Les points d'intersection de denx cercles de ï;ones

edela ^H

quelconques sont aux deux extrémités opposées d'un même diamètre de la sphère de projection.Par conséquent (n*^ 1 1), la notàtioii symbolique des deux points d'intersection ne diffère que par le signe des caractéristiques.

20. Si (uvw) est le symbole d'un cercle de zone qui passe par les pôles de (Ai/), {^pqr) , il est aisé de voir que

(uvw) est le symbole du cercle de zone qui passe par les

pôles de (Aft/), (^pqr)-> et aussi que si les cercles de zones (hkl), (pqr) se coupent au pôle de {uuw)^ les cercles de

zones (hkl), (pqr) se coupent au pôle de (^uuw).

D'après cela , si les cercles de zones ( Jikl^ pqr] , [h kl\ 1^ q' r'] se coupent au pôle de (i/f^iv), les cercles de zones

(/lA/, pqr] , [KUÏ ^ p'q'^'] se coupent au pôle de {uUw'), Si les cercles de zones (AA/, pqr], [HUV , p^q'r'] se

coupent en (af^w), il est manifeste que [Ihk, ^Pq]^

[riik\ i^p' q'] se coupent en (ivmi'), et que [htk, P^q]^

[lîl'k, p'r q] se coupent en (awf^).

%\^ Soit Q le pôle d'une face {ui^w) qui fait partie de

la zone (uvv^)-, alors (n°® 8 et 13)

- co&QX = - ços OT =; - cos QZ,

donc

ufl cos QX 4- vft cos QY-h wc cos QZ ;

UM 4- vp 4- wfv = o :

telle est l'équation de condition qui exprime que la face {ui^w) fait partie de la zone (uvw).

Tout système de nombres entiers qui satisfait ^ cette équation quand on substitue chacun d'eux à i/, u^ w, ca-r ractérise une face qui appartient à la zone (uvwij ^^ ^^^^ système de nombres entiers qui satisfait à la même équation quand on substitue chacun d'eux à u, v, w, caractérise une zone dont la face (umv) fait partie.

( i3) 22. Puisque le cercle de zone (uvvr) qui passe par le pôle (ui^w) satisfait à Téquation

u« 4- v(> -f- wfv = o,

lorsqu'on voudra trouver tous les pôles situés sur un certain cercle de zone ou tous les cercles de zone qui passent par un certain pôle , il faudra déterminer toutes les solutions entières (une ou deux d'entre elles pouvant être égales à zéro) de l'équation

fl j? -j- ft/ H- cz =r o ;

dans le premier cas, a, &, c représentent les caractéristiques du cercle de zone , et dans le second les caractéristiques du pôle.

Soient les coefficients c , b premiers entre eux ; qu'on

transforme yen fraction continue, et soit -77 l'avant-demière b

réduite: alors les règles ordinaires pour la résolution des équations indéterminées du premier degré conduisent à j=± {c'ax — Tncy^ z =h^ (V ax — mb). Suivant que cV est plus grand ou plus petit que c &, il faut prendre les signes supérieurs ou inférieurs. La valeur de x une fois adoptée , des valeurs correspondantes de y elàe z s'obtiennent en substituant à l'indéterminée m différents nombres entiers positifs ou négatifs.