un barreau aimanté , dont l’une était double de l’autre , il observa que les nombres d’oscillations correspondantes étaient l’un de 4 1 et l’autre de 24 quelque chose. Or , pour que les carrés de ces nom- 'bres, déduction faite du carré de i5 qui représentait l’action du globe sur l’aiguille, fussent entre eux dans le rapport inverse du carré des distances, il fallait supposer que l’aiguille, dans sa seconde position, faisait 24 oscillations plus -i^, à très peu près.

Le calcul donnait ainsi k valeur précise d’une correction que l’observation laissait dans le vague.

On dira que le véritable résultat se présentait ici | de lui-même, à la suite de la loi de k gravitation universelle, qui est la grande loi de k nature. IVIais on ne peut douter que l’affinité, quoique sa manière d’agir nous échappe encore, dans l’état actuel de nos connaissances, ne soit aussi soumise à des lois également simples et constantes. Or, ce sont ces mêmes lois qui, en déterminant l’arrangement et les j fonctions mutuelles des principes qui composent les ' molécules intégrantes, donnent naissance aux, rapports entre les dimensions respectives de ces dernières , et c’est une raison de croire que k simpbcilé qui les caractérise a dû laisser son empreinte sur les rapports dont il s’agit.

En admettant donc que k méthode que je'propose s’accorde avec k marche de k nature, on concevra aisément que le goniomètre ordinaire doit suffire pour les mesures mécaniques, qui se réduisent à de simples tâtonnemens autour des points fixes que l’ou cherche. Mais j’avouerai, .si l’on veut, k supériorité des instrumens cjui ont été employés par des savans j distingués pour mesurer, à l’aide de k réflexion , les angles des formes cristallines. Supposons que divers observateurs exercés à ce genre d’opérations,' qui exige beaucoup de temps et une grande adresse, aient entrepris de déterminer chacun de leur côté le même angle fondamental sur des cristaux qui appar-

Digilized by Googit

tieoDent à une espèce récemment décoaverte. U est certain que les résultats de leurs mesures diflPéreroAt plus ou moins les uns des autres. De plus, ils seront forcés de, négli^r quelque chose , pour déduire de ces résultats des rapports entre les dimensions de la-' molécule , qui aient la forme convenable pour être employés à manier. la, théorie relative aux formes secondaires ; et s’ils déterminent à volonté, et comme par aperçu, la quantité qu’ils croient pouvoir se permettre, de ^ négliger, ils n’auront évité un inconvénient que pour tomber dans un autre qui ne sera pas moindre. Supposons, au contraire, qu’ils se dirigent d’après la naéthode qui me paraît être la seule admis-, sihle, tous leurs résultats, qui jusqu’alors étaient pour ainsi dire errans, viendront se rallier, autour de oe point fixe qu’il leur sera fiicile de reconnaître, en sorte qu’ils paraîtront s’étre concertés sur la mapière d’arriver à une théorie uniforme. Si ce point fixe, tel que je. le conçois, n’est pas le véritable, et s’il en existe im autre qui me soit inconnu , c’est aux savans qui ont publié les résultats des observ'alions fiâtes à l’aide de la réfiexion, qui jusqu’à présent ont dû être laissés intacts, à compléter leur ouvrage et à en déduire eux -mêmes les dormées nécessaires pour la solution des problèmes qui eu dépendent. Mais ce que je crois pouvoir assurer, c’est que ces données laisseront subsister le fond de la théorie ) qu’elles n’apporteront aucun changement aux tableaux des signes représentaliis tracés d’après ‘ 11. a5

les luis auxquelles est soumise la structure; qu’elles ne feront enfin que déplacer un peu le terme d’où la théorie devra partir, et qu’elle a dès maintenant tout ce qu’il lui faut pour arriver par une route également sûre et facile à son but principal.

Réfiexions sur la mesure des angles du rhombdide primitif de la chaux carbonatèe.

I a3. Dans toutes les descriptions que renferme cet ouvrage des diverses formes cristallines que j’ai choisies pour y appliquer les lois de la structure, j’ai indiqué les incidences mutuelles des faces que présentent ces formes , telles que je les ai déduites des résultats les plus précis que j’aie pu obtenir à l’aide du goniomètre ordinaire. Uné bonne partie de ces résultats comparés à ceux qu’avait donnés le goniomètre à réflexion , se sont trouvés d’accord avec eux, à une petite différence près , qu’il a fallu n^liger pour avoir des rapports simples entre les dimensions des molécules intégrantes. En cela je me suis conformé à l’usage reçu dans les sciences physiques.

Mais il est une substance minérale dont la forme primitive soumise aux mesures de l’instrument que je viens de citer , a donné une différence trop sensible avec la limite à laquelle j’étais parvenu , pour qu’il semble être permis de la négliger, et l’inconvénient qui résulte de ce défiiut d’accord pourra être jugé d’autant plus grave qu’il s’agit de la cliaux cai^

DE OIISTALLOGRA.PHIE. 387

bonalée , c’est-à-dire du minéral dont les formes variées prouvent beaucoup plus que celles d’aucun autre la fécondité de la cristallisation. Que l’on me j)ermette de raconter ici la manière dont j’ai été conduit à cette limite, et d’exposer les divers résultats qui depuis ont paru concourir à en motiver l’adoption.

En divisant des cristaux de la variété de chaux carbonatée que j’ai nommée prismatique , pour en , extraire leur noyau rhomboïdal , j’observai que chacun des joints naturels qui interceptaient trois arêtes prises alternativement sur le contous de la base était incliné sensiblement de la même quantité, tant sur cette base que sur le pan adjacent.,Par une suite nécessaire, la demi -perpendiculaire sur l’axe du rhomboïde était égale au tiers de cet axe , c’est-àdire que l’on avait V^9P* — l’on

tire g' P II I V^2. Il résultait encore de là que le cosinus de l’angle égal à la plus petite incidence des faces du rhomboïde était exactement un quart du rayon, ce qui donnait 75^3 1' 20" pour cette inddence, et 104*^ 28' 40’’ pour la plus grande. Dans le même cas, l’angle obtus du rhombc était de 1 0 1 ‘’32'4^^ et l’angle aigu de 78*^ 27' 56".

Ainsi la détermination géométrique du rhoaiboïde se rapportait à une hmite dont l’existence s’accordait avec un principe admis par les diverses sciences qui ont pour objet l’étude de la nature. 11 consiste en ce que deux quantités sont censées être rigoureusement

égales, lorsque l’obsérVation ne donne énttè' elles aucune différence appréciable ; et s’il m’est permis d’employer ici une de ces comparaisons qui rapprochent les extrêmes, je dirai qu’il en était de ces deux inclinaisons égales des faces du rhomboïde sur un plan horizontal et sur un plan vertical, comme des durées des deux moyens mouvemens de rotation et de révolution de la lune, dont l’égalité, regardée comme absolue par les géomètres et par les astronomes , sert comme de point fixe dans ;les calculs relatifs à l’Astronomie.

Les mesures prises un grand nombre de fois, à l’aide du goniomètre , par des hommes très exercés et par moi, sur des rhomboïdes dits spaths dt Islande, d’une forme très nettement prononcée , ont paru confirmer l’incidence de io4^ ventre les faces les plus inclinées l’une sur l’autre. J’ajoute une con- sidération dont on verra bientôt lé but. C’est que la manière d’opérer avec cet instrument est directe, et d’une précision plus que suffisante pour indiquer une différence d’un demi-degré. On a de plus cet avantage , qu’en faisant mouvoir le point de concours des alidades de l’instrument le long de l’arête Comprise entre les faces dont on cherche l’incidence , on est le maitre de choisir parmi les portions de surface adjacente à cette arête celles qui par leur poli et par leur niveau se prêtent le mieux à l’exactitude du contact avec les alidades. • - ’

Les résultats cpii depuis amenèrent successivement

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la découverte de plusieurs propriétés remarquables que j’ai fait connaître précédemment , et qui dépendent de cette même limite, comme celles qui ont beu dans le dodécaèdre métastatique , dans le rhomboïde inverse, dans le contrastant comparé à l’é-^ quiaxe, etc. , donnèrent une nouvelle force à l’opinion qu’elle avait été tracée par la nature elle-même.

Cependant , im an après la publication de mou Traité, c’est-à-dire eu 1802, M. Wollaston, auquel on . est redevable des l'ccherches qui ont 'constaté l’existence de la loi d’Huyghens, relativement à la double réfraction, ayant mesuré, à l’aide de l’ingénieux instrument dont il est l’inventeur , les angles des rhomboïdes calcaires qui avaient sei'vi à ses expériences, indiqua 105*^5' pour la plus grande incidence de leurs faces. Huit ans après, un travail très intéressant sur le même sujet , conduisit M. Malus à déterminer la même incidence, au moyen du cercle répétiteur, en employant la réflexion des images sur les faces des rhomboïdes , et son résultat fit reparaître l’angle de io5‘*5', déjà trouvé par M. Wollaston (i).

On ne douta pas que cet angle ne fut le véritable.

(i) M. Biot a publié dans les Annales de Chimie et de Physique (tom. XTV, >820) un Mémoire sur les propriétés optiques de la chaux carbonatée magnésifère , où il annonce qu’il a trouvé également io5'*5' pour la mesure de l’incidence dont il s’agit. • ’

3qo TRAITÉ

et malgré toutes les probabilités que la première mesure avait en sa faveur , on regarda la nécessité de l’abandonner, comme un sacrifice commandé par la science. Je pense que cette sorte d’arrêt prononcé contre la mesure dont il s’agit provient de ce qu’on i n’y a vu qu’un l'ésultat isolé d’observation, et je vais prouver, en la considérant relativement à l’en- ; semble dont elle fait partie, que les conséquences qui paraissent tendre à l’écarter ne vont pas, à beaucoup près , aussi loin qu’on serait tenté de le croire. ' J’observe d’abord que la mesure donnée par la réflexion, outre qu’elle dérive d’un moyen indirect , ;

n’a pas un caractère de limite, et ne peut être regardée que comme approximative. De toutes les manières de la représenter, à l’aide du rapport entre 1 les diagonales du rhomboïde calcaire , la plus simple est celle qui donne pour ce rapport et encore

l’angle qui en résulte est-il plus fort d’environ 12'' que celui de io5^ 5'. On voit qu’il sulBrait d’ajouter ' une unité au dénominateur de la fraction, pour qu’elle devînt ^ale à \/f , qui est la valeur à laquelle ' ! j’étais parvenu. Dans la même hypothèse, le sinus de la plus petite incidence des faces du rhomboïde est les fl du rayon , au lieu de f que donne la limite à laquelle se rapporte ma mesure (i).

(1) Le rapport f| se change en celui de par le retranchement d’une unité à chacun de ses deux termes.

DE CIUSTALLOGRAPHIE. Sgi

J’ai désiré de savoir jusqu’où iraient les différences entre les angles des cristaux secondaires qui se déduisent des deux rapports, dans la supposition où on laisserait subsister la même simplicité dans les lois de décroissement, et j’ai été en quelque sorte surpris de voir à quel point ces rapports convergeaient l’un vers l’autre , en passant dans la plupart des résultats de ces lois. Une des plus fortes différences est celle qu’a donnée le rhomboïde inverse , dans lequel la plus grande incidence, d’après la nouvelle mesure, est de I O i** 8’ 56", au lieu de ïoi‘'32'i3* que j’avais annoncé, c’est-à-dire qu’elle est plus faible de a3' 17" en moins (1). Dans le rhomboïde contrastant, l’incidence est de 1 14** 10' 2", toujours en pai^ tant de la nouvelle mesure, au beu de 1 14** i8'56” j différence en moins, 8^54”. Dans le dodécaèdre métastatique, l’une des incidences est de 144*^ 24' 16", et l’autre de io4‘^37’52', au lieu de :i£>" et

io4‘*28'4o^j différences en plus, 3'5o" d’une part, et 9' 1 2" de l’autre. Dans le dodécaèdre qui a pour

(i) Dans la variété équiaxe, la dilTérence primitive subsiste tout entière, par une suite de ce que les faces du rhomboïde quelle présente sont posées sur les arêtes du noyau. Leur plus grande incidence , d’après la nouvelle mesure , est de i34^ 57' 9* , au lieu de 134*1 a5' 38" , que j’avais indiqué, c’est-à-dire quelle est plus forte de 3i' ^3'^ J’ai mesuré cette incidence sur des rhomboïdes d’une forme bien prononcée, et elle m’a paru se rapprocher beaucoup plus de i34*’ î que de i35d.

Spa TRAITÉ

signe D, et qui se rencontre fréquemment parmi le» variétés de forme de la chaux carbonatée , les deux incidences sont l’une de i34**27'36', et l’autre de 109^ l'ao", au lieu de i34‘^25'2*, et io8^56'2"j différences en plus, 2^34^' et 5' 18". Dans la variété paradoxale les incidences sont de 9 a** 9' 2 2" et i53** i5'4o^', au lieu de 92*^3' 10" et i53'^i4^4'^; différences en plus, & 12" et i'36". Enfin, dans le dodécaèdre de la variété euthétique , auquel appartiennent les faces V, V, l’une des incidences est de i52^28^4®^ et l’autre de 88^56'3o", au lieu de 152** 28' 22' et 88** 55' 8" ; différences en plus , 26* et i' 22".

P<ous pouvons maintenant comparer les deux dé-* terminations , relativement à leur véritable objet, savoir, leurs appbcations aux formes cristallines qui en dérivent. Dabord, leur diversité n’a aucune influence sur les résultats des lois de la structure. Quefle que soit celle des deux mesures dont on parte pour soumettre ces lois au calcul , le tableau des signes représentatifs reste le même. Par une suite nécessaire , les différences entre les angles trouvés de part et d’autre sont trop Itères pour qu’ü ne soit pas toujours facile de reconnaître , en se servant du goniomètre ordinaire, à quelle variété appartiendrait un cristal de chaux carbonatée qui s’offrirait pour la première fois. Les petites déviations accidentelles dont les cristaux sont susceptibles occasionnent des diflfences plus grandes que celles

dont il s’agit, ce qui n’empêche pas qu’(m ne puisse rapporter ces cristaux aux variétés dont ils présentent les formes. .

La mesure donnée par le goniomètre à réflexion est un titre d’exclusion pour les variétés métastatique, inverse, contrastante, et autres, qui of&eut des propriétés géométriques si remarquables, lorsqu’on prend dans un sens rigoureux les noms de ces variétés. Si l’on cherche les lois de décroissement dont elles défiendent, dans l’hypothèse de cette mesure, on trouve que le signe de la variété métasr tatique est , celui de l’inverse jf , celui du contras-

tant considéré comme inverse de l’équiaxe || , etc. ,

toutes lois que leur complication rend inadmissibles, par une suite de celle gui existe dans le rapport fondamental V-Vr. Mais , en supposant que ce rapport sdit le véritable, il ne faut que le modifierlégèrement pour qu’il se change en celui de \/|, d’où résultent, par des lois .très simples, des formes qui touchent de si près celles où les propriétés dont 'il s’agit existeraient sans aucune altération, qu’elles sont censées les représenter., ,

; . Newton , comme l’on ,sait , assimile les rapports des espaces qu’occupent les couleurs prismatiques* à ceux des tons de la gamme dans le mode mineur , et il suppose que les premiers sont proportionnels aux différences ^des sinus de réfraction des rayons

3q4 TRAITÉ

diversement colorés , ce qui n’a lieu que d’une manière approximative : aussi Newton ajoute-t-il que c’est sans enHîur sensible ( sine errore sensibili)- Ceci s’applique, jusqu’à un certain point, aux résultats qui dérivent du rapport dont j’ai parlé; ils ne sont pas rigoureux, mais la quantité dont ils diffèrent des véritables peut être regardée comme insensible.

IVlaintenant, si l’on réfléchit combien sont simples, faciles et expéditifs les calculs relatifs aux déterminations des variétés secondaires, dans l’hypotbèse du rapport pour les diagonales, ou^ pour Fexpression du cosinus du petit angle saillant, et combien au contraire üs deviennent longs, compliqués et pénibles, dans l’hypotbèse où les quantités coirespondantes sont \/^- et f|, et si l’on ajoute que l’inconvénient de cellcs-cr tombe sur une substance cpii fournit à la méthode une multitude de formes dont le nombre augmente de jour en jour, on concevra qu’il faut y regarder de bien près avant d’admettre des quantités qui d’ailleurs ne peuvent passer que pour approximatives ; et l’on a même lieu de s’étonner qu’elles fassent exception à tant d’autres, et ne puissent être ramenées comme elles à des limites qui ne soient pas susceptibles de plus ou de moins, au moyen d’une de ces correction s. qui font disparaître des différences assez légères pour qu’on ait droit de ’ les imputer aux erreurs inséparables de l’observation.

Au reste , je sens toute la force du préjugé que

DE CRISTALLOGRAPHIE. 3g5

tendent à faire naître contré ma mesure, et le degré de justesse que l’on a cru avoir droit d’attendre des iustrumens qui en ont donné une différente, et l’habileté des mains qui les ont maniés. Aussi, tout ce que je prétends conclure de la discussion précédente, c’est qu’en adoptant le rapport , auquel ont conduit les iustrumens dont je viens de parler, on devrait au moins lui associer le rapport ^ , pour la détermination des propriétés qui en dérivent. Elles paraîtraient déjà dignes d’attention par elles - mêmes , quand elles n’existeraient qu’en conception, et se seraient présentées à un géomètre dans le cours de ses recherches (i^ ; à plus forte raison méritent-elles , ce me semble, d’intéresser, lorsque l’observation nous les montre réalisées au moins sensiblement , et comme personnifiées dans les résultats du travail de la nature.

J’ai donné à cet article tout le développement que m’a paru exiger l’importance que des savans justement célèbres ont attachée au point de Cristallographie que j’y discute. Je désire que les considérations qu’il renferme soient jugées d’ailleurs assez instructives par elles-mêmes pour me faire pardonner d’y avoir passé les homes que le sujet semblait devoir me prescrire.

0) C’est le jugement qu’en ont porté des savans d’un . mérite très distingué.

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Des arrondissemens qu*ont subis les formes cPun grand nombre de cristaux , par des causes acci- ! dentelles.

124. Les cristaux, dont les molécules à mesure qu’elles se séparaient du liquide dans lequel elles étaient suspendues , ont obéi librement aux lois de j l’aflinité qui les sollicitait à se réunir, sont tous terminés par des faces parfaitement planes , et dont les ! inclinaisons mutuelles sont constantes dans tous ceux qui appartiennent à une même variété. Les inflexions et les courbures qui modifient les formes d’un grand ’ nombre de ces corps sont dues à des causes , acci- ' dentelles qui ont altéré l’ordre de la structure, et 1 en cela comme à beaucoup d’autres égards’, les mi- i néraux diffèrent des êtres organiques , dans lesquels les contours et les arrondissemens sont une suite de j l’organisation elle-même , et contribuent à l’él^ance de la forme, au lieu que dans les minéraux sa perfection est caractérisée par la ligne droite qui en dé* termine l’aspect symétrique.

Les courbures dont je viens de parler n’affectent quelquefois que certaines parties des cristaux. Telles sont celles qui ont lieu dans les émeraudes que j’ap- 1 pelle cylindroïdes , parce cpie leur forme se rapproche du cylindre par l’arrondissement qu’a subi sa surface latérale et par le niveau de sa base qui est perpendiculaire à l’axe. Mais dans d’autres cristaux les arrondissemens s’étendent à la forme entière , rt

DE CRISTALLOGRAPHIE. 3g7 -

c’est ce qui a lieu eu particulier dans le diamant,' dont une des variétés les plus ordinaires ofire l’aspect d’un solide terminé par quarante - huit faces bombées. On trouve aussi des cristaux de chaux carbonatée dont la surface est composée de sLx faces curvilignes qui répondent à celles du rhomboïde primitif. Tout le monde connaît les cristaux du même minéral que 'l’on appelle lenticulaires y et qui dérive du rhomboïde équiaxe dont les bords latéraux se sont arrondis en même temps que les £ices latérales ont pris de la convexité.

Les altérations de niveau dont je viens de parler ont heu plus sensiblement dans certains individus , que dans les autres, en sorte qu’il y a une gradation d’intermédiaires entre la forme originale dont toutes les faces sont parfaitement planes, et celle qui est arrondie dans tous les sens. Par exemple, dans le passage du rhomboïde équiaxe à la variété lenticulaire, on trouve des cristaux sur lesquels l’arrondissement se borne aux arêtes latérales , et laisse subsister les trois faces planes qui se réunissent autour de chaque sommet.

Ce n’est qu’en suivant la gradation dont je viens de parler, dans les cristaux qui en présentent successivement les différens termes, que l’on peut se hire une juste idée des formes dans lesquelles existe , pour ainsi dire, le maximum d’altération, et en , donner une description aussi exacte que le comporte le sujet , en les ramenant à celle qui offre le type dont

elles dérivent. On fait à l’égard de ces cristaux à peu près la même chose que par rapport à ceux dont les faces sont planes , et que l’on considère comme étant composés d’un noyau qui est leur forme primitive, et qui occupe la partie située vers le centre, et d’une matière enveloppante limitée par des plans dont les positions respectives sont en relation avec i celles des faces du noyau.

On aurait tort de croire que ces formes , qui s’écar- • tent de la régularité de celles qu’on appelle déterminables, peuvent être négligées dans la description des espèces où on les rencontre, comme étant dues à de simples accidens , et susceptibles de varier à l’infini. Car outre qu’elles s’ofirent souvent à nos observations, nous avons vu que leurs variations étaient renfermées entre certaines limites , et qu’elles avaient un type auquel elles pouvaient être rapportées. Aussi j ont-elles été citées dans tous les Traités de Minéra- I logie. Seulement, les descriptions qui en ont été don- ^ nées manquent souvent de justesse, parce qu’on y a | omis d’indiquer la relation qui lie diacune d’elles à ■ la forme déterminable dont elle tire son origine.

Je me propose ici de prouver par deux exemples ' remarquables, l’utilité du genre d’étude dont je viens j

de parler, et même de faire voir que cette étude n’est * pas étrangère à la théorie des lois auxquelles est sou- ! mise la structure des cristaux. Le premier exemple i me sera fourni par le cuivre phosphaté, que j’ai j choisi de préférence parmi d’autres especes de sub-

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stances métalliques, pour avoir en meme temps l’occasion de faire connaître sa forme primitive, qui jusqu’ici n’a pas été décrite exactement. Je tirerai le second exemple d’une variété de chaux sulfatée qui est pareillement inconnue, et dont la forme, quoique arrondie, se prête à une application de la théorie qui m’a paru digne de quelque intérêt.

La forme primitive du cuivre phosphaté est un octaèdre rectangulaire (fig. SaS) qui a cela de commun avec celui de l’arragonite et de quelques autres substances, que pour lui donner sa position naturelle , il faut le tourner de manière que l’arête G , qui est la plus longue de celles qui terminent la base commune des deux pyramides dont il est l’asseniblage , soit dirigée verticalement , et la plus courte , savoir G, soit horizontale.

L’incidence de M sur M est de 1 09"^ 28' , celle de P, sur ftî de 1 1 2** 1 2' , et celle de P sur P' de 98*^ 12' (i). La première de ces incidences est la même que celle de deux Êices adjacentes sur l’octaèdre régiüier; la seconde n’en diffère que d’environ en plus , d’où l’on voit que si l’on se bornait à mesurer ces deux incidences sur les octaèdres du cuivre phosphaté , on serait d’autant plus porté à les regarder comme des

(1) Si du centre de l’octaèdre on mène une perpendiculaire sur l’arête G, une autre sur l’arête C, et une troisième ligne qui aboutisse à l'angle E , ces trois lignes seront entre elles dans le rapport des riombres a , et 2.

4oo TRAITÉ

octaèdres réguliers que leur petitesse pourrait Êdre altiibuer la diflFérence donnée par la seconde mesure à une erreur d’observation. Mais l’inclinaison de P sur P', qui n’est que d’environ gS**, c’est-à-dire moindre de plus de ii*^que celle qui lui correspond sur l’octaèdre régulier, ne permet pas de les assimiler à celui-ci J parce qu’ils sont d^une forme très nettement prononcée, qui , malgré sa petitesse, exclut la possibilité d’qne erreur aussi considérable que celle . qui aurait eu lieu dans le cas présent ^ et d’ailleurs nous verrons bientôt que l’hypothèse de l’octaèdre \ régulier, comme forme primitive du cuivre phos-

phaté, est contraire à la loi de symétrie.

' Supposons maintenant que la forme primitive qui vient d’être décrite ait subi un décroissement par une rangée sur l’arête C et sur son opposée. L’oc-; taèdre se trouvera transformé en un prisme rhofnboïdal,' tel que le représente la figure 3a6. Ce résultat de cristallisation n’a pas encore été observé parmi les cristaux de cuivre phosphaté. Mais on trouve un certain nombre de ces cristaux qui présentent la forme que l’on voit figure 827, et qui est celle d’un prisme rhomboïdal droit , dont les pans sont curvilignes et les bases hérissées de saillies. Ce prisme provient visiblement d’une altération du précédent, qui a subi des arrondisse'mens dans ses parties latérales , et dont les bases sont oblitérées. Assez ordinairement les six faces qui le terminent ont des étendues à peu près égales 3 mais qudquefois il s’a-

DE CRISTALLOGRAPHIE. 4oi

longe d’une manière sensible parallèlement à sou ue. Les prismes curvilignes dont il s’agit, vus à la loupe, paraissent être des assemblages de très petits cristaux de la même forme que l’on distingue aux saillies que présentent leurs parties extrêmes. On sait que ces sortes de groupemens sont l’indice d’une cristallisation- précipitée.

Les premiers cristaux de cuivre phosphaté qui aient été observés, et qui venaient de Rheinbreitenbach, étaient semblables au prisme rhomboïdal-à pans curvihgnes que représente la figure 327. Les dimensions de leurs laces, qui étaient à peu près égales, leur donnaient de la ressemblance avec un rhomboïde peu obtus, et M. Karsten avait en vue cette ressemblance , lorsqu’il décrivait ces cristaux comme des hexaèdres obliques, avec des facee convexes (i).

J’avais moi-même rapporté la forme de ces cristaux au rhomboïde, dans mon .Tableau comparatif (2) , mais en ajoutant à ce mot le signe du doute, et dans la note relative au même minéral, je témoigne l’espoir que de nouvelles recherches nous en procureront des cristaux assez prononcés pour se prêter à des mesures précises (3).

{i) Journal de Physique , tom. LUI, pag. 35o. Les savans étrangers désignent par le mot hexaèdre l’espèçe de solide que je nomme rhomboïde.

(2) Tableau comparatif, page 92.

(3) Ibid , page 268.

Diqilized by Googte

4o» TRAITÉ

La découverte qui a été iàite plus récemment à Lâbethen, près de SchenmitZ) des octaèdres primi> tifs que j’ai décrits d’abord, a réalisé cet espoir (i)>

La comparaison des cristaux curvUignes avec ces octaèdres exelut l’hypothèse du rhomboïde , et fait connaître que leur véritable tyj>e est le prisme droit que l’on voit figure 3a6. De plus , en examinant at* tentivement ces cristaux, on voit que leurs quatre faces latérales ont le même genre d’éclat, et que leurs bases raboteuses et ternes semblent être dans un cas j particulier, ce qui achève d’écarter l’idée du rhomboïde , et vient à l’appui du rapprochement dont j’ni j parlé. A l’égard des cristaux qui se sont alongés dans s le sens de leur axe, ils offrent une preuve de plus en laveur de la même origine, puisque dans l’octaèdre primitif, d’où dérive le prisme qui est le type des mêmes cristaux, la plus grande dimension est, comme je l’ai dit, celle qui a lieu dans le sens de l’arête G (fig. 325). |

J’ajoute que l’aspect de ce type indique évidemment que l’octaèdre qui est censé lui avoir donné naissance ne peut être celui qu’on appelle régulier, i

(i)On av arié sur la nature de la substance minérale dont il s'agit ici. Mais M. Bucholz, qui en a fait l’analyse, l’a reconnue pour appartenir au cuivre phosphaté. On a confondu aussi avec le même minéral le cuivre carbonaté vert qui lui est associé, ce qui m’avait induit en erreur, à une époque où je ne connaissais pas encore le premier, (^uyo Jameson , System qf Mineralogy , vol. 111 , p, 1 8 1 . )

puisque dans cette liypothèse les lois de décroissemeut auraient dérogé à la loi de symétrie, en agissant solitairement sur les arêtes G, tandis que les autres qui leur sont identiques seraient res^^c^ intactes. Ainsi d’une part, l’octaèdre dont il s’a^t ici sert comme d’interprète à la théorie, pour expliquer l’origine de ces formes arrondies, dont on ne pouvait avoir qu’une idée confuse lorsqu’on les voyait isolément^ et d’une autre part, ces formes, ramenées à leur véritable aspect, ofirent la confirmation des mesures prises sur l’octaèdre et des différences qu’içlles avaient indiquées entre les inclinaisons respectives de ses feces. ,

Je viens maintenant au second exemple, qui; est tiré d’une variété de chaux sulfatée dont la.fort^e est celle d’un solide composé de deux cônes suidiaissés réunis par leurs bases. Un de ces cônes, çst représenté figure 33i. • > l.

Cette forme contraste d’une manière frappante avec celle de la variété trapézienne (fig.,338.);, dont elle tire cependant son origine (i), en sorte, qu’elle ne conserve pas la plus légère trace de cette origine , au lieu que dans les ciistaux curvilignes ,de cuivre phosphaté, on démêle certains traits de ressemblance avec leur type , à travers les altérations qui le dé-

(i) Le signe représentatif de cette dernière variété rapporté

au noj’au ( fig. 3ag) est CEP.

4o4 TRAITÉ

guisent. Mais l’ohsei'Vàlion des divers cristaux de chaux sulfatée que l’on trouve surtout à Montmartre présente une gradation d’intermédiaires qui sert à lier entre elles les deux formes dont j’ai parlé, en sorte que l’une passe insensiblement à l’autre. Je reprendrai ici ce que j’ai dit dans mon Traité de Minéralogie (i) au sujet de cette gradatioù , à une époque où la forme du cône qui est l’extrême opposé à la variété trapézienne était encore inconnue , afin de réunir dans une même vue tout ce qui remplit l’intervalle entre l’une et l’autre. ' La variété par laquelle commence la gradation est celle que j’ai appelée mixtiligne. Dans les cristau.x qui s’y rapportent , les angles solides y' (fig. SaS) srd)issent un arrondissement dont l’effet , considéré sur le parallélogramme qui passe par les arêtes -w*, [i ( fig. 3a8), et que représente opo'p (fig. 33o), est de faire disparaître vers les angles o , o' des segmens tels que of^, dont la figure est celle d’un

triangle' à base courbe. L’étendue de ces segmens varie suivant les- cristaux, en sorte qu’à un certain terme, elle devient égale, par exemple, à celle des triangles 'oux^ o'u'x\ et ainsi de suite en augmentant graduellement. Les lames de superposition qui recouvrent de part et d’autre le parallélogramme qpo'y décroissent parallèlement à leurs, bords rectilignes,

(i) Tome II, page 274 et suiy. (i^® édition).

DE CRISTALLOGRAPHIE. 4o6

suivant la loi qui produit les faces 328).

Les parties qui répondent aux bords curvilignes tels que mV (fig. 33o), subissent aussi un décroissement , et telles sont les quantités dont elles se dépassent mutuellement vers les mêmes bords, que les surfaces qui naissent de ce décroissement sont à double courbure.

A un terme plus reculé, les courbes se répètent ■vers les angles py p' , et la surface du parallélogramme arrive par degrés à celle qui est renfermée entre les deux arcs geg' , g'e'g. En examinant de près ces mêmes arcs, on s’aperçoit que la courbure des branches eg, e’g' est un peu plus sensible que celle des branches e'g, eg'. Les surfaces de toutes les lames de superposition situées de part et d’autre de celle que représente la figure, sont de même terminées par deux arcs qui diminuent successivement de longueur en se rapprochant de plus en plus, et tant que les plus éloignées du centre, ou celles qui sont extérieures, ont une étendue sensible , le cristal est censé appartenir à la variété dont il s’agit ici, en ce que des faces planes s’y trouvent encore réunies à des faces curvilignes.

La variété que je nomme lenticulaire offre comme une limite dont les corps qui appartiennent à la précédente approchent de plps en plus , à mesure' que les faces curvilignes terminale?; se rétrécissent, jusqu’à ce qu’elles aient disparu., A ce' terme , le cristal présente la forme d’un corps Icnliçulaii è’ dont

4o6 TRAITÉ

les deux surfaces convexes se réunissent sur un bord circulaire situé dans un plan qui passe par les points gf g\ et qui coupe à angle droit le joint naturel que représente la figure curviligne geg'e', et tous les autres qui sont parallèles à celui-ci sur les difierentes lames de superposition.

C’est de cette même forme lenticulaire que dérive à son tour celle que j’ai annoncée, et que j’appelle chaux sulfatée conique, à l’aide d’une transformation dont on se fera une idée, en supposant que les deux convexités de la lenticulaire se relèvent en

partant de la circonférence de leur cercle de jonction, de manière que toutes les courbures situées dans des plans perpendiculaires à ce cercle se redressent jusqu’à ce que le corps ait piis la forme de deux cônes réunis base à base. Le cône que représente la figure 33 1 est situé de manière que le triangle ne'l^ qui eu partant du sommet tombe perpendiculairement sur la base, est sur le plan prolongé du joint curviligne ege' g' (fig. 33o), que nous supposons toujours passer par le centre d’une lentille de chaux sulfatée, dans laquelle le bord de jonction des deux convexités tombe perpendiculairement sur le même joint , à l’endroit de la ligne gg’ . On voit par cette disposition que si l’on suppose le cône droit, tous les joints naturels que l’on pourra mettre à découvert, par des coupes parallèles au triangle n^l (fig. 33i), seront autant d’hyperboles, qui auront pour asymptotes les apothèmes e'/i, el. L’angle ne'l

que forment entre eux ces apothèmes est d’environ 126*^.

J’ai désiré de savoir jusqu’à quel point les lois de la structure pouvaient se prêter à cette hypothèse d’un cône droit , et j’ai choisi pour termes de comparaison les positions des apothèmes e'/j, él (fig. 33i ), et de ceux qui coïncident avec un plan mené par l’axe du cône, perpendiculairement au plan ne'l. La ligne e'r représente celui de ces apothèmes qui s’élève au-dessus du plan ne'l. Maintenant , si l’on mène eo ( fig. 33o) perpendiculaire sur la diagonale aa', elle sera parallèle à l’axe du cône (fig, 33 1 d’après la construction que j’ai indiquée. Si l’on mène ensuite les lignes c'», e'/(fig. 33o), de manière que les angles ne'^Oy le' O, soient égaux à ceux que les apothèmes e'/i, e't ^fig. 33 1) font avec l’axe du cône, il faudra, pour que ce cône soit droit , que les angles dont il s’agit soient aussi égaux entre eux , et d’après ce que j’ai dit plus haut , leur somme devra être d’environ i aô**. Or,j ’ai trouvé que dans l’hypothèse où les lignes e'/i, el, seraient parallèles à des faces produites én vertu de deux décroissemens mixtes qui agiraient de part et d’autre de l’arête G' (fig. dag), et dont l’un au-

rait pour signe îG, et l’autre Gs, l’angle oe'n serait de 63*^19', et l’angle oe'/ de 62^ 3i'. Leur soname de ia5'*54^ est sensiblement égale à celle que donne l’observation. Mais le premier surpasse de aa' la moitié 63^67' de cette somme, et le second est plus petit d’une quantité égale à 26'.

4o8 TRAITÉ

D’une autre part, j’ai trouvé que dans l’hypolhése où l’apothème e'r (fig. 33 1 ) serait parallèle à uoe face produite.cn vertu d’un décroissement sur l’angle E (fig. 329) de la base de la forme primitive

qui aurait pour signe E, il ferait avec le plan nél (fig. 33i) un angle de 62‘*55', sensiblement é^là la moitié de celui que font entre eux les apothèmes c'/i, e'I’j d’où U suit que l’apothème er et son analogue situé dans la partie opposée du cône sont inclinés sur l’axe de la même quantité.

Ainsi , pour que le cône devînt droit , il faudrait que le sommet e' étant fixe, et les apothèmes e'n; el, restant dans le même plan, le premier se rapprochât de l’axe [d’une quantité égale à aa' , et que le second s’en écartât d’une quantité égale à 26'. Quant à l’apothème ér et à son analogue, leur position ne subirait aucun changement.

Les lois qui donnent les positions des apothèmes ne sortent pas des limites entre lesquelles sont renfermées celles d’où dépendent les formes déterminables. On en trouve des exemples dans diveraes espèces. Au reste , l’analogie qui naît des résultats que je viens d’exposer, outre qu’elle n’est qu’approdiée, doit être rangée parmi celles qu’on appelle analogies de rencontre. Mais telle qu’elle est, elle m’a, paru mériter assez d’être connue , pour ne point m’attirer le reproche d’avoir mêlé les sections coniques à la géométrie des cristaux. • .