MÉTHODE POUR REPRÉSENTER EN PROJECTION LES FORMES DES CRISTAUX

f Notions préliminaires.

r. Supposons un solide situé dans l’espace, en présence d’un spectateur, et un plan transparent placé entre l’un et l’autre; concevons de plus que de tous les points du solide il parte autant de rayons qui traversent le plan eu convergeant vers un point commun qui corresponde au centre de la prunelle de Foeil du spectateur, et que chacun des mêmes rayons laisse son empreinte sur le plan; l’ensemble de touléS" les empreintes formera ce qu’on appelle la perspective du solide.

On est parvenu à tracer sur une toile ou sur un fonds quelconque une irnage d’un solide dont la forme est donnée j semblable à celle qu’offrirait la perspective, sous des positions déterminées du solide , du plan transparent et de l’œil. Ces sortes d’images, surtout lorsqu’on y ajoute la distinction des ombres et de la lumière , et qu’on les revêt des couleurs assoi>

tics à celles «le l’objet, font illusion au point que I’«ïil est tenté de les prendre pour la réalité , et il est facile de concevoir la cause de cette illusion. Car, imaginons que l’objet de la vision soit la perspective ellemême, produite par les traces que les rayons auraient laissées de leur passage en traversant le plan transparent situé entre l’œil et l’objet j concevons de plus que le plan devienne tout à coup opaque , et «pie les empreintes des rayons continuent d’y subsister. De nouveaux rayons, en partant de ces diverses empreintes , arriveront à l’œil dans le même ordre que les premiers qui partaient immédiatement du solide , et ainsi l’image en se transportant sur la rétine s’y dessinera sous des traits analogues à ceux qu’aurait fait naître la présence de l’original, et un simple plan offrira l’apparence d’un objet en relief dont toutes les parties sembleront se détacher de ce plan, pour prendre dans l’espace des positions adaptées à la forme de cet objet.

Maintenant, si l’on imagine qu’im œil placé devant une perspective s’éloigne à l’infini , alors tous les rayons dont les empreintes formaient cette per*spectivé , deviendront parallèles, et l’image produite sur le plan transparent prendra le nom de projectiori. On suppose que le mouvement en vertu duquel l’œil s’éloigne de ce plan, ait lieu dans la direction du rayon qui fait la foûction d’axe à l’égard de tous les autres, c’est^-à-dire de celui qui passe par le centre du solide; et parce que l’on peut faire varier à l’infia»

la position de l’œil, et par une suite nécessaire la direction de l’axe dont il s’agit, il en résulte que l’on est le maître de supposer des directions quelconques aux rayons qui produisent l’image, pourvu qu’ils soient parallèles entre eux. C’est à ce genre d’empreintes que se rapporte la métliode que l’on a adoptée pour les constructions destinées à représenter les formes cristallines.

L’hypothèse d’une distance infinie entre l’œil et le plan transparent étant purement imaginaire, on sent qvie l’aspect d’une projection qui ne peut être vue qu’à une distance finie, doit détruire une grande partie de l’illusion que fait naître celui d’une perspective qui permet toujours à l’œil de se placer dans la position où le point de concours des rayons coïnciderait avec le centre de la prunelle. Mais nous verrons que cet inconvénient de la projection est racheté par des avantages qui ont décidé de la préférence en sa faveur pour le dessin des cristaux, parce qu’elle facihte l’étude de leurs formes.

Je ne dois pas omettre que comme nous ne considérons ici que des solides terminés par des faces planes , il sulfit , au moins dans les cas ordinaires , de supposer que de tous les points de leurs diverses arêtes , il parte des rayons qui se dirigent vers l’œil. L’ensemble de tous ces points donnera la projection du solide dessinée au simple trait. De plus, parmi les diverses faces de ce même solide, les unes sont situées en avant, les autres par derrière. Ou marquera

les premières par des lignes pleines et les autres par des lignes ponctuées.

Avant d’exposer les règles auxquelles est soumise, dans la pratique, la méthode de tracer les figures des • ci'istaux , je vais donner une idée générale de la marche qu’elle suit pour arriver à son but. Je commence par mettre la forme primitive successivement en projection horizontale et en projection verticale. La première est celle qui est produite par des lignes abaissées perpendiculairement des extrémités de toutes les arêtes du solide sur un plan horizontal,, avec la condition que les points où ces perpendiculaires rencontrent le plan dont il s’agit , soient joints deux à deux par des droites qui coi’respondent aux arêtes. Par exemple, la projection horizontale d’un cube dont deux faces opposées seraient parallèles auplan de projection est un carré. Dans le cas présent,, tous les points des arêtes longitudinales se recouvrent mutuellement , en sorte que la projection de chacune se réduit à un simple point. Les deux bases se recouvrent de même, de manière que la projection de la base inférieure se confond avec celle de la base supérieure qui, seule, produit le carré auquel se réduit la projection totale du cube. La projection verticale est tracée d’après les même» conditions, avec cette difierence, que le plan de projection est situé verticalement.

La projection horizontale sert comme de guide pour arriver à la projection verticale. J’indiquerai

bientôt ce qui reste à faire pour remplir complètement la condition que l’image qui devient l’objet de la vision se présente sous l’aspeft le plus propre à satisfaire l’œil de l’observateur.

Je n’ai parlé que des projections horizontale et verticale des formes primitives qui, à raison de leur simplicité, se prêtent aisément à ce genre d’opération. On a la même facilité pour tracer les projections de la plupart des formes secondaires, qui ne résultent que d’une loi de décroissement. Mais si l’on voulait employer la même méthode à l’égard de celles qui sont surchargées de facettes secondaires incUnées eu différen^sens, on se trouverait entraîné dans une > opération très longue et très difficile. Il y a beaucoup plus d’avantage à tracer d’abord la figure du noyau. Ensuite on construit sur ce noyau les faces additionnelles, en y faisant des sections parallèles à ces mêmes faces , d’après les lois de décroissement doi»t elles dépendent, ce qui donne leurs intersections mutuelles, et l’on en déduit le dessin de la variété proposée , en tr.*)çant séparément sur le même papier des parallèles aux intersections dont il s’agit. Tout ceci s’éclaircira à l’aide des exemples que je donnerai plus bas de la manière d’appliquer la méthode au.x formes secondaires.

Il y a une autre méthode praticable dans un certain nombre de cas, et à la fois plus simple et plus susceptible encore d’exactitude que la précédente. Elle consiste à faire usage des propriétés géométriques

pour faire subir à la projection du noyau une Irans* formation d’où naisse la figure qui est le but de l’opération. I

On peut encore , dans certains cas , construire immédiatement les faces additionnelles autour du noyau, de manière que sa projection soit engagée dans celle de la forme secondaire sous la même position respective que celle qui résulte de l’ordre de la structure.

Je reviens un instant à la comparaison de la projection avec la perspective , relativement aux formes cristallines. Dans la perspective, les rayons partis d’une face qui a ses côtés parallèles deux à deux, telle qu’un carré, un rhombe, un hexagone réguber ou symétrique, forment une pyramide dont la base coïncide avec la même face, et dont le sommet est dans l’œil du spectateur. Alors les lignes qui sont parallèles sur le cristal ne peuvent l’être dans la perspective que sous certaines conditions, comme lorsque les faces auxquelles appartiennent ces lignes sont parallèles au plan idéal. Dans la projection, les ligues qui sont parallèles sur le ciâstal conservent constamment leur parallélisme, à cause de la forme prismatique que prend l’ensemble des rayons partis d’une même face. La diflférence est sensible à la seule inspection des figures i et 2 , pi. 74, dont la première ofire la perspective d’im prisme hexaèdre régulier, et la deuxième sa projection. Parmi les six pans du prisme en perspective, ceux qui sont désignés l’un

par gff'g't bcc'b'j sont les seuls qui aient leurs côtés parallèles deux à deux. Mais le pan dff'd\ par exemple , n’a que deux côtés parallèles , savoir : d(t et y/'; les deux autres df^ sont très sensiblement inclinés entre eux. La même observation s’applique aux pans cdcÉc', abb'a\ ag^a'. Chacune des bases hexagonales , par exemple la base inférieure , n’a non plus que deux côtés piuallèles , savoir : b'c' et g'f'. Mais a b', d'f d’une part, et a g', cd! de l’autre, sont visiblement inclinés entre eux. Il n’en est pas de même des côtés qui correspondent aux précédens sur la projection du prisme (fig. 2), et qui tous remplissent la condition du parallélisme. U en résulte cet avantage, que l’aspect géométrique de la projection est beaucoup plus conforme que celui de la perspective à l’idée que conçoit le cristallographe du solide qui est le sujet de l’une et de l’autre, et au résultat des mesures mécaniques prises immédiatement sur ce solide. ^

Quant aux angles que font entre eux les côtés des faces, ils éprouvent, dans la projection comme dans la perspective, des variations qui sont une suite nécessaire de l’obliquité de ces faces, à l’égard du plan idéal , mais qui , en général , sont plus sensibles dans la perspective. Ainsi l’angle fdd' (fig. i et 2), qui est droit sur le solide, se change ici en angle aigu et tel que le donnerait la vue immédiate du solide lui-même. On peut faire une observation analogue «1 se servant du modèle en bois d’un rhomboïde

5go

obtus , par exemple de celui qui représente la fomie primitive de la chaux carboiiatée. On le placera d’abord vis-à-vis de l’œil, de manière que son axe soit vertical, et que le rayon visuel coïncide avec une de ses sections principales. On le fera ensuite tourner doucement d’un côté ou de l’autre, par exemple vers la droite, et il y aura un terme où l’angle supérieur d* la face située du même côté paraîtra droit. Au-delà de ce terme, il paraîtra aigu, et toujours de plus en plus, en sorte que ses deux côtés finiront par se confondre sur une même ligne lorsque le rayon visuel se trouvera sur le plan de la face dont U s’agit.

Problèmes dont le but est de faciliter les applications de la méthode.

n. La plupart des dimensions des formes primitiv es ont pour expressions des quantités radicales. Une de ces dimensions, telle que la diagonale horizontale d’un rhomboïde, est censée avoir sa grandeur naturelle dans la projection horizontale, et il en est de même d’une autre dimension, telle que l’axe du rhomboïde à l’égard de la projection verticale. La première étant prise arbitrairement , on cherche la seconde , d’après le rapport entre l’une et l’autre. Un moyen simple de la déterminer est celui qu’offre le problème suivant.

Etant donné une ligne représentée par \/a , trour-

DE CRISTALLOGRAPinE. 591

ver une seconde ligne qui soit à la précédente comme

Soit ab (fig. 3) la ligne ^ale à \J a. Je la prolonge d’une quantité hd égale à ^ ayant décrit sur

ad une demi-circonférence de cercle, j’élève au point h la perpendiculaire hc jusqu’à ce qu’elle la rencontre j cette perpendiculaire est la ligne cherchée.

Car ah l hc :: hc \ hd, ou \/a bc l". 6c : ^ \/a. Donc (ic)*ï=^ \/â X

Donc bc= \/x. ~

Soit par exemple ah ou et *=

On aura x=f j/a.

Dans les applications de la méthode, on est souvent obligé de ealculer les inclinaisons de certaines lignes, telles que des arêtes, d’après les lois de décroissement qui produisent les faces auxquelles appartiennent ces lignes. Je vais donner un exemple de cette espèce de calcul, relativement à une variété de topaze dont je tracerai dans la suite la projection , et je généraliserai la solution du problème au moyeu d’une formule applicable à tous les cas analogues. *

Soit aleg (fig. 4) la base d’un prisme rhùmboïdal, et ne y Ik, di, ts les directions d’un décroissement intermédiaire sur les angles a, e. L’effet de ce décroissement sera de produire une pyramide quadrangulaire , dont la base ama ses côtés alignés dans lè

Digilized by Googïe

Bqa TRAITÉ

sens des mêmes directions, et dont les arêtes obliques coïncideront avec des plans menés par le sommet et par les diagonales ae, g'/. U y a des cas où l’on est conduit à tracer les projections de ces arêtes , et pour cela U est nécessaire de connaître les côtés des triangles mensurateurs rapportés aux plans dont on vient de parler, ce qui exige que l’on détermine la distance en largeur entre chaque lame de superposition et la suivante prise dans le sens de l’une et l’autre diagonale. Voici comme on peut résoudre ce problème.

Soita/è^ (fig. 5) la même base que fig. 4- Supposons que le rectangle acxn (fig. 5) soit semblable à la base d’une molécule soustractive foimée de la réunion de plusieurs molécules intégrantes, et que le rectangle cfmx égal au premier représente la base de la molécule soustractive adjacente à la précédente; la diagonale ne sera dirigée comme la ligne de départ du décroissement, dans l’hypothèse d’une rangée soustraite, en sorte que ab représentera la distance entre chaque lame et la suivante dans le sens^ de la diagonale ae. Si je mène l’autre diagonale fx, il est évident que la distance entre en etfx sera égale à abi et si par le point f je mène fo parallèle à la diagonale Igi elle représentera la distance entre cliaque lame et la suivante prise dans le sens de cette diagonale.

De plus, si je complète le petit rlK)mbe aert, il représentera la base d’une des molécules simples qui

DE CRISTALLOGRAPHIE. SgS

composent k molécule soustractive. Soient x et y les nombres d’arêtes de molécules simples contenues dans’ an et ac, et soit g la demi-diagonale d’une molécule simple prise dans le sens de ae, et p celle de la même molécule prise dans le sens de Ig , auquel cas nous aurons ar=2^j^, et at=apy. Il s’agit d’avoir les expressions de ab etfo en fonctions de

S’jP» y-

Pour ab. Les triangles semblables crz , cxn donnent cr l rz :: ex î nx, et à cause de cr=ac=iyy

et de cx=an=:x, y'.rzV, x:y^ donc rs=— .

D’une autre part , les triangles semblables abc., zhr donnent, ac Irz V. ab\ br,

eny: — :: ab : br, ou x ly ab ; br=.ar — >aô.

Donc x y V. ab l ügy — ab',

2gxy-—ab.xx=:.ab.y', ab.x-i-ab.y=2gxy.

Donc . ab = ^==2gyx^^ ,

Pour of. Les triangles semblables cro, rxf donnent

fr : or :: rx : cr, ‘

ou frlor'.l X — y '.y\

2py:ori: x—ylyi •

or={2py)^^',

o/'— /r-Hor=3:2pjH-27y X '

(x — y) (2py) -H.y X apy.

5g4 TRAITÉ

Les valeurs de ab et de of donn«*ont les cotés' des triangles mensurateurs dans le sens de la largeur; en les conrbiuant avec la valeur de la hauteur h de la inolecule, on aura les côtés dans le sens de la hauteur, et les côtés obliques donneront des parallèles aux arêtes obliques de la pyramide.

Considérations générales sur la manière de tracer les ■projections: •

- Pouf en venir maintenant aux appKcations de la raétluxle, concevons que le reclan^ orr'o' (fig. 6) représente le plan de projection horizontale , et que or soit la section de ce plan avec le plan vertical. Ce dernier est indiqué ici par le rectangle orrV', qui est de niveau avec lé plan boriz(H)ta}; en sorte que pour se le représenter dans sa vraie position, on doit concevoir qu’il sc, relève en tournant sur la ligne or, jusqu’à ce qu’il soit perpendiculaire au plan orr'o. Mais nous verrons que la coïncidence des deux plans en un seul ne change rien, an résultat qui aurait lien si' les deux plans étaient à angle droit l’un sur l’autre.

Le corps qu^ l’pn -se propose de représenter supposé être situé à une certaine Itauteur, au-dessus du plan de projection horizontale, vis-à-vis celui de projection verticale. On imagine un troisième plan qui est Iranspardit, dont là ligBe oV est la section avec le plan horizontal .sur lequel il est perpendiculaire. Je donne'a ce plan le nom de plan idéal. Ou

- Googie

DE CRISTALLOGRAPHIE. fegS

suppose que des rayons parallèles partis des différenS points du solide passent à travers ce plan , en y laissant chacun leur emprunte, et le but de l’opération est de tracer une copie fidèle de l’image produite par la somme de ces empreintes. Mais cette copie étant un dessin au simple trait , n’est composée ^ comme je l’ai déjà dit, que des lignes qui terminent les différentes (aces du solide , et dont les unes qui appartiennent aux fiices antérieures doivent être pleines, et les autres qui se rapportent aux faces de la partie opposée doivent être ponctuées. Je rappellerai ici ce que j’ai dit en comparant l’effet de la projection avec celui de la perspective; savoir, que dans l’une et l’autre l’image produit sur l’oeil une impression semblable à celle qui naîtrait de la vue immédiate de l’objet, avec cette différence que dans le cas de la perspective l’œil est placé à une distance finie du plan idéal, au lieu que dans le cas de là projection , il est censé en être éloigné à une distance infinie.

Ce que j’appelle copier l’image que l’on suppose exister sur le plan idéal, dans ce second cas, n’est autre chose que la transporter sur lé plan vertical oïl elle devient visible pour l’œil.' Pour y parvenir, il ne s’agit que’ dé prolonger au-delà du' plan idéal les rayons que le solide lui envoie des'différens points de ses arêtes, et de marquer leurs points de rencontre sur le plan vertical; car ces rayons étant parallèles entre eux, et les deux plans l’étant é^lement, il est

5s6 TRAITÉ

évident que les images qui naissent de leurs empreintes sur ces mêmes plans sont ^ales et semblables. Pour arriver au but proposé , on commence par faire deux opérations que j’ai déjà indiquées. La première consiste à mettre le solide en projection horizontale , et la seconde à le mettre en projection verticale. Le résultat de cette seconde projection est la copie de l’image produite sur le plan idéal, lorsque , les rayons que lui envoie le solide lui sont perpendi- ^ culaires. Mais lorsque celui-ci a des faces horizontales ou verticales , il arrive que tous les points de quelques-unes de ces &ces se confondent sur l’image, de manière qu’elles sont représentées par de simples ligues. Pour e'viter cet inconvénient, qui est en quelque sorte, à l’égard de l’œil, une source de méprises, on fait une troisième opération qui suppose dans l’œil im changement de position , en vertu duquel les rayons prennent des positions inclinées au plan vertical, dont l’effet est de dégager les unes des autres les parties qui étant auparavant sur la direction d’un même rayon visuel , se recouvraient dans la projectjon. •, i

Je vais maintenant donner une idée de la marche progressive de la nqéthode, telle que je viens de l’indiquer, en prenant pour exemple le rhomboïde primitif de la chaux carbonatée.

Supposons ce rhomboïde situé de manière qnc son axe soit ^figé verticalement, et que l’une de ses coupes principales coïncide avec un plan perpendi-

culaire au plan idéal. 11 est aisé de voir que sa projection horizontale sera l’hexagone 36 (fig. 6), dans lequel les trois rhombes 5671, 723i, 54^1 seront les projections de ceux qui appartiennent au sommet supérieur, et les trois rhombes 6728, 2348, 4568, celles des rhombes contigus au sommet inférieur ; et la droite 61 3, dont le prolongement est perpendiculaire sur o'r , sera la projection de la coupe princi-, pale désignée ci-dessus.

Maintenant, si je prolonge les lignes 45, 36, 27 jusqu’à la ligne or, et ensuite au-delà de celle-ci, les prolôngemens 5e, Çg', 7/*, étant perpendiculaires sur or, les projections verticales des points 4? 5 devront se trouver sur le prolongement 5e; celles des points 3, i, 8, 6 sur le prolongement 6g-, et celles des points 2,7 sur le prolongement 7^.

Remarquons que les diagonales horizontides qui passent par les points 5 et 7, 7 et 3, 3 et 5 , sont ici représentées de grandeur naturelle , et que la même chose doit avoir lieu à l’égard de l’axe du rhomboïde. Cela posé, je prends à volonté sur la ligne un point 8' que je considère comme l’extrémité inférieure de l’axe, et je détermine la longueur 8'i' de cet axe d’après le rapport \/3 à 3 ou i : V^3, qui existe entre la demi-diagonale du rhomboïde et l’axe. Si je divise cet axe eu trois parties égales , par deux perpendiculaires ry et éTé, les points 4^ seront les projections verticales des points 4? 5 5 les points 8', 6', 3', i' celles des points 8, 6, 3, i , et les points-

a', 7-celles des points 2, 7 j je mène entre ces difi^ rens points pris deux à deux les lignes 4^5', 5'i% i'3', etc., ce qui me donne l«s projectMins rertirales 5'6'']'i', 7'2'3'i', etc., des rhombes marqués des mômes lettres sur la projection horizontale, et le ■problème est résolu.

On. voit que tous les angles du rhomboïde tracés sur le plan vertical sont distincts, et si Ton ne se proposait que de mettre ce solide en projection verticale , on pourrait absolument se contenter du résultat de l’opération précédente, quoique l’aspect sous lequel le rhomboïde s’y présente à l’œil ait , si j’ose ainsi parler, une sorte de monotonie. Mais ce rhomboïde est le noyau commun d’une multitude de formes secondaires, qui doivent pouvoir être mises aussi en projection , de manière que leurs differentes parties se détachent les unes des autres, et qu’une surfece ne s’y offre pas sous l’apparence d’une simple ligne.

Or, c’est ce qui aura lieu nécessairement à l’^rd des foces parallèles à l’axe et de celles qui lui sont perpendiculaires. Par exemple, celles qui sont en même temps parallèles à l’axe et à la coupe principale qui se réduit à une ligue droite 1', 3’, 6', 8^, s’assimileront à cette ligne, et parce qu’il en est de même d’un plan qui passe par les trois diagonales horizontales 5'3\ 3'7', y' 5', la feee perpendiculaire à l’axe qui leur sera parallèle^ se réduira aussi à ime simple ligne.

DE CRlSTALLOGRAPHfE.

Tout ceci va devenir sensible à l’aide de la projection du prisme hexaèdre régulier qui.nait des dé-

eroissemens DA rapportés au rhomboïde de la fig. 6.

Sa projection horizontale est l’hexagone régulier 36 ffig. 7), dont chaque angle porte deux numéros ^ parce que les deux. bases se confondent sur un même plan. Les six numéros i,. 3, 3, 4> 5, 6 sont censés a])partenir à la- base supérieure, et les six autres à la base inférieure. En opérant comme pour le rhomboïde, on obtient pour la projection: verticale duprisme un simple rectangle i, 4? 10, 7, dans lequelles lignes 4» lo et r, 8 représentent les deux pans parallèles à la ligne 3, 13 prise sur la projection horizontale, et cliacune des sous-divisions 1897, 4^910 du rectangle représente les projections des deux pans adjacens au.x précédens, lesquelles se confondent aussi sur un même plan. L’image du prisme n’est plus visible que par la pensée, et fait naître en quelque sorte pour l’œil une illusion d’optique. Le même inconvénient aura lieu en partie dans toutes les formes secondaires qui auront des faces produites en vertu de l’un ou l’autre des deux décroissemens . dont je viens de parler.

On peut faire disparaître cet inconvénient au moins » à l’égard des faces parallèles à la coupe principale du rhomboïde primitif, en tournant la projection de celui-ci, comme on le voit (fig. 8), de manière que la ligne 6i83, qui représente celle de la coupe priuT

Goo TRAITÉ

cipale , soit oblique par rapport à la ligne d en poursuivant l’opération de la même manière, on obtient l’image du rhomboïde que représente la figure, et dont l’aspect est beaucoup plus satisfaisant pour l’œil que celui de l’image que l’on voit fig. 6. Sans ce cas, les faces parallèles aux six pans du

prisme tracé d’après les deux décroissemens DA se

détacheraient les unes des autres; mais les projections des trois diagonales 5^, 78, 35 (fig. 8), étant encore de niveau, les bases s’ofiriraient, comme dans l’exemple précédent, sous l’aspect d’une simple ligne droite. On parvient à représenter distinctement tous les points de l’objet à l’aide d’une opération ultérieure qui peut avoir lieu de deux manières difl^ rentes. La projection verticale prend alors le nom de projection nivelée ou de projection variée f d’aprèscelle des deux manières dont on a fait choix pourremplir le but proposé.

De la projection nivelée.

Les rayons visuels qui en partant de l’œil placé, par l’hypothèse, à une distance infinie d’un plan ^ idéal, sont censés lui faire apercevoir, sur ce plan, l’image d’un objet dont on a tracé la projection verticale sur un autre plan situé du côté opposé, sont dirigés perpendiculairement vers le plan idéal, et c’est par une suite dé cette direction que, dans les exemples que j’ai cités, certaines faces sont sitaees

DigiiL

DE CRISTVkLLOGRAPHIE. 6oi'

de manière que tous leurs points se confondent sur l’image, comme cela aurait lieu sur l’objet lui-même, si le plan idéal n’existait pas. Les rayons visuels étant alors de niveau avec les mêmes Êrces, n’en laissent Voir à l’œil que les bords situés de son côté. Les choses étant dans cet état, pour faire en sorte que les dijSerentes parties de la projection se d^agent les unes des autres et deviennent distinctes, on suppose d’abord que les rayons visuels en restant fixes par leurs extrémités contiguës au solide, se meuvent d’une certaine quantité par leurs extrémités oppo-' sées, vers la gauche ou vers la droite, dans des plans horizontaux , en faisant des angles égaux avec leurs premières directions, et qu’ensuite les mêmes extrémités fassent un certain mouvement dans des plans verticaux, en s’écartant sous des angles ^aux, de leurs premières directions. Ik parviendront ainsi à un degré d’obliquité qui sera tel, que toutes les parties de la projection seront vues distinctement. Ap-‘ pliquons ces principes au rhomboïde de la chaux carbonatée.

Soit toujours oV (fig- 9) la section du plan idéal avec le plan de projection horizontale, et or celle du' plan de projection verticale avec ce dernier. Soit de plus I, a, '3, 4) 5, 6, 7, 8 la projection horizontale du rhomboïde que l’on suppose tourné de manière que la section principale qui passe par 3, i, 6 soit dans un plan perpendiculaire au tableau , d’où il suit que la ligne 3 16 sera elle-même perpendiculaire aux

So9 • TRAITÉ

Lgnes or et o V. Si Ton imagine mamtenanf qtte ic»projections horizontales des rayons visuels étant d’ahord de même perpendiculaires sur or,~ fassent iiit mouvement vers la droite ^ i^ faudra les tracer de manière à leur donner des positions telles que 4ê,. 5c, 3d, 8g J etc. Prolongeons-les ensuite vers la partie opposée, jusqu’à la rencontre dé or et des points 4» 5, 3, etc. Elevons les lignes 4*j 5A:, etc., perpendiculaires sur or. Ayant pris sur la ligne 8?» , qui répond à 386, laquelle passe par la section principale du rhomboïde, une partie i, 8 ^ale à l’axe, et dont les extrémités seront les projections verticales des points marqués des mêmes nombres, divisons-la^ en trois par les transversales Ty, «Ts j et plaçons sur les lignes, aux points indiqués parleurs intersections avec les verticales 5k, Zf, 7/, etc. , les projectionsverticales des points 5,3, 7, 4)6, 3.

, Si l’on traçait immédiatement, d’après les projections de ces points , les &ces du rhomboïde , dont l’une est indiquée par i,5, 4> 3; une seconde par 1, 5,6, 7^ ime troisième par 3,4)8, 2, etc. , tous les points situés aux angles solides, qui sont les mêmes que les précédens, seraient vus séparément. Mais les trois diagonales situées vers chaque sommet , étant les unes sur la ligne ry, savoir, 87, 76, 53, et les autres sur la ligne cTc, savoir, 42, 26, 64) se recouvriraient dans la projection, ainsi que je l’ai déjà remarqué plus haut , en sorte que les triangles composés de ces diagonales se réduiraient à de simples

DE CRISTALLOGRAPHIE. 6o5

lignes. Il en résulterait que dans la projection de la variété prismatique, dont les bases coïncident avec les triangles dont il s’agit, ces bases se réduiraient de même à des lignes. Pour éviter ces coïncidences sur un même plan , on ramène la projection à l’aspect résultant du second mouvement des rayons visuels dans des plans verticaux.

11 est aisé de concevoir qu’en vertu de ce second mouvement, les diSerens points de la projection se relèvent sur le plan idéal proportionnellement à leurs distances à ce même plan. Mais pour plus grande simplicité , nous supposerons que le plan idéal se soit mu parallèlement à lui-même, pour un instant, en allant de dr vers or, jusqu’à ce que le point 3 qui en était le moins éloigné se soit trouvé en contact avec lui, d’où il suit qu’il n’a point change de place.

Concevons que dans cette hypothèse la ligne oz ( fig. lo) représente la quantité dont on veut que le point 6 (fig. g), qui est le plus éloigné, se soit relevé j)ar l’effet du mouvement vertical des rayons. Ayant mené par les points 6, 5, 7, etc. (fig. 9) de la projection horizontale les droites 66', 55', 88', etc., parallèles à or, coupez ces lignes par une perpendiculaire puis en partant du point /u, prenez la partie /ur égale à oe (fig. ïo)j puis relevez les différens points de la projection verticale des quantités indiquées par les lignes comprises entre et Ç'/u, savoir v}t^ comme on l’a dit, pour le point 6 qui se

trouvera transporté en 6'j pour les points 5,7^ dont l’un se trouvera en 5' et l’autre en 7', etc. ; faites passer des lignes par ces nouveaux points , et vous aurez la projection du rhomboïde telle qu’on la voit fig. 9 et fig. 12 (1).

Concevons maintenant que le plan idéal aille se remettre à sa première place; alors l’image du point 3 se relèvera siu* ce plan d’une quantité proportionnelle à la distance entre la ligne 33' et la ligne o'r^j mais en même temps tous les autres points de la projection se relèveront de la même quantité que le point 3. Car soit 3 (fig. Il) ce même point, et soit hn la ligne verticale du plan idéal en contact avec lui.

Ayant mené l’horizontale uz qui passe par le point 3 , et qui est supposée perpendiculaire sur le plan idéal, imaginons que les points 6, 2 (fig. 9) de la projection que nous prenons pour exemple, viennent se placer sur uz, en conservant leurs distances à l’^ard du plan idéal. Soit 36' une partie de hn égalé à oz (fig. 10) qui mesure la quantité dont le point 6 a été relevé pendant le mouvement vertical des rayons. La droite 66' (fig. 1 1 ) sera la nouvelle

(1) Dans cette manière d’opérer, la distance entre le point 3 et le plan idéal qui répond à la ligne 33' est nulle. Les distances entre les points 4 et a, 8 et i , 5 et 7 , 6 et le plan idéal, sont égales aux lignes ■4/Ç , ^Ç,w^et /uÇ; or, cés lignes sont proportionnelles aux lignes "4 « » /“» ; donc ces

dernieres lignes mesurent les quantités dont les point 4 et a , 8 et 1 , etc. , doivent être releyés.

Go5

direction du rayon parti du point 6; donc si l’on mène a , 2' parallèle à 66', elle sera la direction correspondante du rayon parti du point 2'. Concevons qu’ensuite le plan idéal s’écarte du point 3 , de manière à prendre la position indiquée par h!iil \ les points 3, 2', 6' de l’image se trouveront transportés en 3', 2", 6", et il est évident que leurs distances respectives suivant A'ra' seront les mêmes que celles qui avaient lieu suivant An, c’est-à-dire que 2"3'= 2'3, et 2"6'— a'6'; d’où l’on conclura que les dimensions de l’image seront encore les mêmes que quand le point 3 était en contact avec le plan idéal ( 1.) ; en sorte que la manière d’opérer que nous avons adoptée dans l’hypothèse de ce contact, réunit l’exactitude à une plus grande simplicité.

Dans la projection du rhomboïde, les points 5', 7' d’une part, et 4^ 2' de l’autre, continuent d’être à la même hauteur j mais les points 3', 6' dont chacun appartient à l’un des triangles formés parles trois diagonales horizontales situées vers un même sommet , sont

(1) Si l’on suppose que le plan idéal aille se placer successivement à différâtes distances du solide, en restant parallèle à lui-même , il en résultera le même effet que si plusieurs plans parallèles étaient traversés par des rayons 'q>^l fussent de mêitaé parallèles. Les empreintes des rayons produi- ^ raient sur tous ces plana des images égales et semblables entre elles; seulement elles seraient' sitùéés plus haut. ou plus. bas , suivant les diverses distantes des plans au solide. , ■

6o6 TRAITÉ

à une hauteur difFérenle; en sorte que les triangles dont il s’agit ne coïncident plus sur un même plan.

On jugera aisément, d’après tout ce qui a été dit, que le but auquel parvient l’opération est de substituer, comme nous l’avons dit, le plan de projection verticale au plan idéal , de manière que l’image tracée sur la premier soit égale et semblable à celle que les empreintes des rayons visuels auraient formée sur le second. Pour mieux concevoir que cela doit être, reprenons la supposition dans laquelle le plan du tableau est contigu à un point du solide, auquel cas la ligne 33' parallèle à or sera la section du plan idéal avec le plan horizontal. Pour que la similitude ait lieu entre la projection et l’image, il suffit que la distance tant dans le sens horizontal que dans le sens vertical entre deux points quelconques de l’une soit la même qu’entre les points'correspondans de l’autre. Prenons pour exemple les points 7 et 2. Les points n", l" étant les projections horizontales de ces mêmes points 7 et 2 considérés sur Fimage, puisque le plan idéal est censé s’élever, de la ligne .33^ perpendicu- ' iairement au plan horizontal, il en résulte que P est égale à la distance entre leS'deux points de Fimage dont nous venons de parler. Mais les projections horizontales des mêmes points pris sur la projection sont lê$ points 7, 2 situés sur la ligne or; et puisque la distance 7 a sc il en réAulle que celle qpi est

entre lés points 7', 2' de k* projection verticale est la même dans le sens horizontal qu’entré' les points

' correspondans de l’image. Le même raisonnement s’applique à tous les autres points.

Maintenant nous avons supposé que pendant le second mouvement des rayons visuels dans des plans verticaux, le point 6 de l’image s’était r^evé d’une quantité égale à , et nous avons représenté l’effet de ce mouvement sur la prôjecliou , en y relevant le point 6 de la même quantité. Or, les distances entre les points 6, 7 et a considérés sur le solide et le plan ^u tableau étant mesurées par les lignes , wÇ , -xJ/Ç ,'

et les quantités dont les points 6, 7 et a pris sur l’image ont été relevées, étant proportionnelles à ces distances, il en résulte tpie la première étant égale à , les deux autres seront mesurées par -Tr®* ' et ; d’où il suit que la distance , dans le sens vertical, entre les points 2 et 7 de l’image, est égale à l’excès de •7r<r sur 4®- Mais par la construction , elle se trouve être la même entre les points correspon-* «lans de la projection ; et èn raisonnant de la même manière partapport à deux autres pmnts quelconques, nous comdurcms que la projection est à tous ^ards «ne copie fidèle de l’image (pie les empreintes des rayons visuels aurail^t fiiit naître immédiatement sur le plan idéal» . • . ■ ■ .

De la projection variée.

Dans cètte projection , oh remplace le mouvement liorizonlal des rayons visuels, eu tournant la projection horizontale comme on le voit (pl. 77, fig. i3) ,

TRArrÉ

de manière que les points qui sur le rhomboïde^) dont on suppose toujours l’axe vertical, sont dans un même plan horizontal, tels que 5,3,7 d’une part, et 4>2)6 de l’autre, se trouvent à d^ distances différentes à l’égard de la ligne or. Quant à la manière de tourner la projection dont il s’agit, elle dépend de l’aspect sous lequel on veut que l’image se présente : on ne peut donner aucune r^le sur cette opération j c’est l’habitude qui sert de guide à cet égard.

La projection horizontale étant déterminée comme on vient de le dire, on tracera la projection verticale d’après le procédé ordinaire, et il ne restera plus qu’à relever ses dilférens points d’après une méthode analogue à celle qui a été exposée dans l’article précédent , en déterminant la plus grande quantité ym du relèvement dans l’hypothèse du contact entre le point 3 du solide et le plan idéal, et en plaçant les divers points de la projection verticale au-dessus de leurs premières positions, conformément aux Ion-gueurs des lignes comprises entre Ç/tt et Çp , savoir;

pour le point 6 , Tnr pour le point 7 , -tcV' pour le point 5', etc. , et l’on aura. la projection demandée, telle que la présentent les figures i4 et i5.

La projection variée est celle que j’ai adoptée de préférence, parce qu’elle représente lê cristal sous la position que nous donnons naturellement à un objet que nous voulons considérer, savoir, celle où nous le voyons, pour ainsi dire, de front^ au lieu que

lians la projection -nivelée on est censé le voir de côté, ce <pii est moins naturel.

De la projection des formes secondaires.

4- J’ai déjà dit que quand ces formes sont simples, on peut les mettre en projection à l’aide de la méthode employée pour les formes primitives. Une condition essentielle à remplir dans ce cas , est que leurs projections soient en rapport de position avec celle du solide primitif. Or, la chose va, pour ainsi dire, d’elle-même lorsque l’on construit immédiatement autour de ce solide la forme secondaire qui en dérive, de manière qu’elle lui soit circonscrite conformément aux lois de la structure. On peut ensuite en tracer ime copie qui la représente séparément. Dans l’exposé des principes de la théorie, j’ai cité, comme exemples, diverses projections qui offrent la réunion de la forme primitive et d’une fcffme secondaire, simple, pour mieux làire concevoir la relation qui existe entre l’une et l’autre. C’est en suivant la même marche, que je vais donner les projections de quelques-unes des formes qui appartiennent à la chaux carbonatée.

’ Chaux carbonatée métastatique.

Soits^ (6g. 1 6) la forme primitive, telle que la représente la ligure i5. L’axe de la variété métastatique étant triple de celui du noyau ( voyez page 338, 1. 1) ,

6io TRAITÉ

je prolonge ce dernier, de part et d’autre, d’on» quantité ^le à lui-même, comme on le voit ( Gg. 17), où l’on a s's' = t^ = si. Des extrémités de l’axe , je mène les droites s'a, s'é, s'd, d,etc., aux

extrémités des bords inférieurs du rhomboïde, et l’ensemble de ces droites et des mêmes bords me donne les faces du dodécaèdre proposé.

Chaux carbonatée êquîaxe.

La tliéorie fait voir que les diagonales obliques de ce rhomboïde coïncident sur une même direction avec les bords contigus aux sommets sur le rhomboïde primitif, et que de plus leur longueur est double de celle des mêmes bords. Ayant donc tracé ce rhomboïde, tel que le représente ( fig. 18 ), je prolonge les bords dont il s’agit de manière que l’on ait 5a7=35a; se = 3 to = ntn, tlz=:

2t^et tz = ^tb, ce qui me donne les six diagonales obliques proposées.

Parmi ces mêmes diagonales, celles qui sont contiguës à l’un des sommets alternent avec celles qui se rapportent au sommet opposé. 11 en résulte, par exemple , que l’extrémité b (fig. 1 6 et 1 8) de la diagonale oblique qui va de s en b, coïncidé en même temps avec le sommet de l’angle inférieur abd du rhombe asdb auquel appartient cette diagonale, et avec le sommet d’un des angles latéraux dbt du rhombe dbtg situé vei-s le sommet opposé. La même corrélation. a lieu réciproquement entre l’angle infé-

DE CRISTALLOGRAPHIE. 6i i

rieur bdg du rhombe dbtgy et l’angle latéral bds du rliombe sabd.

Maintenant, pour avoir les côtés des rliombæ de Ja variété équiaxe ( fig. 1 8 ) , je choisis à volonté l’une des diagonales oUiques déjà tracées , telle que àh qui est contiguë au sommet supérieur ; je prends vers le sommet inférieur les deux diagonales obliques tzytly dont les extrémités z, l sont situées de part et d’autre de la diagonale s^. D’après ce qui a été dit plus haut , ees extrônités coïncident avec les angles latéraux du rhombe auquel appartient la diagonale sh. Je mène

et Az, puis si et kl-, ce qui me donne le rhombe tfzÆ/ dont il s’agit.

Pour avoir celui dont sx est la diagonale oblique, je prends vers le sommet inférieur les diagonales obliques te , to, dont les extrémités z , o interceptent » SX. Je mène xz et sz , puis os et ox, qui sont les côtés du rhombe proposé. Le reste de l’opération se déduit aisément de ce qui précède.

Chaux carbonatée inverse. ‘

La marche que l’on doit suivre pour représenter cette variété circonscrite à son noyau rhomboïdal, comme on le voit (fig. 19), s’offre comme d’elleméme , d’après les détails que j’ai donnés , dans la partie analytique (t. I , p. 35g), sur les résultats généraux de la loi E* *E dont elle dérive. Je me boraerai à rappeler ici qu’eri vertu- de cette loi, l’axe du solide

Si2 TRAITÉ

secondaire est triple de celui du noyau, et que ses bords supérieurs sont parallèles aux diagonales obli’ ques du même noyau.

- Cela posé , ayant tracé la projection du noyau st (fig. ig), je prolonge son axe de part et d’autre d’une quantité ss' et ft’ égale à lui-même, ce qui me donne l’axe cV du rhomboïde secondaire. Du sommet je mène les droites «'p, so, s' h, parallèles aux trois diagonales obliques du noyau, qui vont, l’une de £ en la seconde de « en (, la troisième de s eny ,

et limitées par les droites <'p, /'o, /'A, menées du sommet t' par les angles latéraux g^h^y ^ situés vers le sommet inférieur du noyau. Les droites sp, seront les bords supérieurs des rliombes situés vers le sommet s du rhomboïde secondaire , et les droites t'p, <'o, ih les diagonales obliques des rbombes situés vers le sommet inférieur.. Ensuite, du sommet^, je mène les droites parallèles aut

trois diagonales obliques du rhomboïde primitif, qui vont, l’une de i en a , la seconde de t en /, la troisième de t en. à, ^ et limitées de même par les droites «'«, s n , s'r, menées du sommet s par les angles latéraux a, l J d, situés vers le. sommet supérieur du noyau. Les droites <'«, l'n , t'r seront les bords supé- | rieurs des rhombes situés vers le sommet i du rhomboïde secondaire, et les miroites s'w, s r seront 1« diagonales obhques des rhombes situés vers le sommet s. 11 ne s’agira, plus ensuite. que de i traceras bords 710, rp, np, gh^ uh^ no,- parallèles aux borih

DE CRISTALLOGRAPHIE. 6i3

s' P J c'o, a' h etc., qiii existent déjà sur le rhomboïde, et ainsi des autres, ce qui complétera la projection demandée.

. Chaux càrbonatée analogique.

La forme de cette variété que représente la figure 20 , étant le résultat de trois lois de décroissement, rentre parmi celles d<Mit les projections se déduisent des sections faites dans le noyau, conformément aux indications de ces mêmes lois, ou des propriétés géométriques dont elles jouissent. Je vais employer successivement les deux méthodes, en commençant par la première. . ' ‘

5. Je tra<% d’abord la projection du noyau telle qu’on la voit (fig. ai), d’après ce qui a été dit plus liant (pag, 596) : cette projection est du genre de celles que j’appeUe variées. Je lui ai donné de grandes dimensions pour opérer avec plus de facilité et de sûreté.

Je trace ensuite séparément (lig^ aa) une projection semblable à la précédente, et située de manière que toutes les bgnes marquées des mêmes points soient parallèles de part et d’autre, mais plus petite, qui me servira à son tour de noyau pour la construction des faces secondaires dont la. surface du cristal est l’assemblage. Je commence par tracer à l’entour les faces du métastatique. Pour y parvenir, il. suffit d’avoir la position de l’une quelconque ^s des art\lps contigivës aux sommets, parce que son intcrsecliqn

6i4 TRAITÉ

en s avec le prolongement de l’axe ffy du noyau me donnera la quantité ys ou 0'^)/ dont cet axe doit êtm augmenté de chaque côté.

Par les points A, P, R, Let A, B, C, D (fig. 21 ), je mène les plans APRL, ABCD, de manière que les lignes AP, AB étant parallèles à 0'/*' et 1'^', et les lignes LR, CD parallèles aux mêmes côtés, si P/x' est, par exemple, Ia> moitié de Rf#* soit le ^ de

c'fA,', et que de même AÇ' é\An\.~y'^\ soit ~ CD. Il est bien clair que les deux plans dont il s’agit se^ ront parallèles à deux faces qui résulteraient d’un décroissement par deux rangées sur lés bords inférieurs^ fil i'^^^'-du rhomboïde y' (/ : donc leur intersection ^"A«" sera parallèle à s' que n )• s supposons être l’arête du métastatique qui va du nt vers Paxe^ Donc si l’on mène aa) par.illèle à Ç"s"(fig. a i) , ys ( fig. 22) sera l’excès de l’axe du dodécaèdre métastatique sur l’axe du noyau, du côté du sommet supérieur. Cela posé , je prends sur le prolongement de l’axe en dessous la partie o‘'^=ys, après quoi je mène dés points 4> lignes sju, sfy -xp/*» 4/’) etc. aux angles latéraux du noyau , et j’ai la proi^ection du dodécaèdre métastatique.

Pour mieux me reconnaître dans les 'opérations suivantes, je trace une seconde projection (fig. 23) égale et semblable à la première, de manière qpie les deux axes soient parallèles. Pour avoir les faces c'y c ( fig. 20 ), je remarque qu’elles sont tracées d’après la condition , qu’eUes se touchent par leurs angles lalé-

DE CRIStALLOGRAPHIE. 6if>

ratxx ; d’où il suit que ces angles sont situés au milieu «, ù ^ etc. ( 6g. 22) des lignes »^,etc. Je

commence par la face qui répond à c'(6g. 20), ea menant d’abord la ligne bd{û^. 23) qui en sera la diagonale horizontale ; je coupe bd en deux également au point k', je fais passer par. -ce point la ligne pkg parallèle à l’axe , et qui sera la diagonale verticale du même trapézoïde, agrès. quoi je mène les ' lignes ùÿ, dg^ dp, bp, qtden seront les côle's. J’aurai facilement les autres trapézoïdes par un procédé sem^ blable.

Reste à tracer, les trapezoïdes g, (6g. 20) qniappartiennent à l’équiaxe. Commençons par celui de la partie supérieure qu’indique la lettre^, et dont il s’agit de trouver les intersections avec les faces adjacentes r, r du métastatique. Pour y parvenir, je fais . passer par le point $’^(6g. 21 ) la droite G^'F parallèle à la diagonale i' je mène FË et GN parallèles à-

y' i® cotnplète le parallélogramme ENGF qui sera évidemment parallèle à l’arête y'^', et également incliné sur les rhombes y' ^ p^f, y'^' i'T'j d’ou H suit qu’il sera de même parallèle à une face produite en vertu d’un décroissement par une rangée • sur l’àrête y'^\ savoir, à la &ce marquée g{ fig. 20 ). Bonc, si je trace , ^"E( 6g. 21 ), ces deux lignes seront les intersections du parallélogramme ENGF avec les plans ABCD, APRL qui représentent deux faces du métastatique -, donc , si je mène g'r(6g. 23 ) parallèle à ^"N(6g. ai ) et ÿc(6g- 23 ) parallèle, ù

6i6 TRAItÉ ■

^"£ (fig. ai), elles seront les côtés inférieùrs du trapé' zoïde ÿ (%• 30 ). Ayant tracé ensuite la diagoDale horizontale cr ( fig. a3 ) , je mène par son milieu v la ligne gn jusqu’à la rencontre de l’axe, laquelle sera la diagonale oblique de ^(fig. ao); et du point n (fig. a3) je mène nr, ne qui seront les côtés. supét rieurs 'du trapézoïde. Pour, avoir les deux autres trapézoïdes situés vers le ménie sommet , je mène ct> parallèle à la diagonale horizontale ég dü trapézoïde gtez , et or parallèle à la diagonale horizontale ah dU trapézoïde anhu ; j’ai ainsi les diagonales horizontales des deux, trapézoïdes supérieurs que je me propose de tracer, après quoi il est Êicile d’avoir le reste, en menant des lignes du. point n et des points t, vaux extrémités dès mêmes diagonales. Ayant les &ces de la partie supérieure, il est aisé de tracer celles de la partie inférieure qui est semblable à la premià:e.

€. Je passe à la seconde méthode fondée sur les propriétés géométriques de l’analogique, et pour laquelle les constructions que représente la figure ai deviennent superflues.'

Je sais d’abord que l’axe du dodécaèdre est triple de celui du noyau, et ainsi j’aurai les points s, 4 (fig. 33 et 33'), en faisant ys^ ou

Pour les trapézoïdes verticaux, je trouve, à l’aide d’un calcul fort simple , que g^=^s^ ( 33 )j

jp^5=i^<4 ) et ainsi des autres ; ce qui me donne les positions des côtés des trapézo'ides dont il s’agit.

Pour les trapézoïdes des sommets, je trouve, paf

le calcul, que dans le cas présent où les trapézoïdes verticaux se touchent par leurs angles latéraux, on a a/z (fîg. a3)c=|«^(fig. aa); de plus, je sais que Tapothème nv ( fîg. a3 ) du triangle rnc est la moitié de l’apothème gv du triangle rgc\ donc, si je fais passer par le tiers v de la ligne rc parallèle à la

j’aurai leS positions des angles latéraux du trapé- 20Ïde nrge^ qu’il me sera fiicile de tracer, et ainsi des autres. On voit combien cette méthode est préférable à la première toutes les fois qu’on peut l’employer.

' . Observation sur les projections suivantes.

7. La plupart de ces projections sont de cdles qui accompagnent les descriptions de diverses formes cristallines, puhhées dans mon Traité de Minéralo-^ gie. Mais les figures que j’en donne ici ne sont pas de simples copies. Je les ai tracées en répétant les opérations qui avaient servi à construire les projections dont je viens de parler, en sorte qu’elles sont censées avoir été foites d’un premier -jet. Pour remplir ce but, il a lallu reproduire la projection horizontale du noyau dont l’aspect avait disparu dans la projection, verticale, et retrouver les quantités dont plusieurs points de cette dernière projection avaient été relevés au-dessus de leur, position. Je. ferai connaître dans un instant les moyens à l’aide desquels j’ai résolu ces sortes de problèmes dont la

6i8 TRAITÉ I

marcheoffre l’inverse de celle qui a lieu dan»Ves ap*plica lions ordinaires de la méthode.

Projections de diverses variétés dé pyroxène,,di baryte sulfatée , etc.