II. G

8a Or,

cx= ak = c8 — ap, az —\/{aky (A*z }* ,

kz-=.cz — cA, ck=as=ih‘,

doue

rtz= ■

doue

: ni (fig. 52):: g

A mesure que la fraetion représentée par n va en augmentant , le point z se rapproche du point k , et

lorsque» devient égale à l’unité, la quantité

s’évanouit , et la ligne ex se confondant avec cA , le <

rapport entre on et ni est celui de ^ à Au delà de

ce terme , n étant plus grande que l’unité , l’arête de jonction prend une position telle que az , en des-

sous de ak. On a encore cz' = Mais ici

Az'= cA — ez' = h — ^ = h j

Digilized by GoogI(

donc le rapport entre on et ni est celui de g' à

On peut aussi, dans le même cas, se servir du premier rapport , qui donnera pour " une valeur numérique n^alive, dont le carré sera le même que celui de la quantité —

3g. Cherchons maintenant l’incidence de l’une quelconque des deux faces produites par le décroisseinent sur les pans du prisme rhomboïdal, par exemple l’incidence de la face qui a son origine en al) (fig. 52) sur le pan adjacent asfb. Soit (fig. 54) le même quadrilatère que figure 46 ; supposons que la ligne za> située dans le plan de ce quadrilatère, coïncide avec la face produite par le décroissement. Soit la distance entre l’arête ah (fig. 46 ) et la première lame de superposition , et Ar une parallèle à pw. Menons ^'■4/ parallèle à cm et qui lui sera égale. L’angle mesurera l’inci-

dence cherchée. 11 faut donc trouver le rapport entre C4 et Supposous que la distance Ç'A réponde à une rangée de molécules j désignons par d! celte distance, et par m' la dimension rpii, sur la molécule, répond à ; nous aurons

Çc : ccû ::ÇA v. d:

Nous pouvons donc représenter ceo par Or, nous avons eu ( p. 75 )

:<C%.4C):V^VF=^

donc nous pouvons faire c»i ou

C4 ( fig- 54 ) = v/ (4<?* + 4p*+ > < = S' »

D’ailleurs donc

•^Cà ou CCÙ — c-vl/ = g-

Donc

On peut applicjuer ici à la ligne ^o) ce qui a été dit de la ligne az (fig. 53), lorsqu’elle passe à la position az\ et l’on en conclura que quand la ligue ^a> ( fig. 54 ) s’abaisse en dessous de Ç’4' , en prenant une direction telle queÇ'ûj', auquel cas la quantité /î, de fractionnaire qu’elle était d’abord , est de> enue pliw

grande que l’uiiité, il faut mettre ^ place

de dans le second terme du rapport.

4o. L’espèce de décroissement qui vient de nous occuper a lieu dans une variété d’amphibole , où les faces qui en dépendent se combinent avec celles delà forme primitive représentée (fig. 55 ), et avec des facettes qui remplacent les arêtes longitudinales G. Telles sont les dimensions de cette forme primitive que es

{ fig. 46) ou 2p est à as ou h comme V"i 4 : i , et que le rapport entre g et p, ou entre et ex est celui de \/29 : Il en résulte que nous pouvons

làire g= \/^-, p=\/l et A =1. L’incidence deM sur M (fig. 55) est de i24‘*34^; celle de P sur M est de loS** i3', et celle de P sur l’arête H de io4‘' 5']'.

La variété dont j’ai parlé, et que l’on voit en projection (fig. 56) porte le nom dû amphibole dodé-

caèdre, et a pour signe M’G'PB.

La face P sera toujours un véritable rhombe , puisqu’elle n’est autre chose que la base de la forme primitive , diminuée par l’effet du décroissement qui a eu lieu sur scs bords supérieurs. Les deux autres faces du sommet sont de même des rhombes , ou du moins on peut toujours les ramener à cette figure en donnant au cristal des dimensions convenables. Car si nous prenons poiu’ exemple la face r située à droite, il est évident que ses bords cT, X, sont parai-

lèles entre eux , puisque le premier coïncide avec la ligne de de'partac?(fig. 46) du décroissement, et que le second est le bord qui correspond à cette ligne sur la dernière lame de superposition. Le même parallélisme existe entre les bords j', g, (fig. 56), qui sont les sections de la face r sur deux plans , dont l’un coïncide avec ac^s(fig. 46), et l’autre lui est parallèle.

En appliquant ici les formules données précédemment, on trouve pour l’incidence de r sur r' 38^, et pour celle de r sur la face opposée à M, I lo'^ i'. Quant à l’incidence de P sur r, elle est la somme de celle de P sur le plan vertical qui passe par l’arête ^ , et de celle de' r sur le même plan ; c’est- ' à-dire qu’elle est la somme des angles de 76'* 4?^ et de 6çf 5g' ; donc l’un est le supplément de l’incidence de P sur M, et l’autre celui de l’incidence de r sur la face opposée à M. Ainsi elle sera de 1 46** 56^ Enfin , l’incidence de M sur x est de 1 17"* 43^*

3*. Décroissemens sur Vangle A.

Nous avons ici deux cas à considérer , celui où le décroissement se rapporte à l’angle ùae? (fig. 46)» de manière que les lames de superposition s’appliqrient sur la base du prisme, et celui où il se rapporte aux angles bas , das , de manière que les lames de superposition s’appliquent sur les Êices latérales.

Commençons par le premier cas, et supposons d’abord que le décroissement ait lieu parallèlement

à la diagonale bd. La face qu’il fera naître s’élèvera au-dessus de la base, en prenant la figure d’unrhombe dont az (fig. 53) pourra représenter la diagonale oblique. L’incidence de cette face sur l’arêfe as sera donc égale à l’angle zas , et on pourra la déterminer à l’aide des valeurs données ci-dessus (p, 82), pour les lignes ak et Az, dans l’hypothèse d’un décroissement sur les bords B, B, en observant que dans le cas dont il s’agit ici , la quantité n n’exprimera que la moitié du nombre de rangées soustraites.

Nous aurons donc ak : kz :: 2p ’ k

Pour déterminer l’incidence de la face dont il s’agit sur les pans bas/, adhs (fig. 46), ayant pris sur la direction de as (fig. 53) la partie ar égale à Az,puis ayant mené sk , qui sera parallèle à az, nous pourrons considérer le solide produit par le décroissement comme un prisme rhomboïdal oblique dans lequel les lignes ak ou 2p, et (fig. 46) ou 2g, auraient les mêmes valeui’s que dans la forme primiti\e, en sorte qu’il n’en différerait que par la dimension Az, dont l’expression est h fen-

drait substituer à h valeur de ck. Donc on aura l’incidence proposée , en faisant cette substitution dans le rapport de c» à »^ ( fig. 46 ) ou de jo à

«s TRAITÉ

lequel deviendra celui de p à

4i. Supposons que le décroissement ait lieu par deux rangées, auquel cas re=i. Dans ce cas, le second terme du rapport ou l’expressiou de s’évanouit, ce qui indique que la face produite par le décroissement est perpendiculaire sur les pans. Ce résultat a lieu dans une variété de pyroxène représentée fig. 57, pl. 36, que je nomme pyroxène ambigu ,

et dont le signe est M'H"G'A. J’aurai occasion dans

la suite de citer d’autres modifications de la même espèce de décroissement.

Supposons maintenant que le décroissement devienne intermédiaire, en continuant d’agir sur l’angle had de la base. Soient «T3' , f fig 58 ) , les directions des nouveaux bords produits par le décroissement sur la première lame de superposition, dans l’hypothèse où la distance entre chaque lame et la suivante, dans le sens de la largeur, serait mesurée par une simple rangée. Désignons par c' le côté de la base de la molécule , par x le nombre de c' renfermé dans ou aA, jiarj^ celui que contient aS", par h' la dimension qui sur la molécule répond à as, et par n le nombre de rangées soustraites. Ayant

prolongé ^3' indéfinunent, ineuons av parallèle à la diagonale bd, jusqu’à la rencontre de ce prolongement; il est facile de voir que av mesure la distance entre chaque lame et la suivante, considérée parallèlement à la même diagonale. Ayant pris sur as la partie a(T qui représente la dimension en hauteur,

et qui sera par conséquent expnmce par menons ffv.

Soient ale, ape (fig. 5g) les deux faces produites parle décroissement, limitées inférieurement par le plan lap qui coïncide avec la base had{ fig. 58), cL coupées antérieurement par un plan vertical lep (fig. 5g). Par le milieu de Ip menons af, qui répondra à ac (fig. 58); puis menons ensuite ef, puis fy perpendiculaire sur ae, et enfin py. L’angle pyf mesurera la moitié de l’incidence des deux faces ale, ape, l’une sur l’autre. 11 s’agit donc de déterminer le rapport entre pf et pry. Pour y parvenir, commençons par chercher celui qui a lieu entre pf elfe.

Les triangles vaT (fig. 58) et pfe (fig. 5g) sont semblables. Donc av a7 II pf fe. Ayant mené cTA (fig. 58) , nous aurons, à cau.se des triangles vad", qui eu.x-mêmes sont semblables ,

«Ta : «r : ; 3-A : ad-.

Or, cTA renferme autant de diagonales horizontales ,3g' de molécule" qu’il y a d’arêtes de molé-

flo

cule comprises dans aA ou donc De plus a3‘ = c[y, et S-A=c'(* — y)-, donc la proportion devient 2g'x : a» :: x — y : donc

a^'ary

Mais aa = — , d’où l’on conclura que

Pf'feih- %) ••

donc si l’on suppose /ez=^, ou aura^=^“. Reste

à trouver fy. '

Soient q/',ye, y’;' (fig. 6o) les mêmes lignes que fig. 69. Menons ax perpendiculaire sur fe , puis ay parallèle à cette dernière ligne, ensuite fy perpendiculaire sur «y, et complétons le parallélogramme

afky. Nous aurons fy = Ayant déjà fe=^,

nous avons besoin de l’expression de «/pour trouver celle de ax et celle de ae. Or,

af I fe II a'X ( fig. 58 ) a7.

Si nous menons «Ta , les triangles semblables aTrv ,

fXTrS' donneront aK ’.ffry :: «v : S'fJt,. Or, avx=:^—^‘

i'fx renferme autant de ^ qu’il y a d’arêtes de molécule comprises dans ««T • donc S^fjt,=:2gX) donc

aTT Itt/a;: oy x — y, ouaTC l aTT-^TTfJt.'.: 2y l x-^y>

.Mais ou a/A renferme autant de fois

qu’il y a d’arêtes de molécule comprises dansoJ'. Donc

donc

oTT : X ,

d’où l’on tire

donc

donc, puisque Je = ^j on aura

af=—^^ V^4p*H"^***

Maintenant, aa; ou son égal fy-af'l2p’

Donc

ae= V^(a*)‘-}-W, ex=fe—Jx, fx'.ax i: h: 2J5, ou ^ t •' h : 2 PI

donc

^ I A' +y — nT\\ « ->:4-.y Wx + y) /'

Substituant les valeurs de ax,fe et ae, dans l’équation/^ = — on trouvera, toute réduction faite,

rf‘Mk-^9) X" T.-

^ y y 4p {.nxyy-{-n\x-\-y — njcy)*

Lorsque la ligne ae (fig. 6o) coïncide avec la ligne ax, la quantité /i* {x-\-y — nxyY s’évanouit. On a donc, dans ce cas ,

x+y — «xj' = o,

d’où l’on lire

Au-dela de ce terme, la ligne ae tombe en dessous du point X , en prenant une position telle que ae' . Alors

ex==fx—fe'=^^ — -= ù

et le rapport àc pfsL fy devient celui de — à

V 4pX'ixyy + h'^^xy — x — yj^'

Alais en continuatit d’employer ce rapport tel que nous Favonsd’abord obtenu, onauraitpour.r+j' — nxy' une valeur numérique négative dont le carré ne tlifférerait pas de celui de nxy — x — y.

4a. On peut déduire des résultats précédens ceux qui concernent le second cas énoncé ci-dessus, qui est celui où les lames de superposition s’appliquent sur les pans hasj ^ clash (fig. 58), en subissant un décroissement ordinaire sur les angles bas , clas. Bornons-nous à considérer ce qui se passe relativement au pan ba^, et supposons que les dimensions a«T, a7, qui alors sont égales entre elles, soient en même temps égales chacune à une arête de molécule j les

quantités * et ^ qui représentaient les nombres d’arêtes

, de molécule comprises dans ces mêmes lignes, pourront être désignées par l’unité, et la ligne adr devenant la dimension en hauteur, ^ prendra la place dey. Donc, dans le rapport.

^ J 1/ 4p\nxyy-+- (x- -j-y — nxy y *

il faudra faire x = i

ou « = I ,

la quantité n désignant alors le nombre de diagonales de molécule soustraites. Ge qui donne

pf'fy

Les dimensions a<r, (fig. 58) étant censées être égales chacune à une arête de molécule, ad" est nécessairement une fraction, dont la valeur est le

produit de l’arête par A mesure que n diminue

ad* va en augmentant, et lorsque n égale l’unité, les lignes parallèlement auxquelles agit le

décroissement, coïncident sur une même direction Or , cette ligne étant parallèle à ar , il en résulte que dans ce cas av, ou, ce qui revient au même, pf ( fig. 5g) est une quantité infinie. C’est efièctivement

ce qu’indiqûe le calcul, puisque l’expression de pf devient alors

43. 11 resterait à trouver des formules pour la détermination des angles que font les faces ale, ape ( fig. 5g ) avec les pans adjacens. Mais les formules de ce genre seraient d’un usage peu commode , à cause de leur complication, ainsi qu’on le verra par un exemple que j’en citerai dans l’article suivant, où je donnerai en même temps la manière d’y suppléer, ù l’aide du calcul numérique.

Les résultats qui précèdent sont applicables à plusieurs variétés de pyroxène, dont je difière la description , parce qu’elles offrent des facettes produites par d’autres lois dont je n’ai point encore parlé.

4°- Décroiasemens sur les angles E , E.

jNous supposerons d’abord, comme nous avons fait

Digilized by

pour le décroissement sur l’angle A, que les lames de superposition s’appliquent sur la base abcd (fig 6 1 ) de la forme primitive. Nous avons ici trob cas à considérer j celui où les décroissemens agissent à l’ordinaire parallèlement à la diagonale ac; celui où ils sont intermédiaires , et où la quantité x qui exprime le plus grand des deux nombres d’arêtes de molécule soustraites le long des bords , est dans le sens de D ou de ic, et celui qui présente l’inverse du précédent, en sorte que x est dans le sens de B ou de ab.

44* Pour les décroissemens ordinaires. Soitm^r (fig. 62) le triangle mensurateur dans lequel mn coïncide avec la diagonale ôo (fig. 61 ), et nr (fig. 62) est parallèle à la ligne ek (fig. 61 , menée perpendiculairement d’un point quelconque de gs sur ca , et laquelle mesure la hauteur du prisme rhombuïdal. Soit n le nombre de diagonales soustraites. Nous aurons

w/ï :nr(fig. 63) ::«x6<i(fig-6i) ^ek :: nxbd

CS. as !

ang'.