Si un cercle de zone (hkl),qui passe par les pôles
(*) On peut énoncer de plusieurs manières la condition géométrique fondamentale qui caractérise la classe particulière de polyèdres à laquelle appartiennent les formes cristallines.
Au lieu d'adopter pour point de départ la loi des caractéristiques entières (n® 8}, on peut {voyez Nbumann, Beytrage zur Krys-
(Afc/), (h!kr) coupe un autre cercle de zone (pqr) qui passe par les pôles {pqr)', {pqr) en un point qui soit luimême le pôle d'une face (mphv), on peut toujours trouver
tallonomie), poser en principe que, dans une même espèce cristalline, tous les pôles résultent des intersections successives d'une suite de cercles de zones qui commencent par quatre faces particulières. Il est donc utile de faire voir que ces deux définitions des pôles ne sont au fond que des expressions différentes des mêmes conditions géométriques. Or on a prouvé (n° iô) qu'à l'intersection de deux cercles de zones correspond toujours le pôle d'une face qui satisfait à la loi des caractéristiques entières. Reste à démontrer que, réciproquement, du moment où une face quelconque satisfait à la loi des caractéristiques entières, son pôle peut être déterminé par Tintersection de deux cercles de zones qui commencent par quatre faces particulières.
Tel est le but des n°'25 et 24. On fait voir, en effet, que si Ton prend pour caractéristiques d'une face trois nombres entiers tout à fait arbitraires, le pôle correspondant peut être regardé comme déterminé par l'intersection de deux cercles qui font partie d'un système de zones commençant par quatre faces dont les caractéristiques sont ou zéro ou l'unité.
Or, en vertu des règles qui seront établies (n®* 20 et 29), pour passer d'un système d'axes cristallographiques à un autre et pour changer de paramètres, il sera démontré qu'on peut toujours choisir pour les faces particulières (loo), (oio),(ioo) trois faces quelconques qui ne font pas partie de la même zone, et pour face (m) une face quelconque qui n'est parallèle à aucune des intersections de ces trois faces entreelles. Donc, en dernier résultat, tout pôle, par cela seul que ses trois caractéristiques sont entières, peut être déterminé par l'intersection de deux cercles de zones, lesquels font partie d'un système de cercles commençant à ceux qui passent par quatre pôles tout à fait arbitraires , pourvu que trois d'entre eux ne soient pas dans un même plan.
[Note communiquée par V auteur,)
pour caractéristiques de chacun des premiers pôles A, /r, /^ A', k\ V \ Pj çr, r-, p\ q\ r', des nombres tels que leur valeur absolue soit individuellement moindre que celle des caractéristiques w, f^, w ou qui ne surpassent pas l'unité.
Les valeurs de A, A, l\ h\ k\ V \ p^ çr, r; ^', q\ r' doivent (n^ 21) satisfaire aux équations
ah -h ck -i- (vl = o, «p -h pq -h (vr = o, hA H- kX -h 1/ = o, p/> -f- cjy 4- rr = o , hA'-l- kX'H- 1/'= o, VP' -^ q(7'-+- r/-'= o;
reste donc à faire voir que, si l'on désigne par a^ A, cdes nombres entiers quelconques, l'équation ax+by+cz^o peut être satisfaite par deux systèmes de valeurs entières de a:, ^, z, tels que, l'un quelconque d'entre eux étant représenté par a, jS, y, l'équation ax + (iy + yz = o admettra à son tour deux systèmes de valeurs entières de x^ y^ z\ valeurs qui seront numériquement moindres que «, 6, c, ou qui ne surpasseront pas l'unité.
Le cas le plus défavorable est celui où les trois nombres aie sont inégaux •, et le plus grand premier par rapport aux deux autres. Soit c plus grand quefe, et h plus grand que a. Puisque a est moindre que i, des valeurs de x ou égales à l'unité ou plus petites que a peuvent rendre le terme ax inférieur à iy en valeur absolue. ±y={c'ax — me), par conséquent, on peut faire y <Zc et le signe de ax différent de celui de by^ alors, puisque — cz=(£J^^-^zx), z sera nécessairement moindre que i, et, de plus, cz est de signe contraire à by^ et par conséquent de même signe que ax.
En raisonnant de la même manière , puisque qr z = Q} ax — mi), on prouverait que, soit avec la même valeur de x<, soit avec une valeur différente qui serait aussi égale à l'unité ou plus petite que a, z peut toujours recevoir une valeur moindre que b et telle que ax et cz soient
de signes contraires, la valeur de^ étant, par suite, moindre que c»
D'après cela, si l'un des deux systèmes de valeurs ainsi obtenues pour xyz est a, j3, y, on aura les valeurs respectives de a égal à l'unité ou moindre que a, de |3 moindre que c, de y moindre que b.
De même , l'équation
ouc -h p/ 4- yz = o
peut être , à son tour, satisfaite par deux systèmes de valeurs pour x^y^ z, lesquelles seront moindres que a, jS,y, ou ne surpasseront pas l'unité. Par conséquent , on peut toujours trouver des valeurs de A, A*, /; A', A', l' sp^ q^) r^ p\ q\ r' capables de satisfaire aux relations qui les' lient aux quantités i/, f^, w, et telles , de plus , que les trois caractéristiques de chaque pôle, ainsi déterminées, soient numériquement moindres que m, P',w, ou qu'elles ne surpassent pas l'unité.
24?. De ce qui précède il résulte que le pôle d'une face choisie arbitrairement (wf^w) est l'intersection de deux cercles de zones qui passent chacun par les pôles de deux faces dont les caractéristiques sont numériquement moindres que celles de {ii^w). Les pôles de ces faces sont à leur tour l'intersection de deux cercles de zones qui passent par les pôles de nouvelles faces dont les caractéristiques sont encore plus simples.
n faut donc qu'on arrive ainsi de proche en proche à quatre pôles, dont les caractéristiques sont ou zéro ou l'unité (*).
(*) On peut établir les résultats des n°' 95 et 24 pour ainsi dire sans démonstration.
Un pôle quelconque (a^c) est évidemment (n" 22) situé à Tin-
25. Étant données les distances angulaires de quatre pôles situés sur le même cercle de zone avec les notations symboliques de trois d^entre eux , trouver le symbole du quatrième.
tersection des trois cercles de zones (oc ^), [coa)y[bao); mais chacun de ces cercles passe respectivement par chaque couple de pôles (loo), (ibc); (oio), {aie), (ooi), (abi), et les pôles {ibc)y {aic)y(abi) se trouvent respectivement aux intersections des cercles de zones suivants, considérés deux à deux :
[bio)y (coi); (iflo), (oci); [laojy {oib).
Reste à faire voir qu*on peut toujours faire dépendre la position d'un cercle de zone, qui a pour caractéristiques zéro, Puni té et un nombre quelconque, de celles d'un système de pôles tellement choisis que leurs trois caractéristiques sont égales à Punité, ou égales à zéro, à Tunité, et à des nombres continuellement décroissants.
Soit le cercle de zone (mio); il passe évidemment par les deux
pôles (ooi), (imo), et le second pôle (imo) est à son tour situé à l'intersection des cercles de zones (ooi), [m i m — i).
Le cercle de zone {m i m — i) passe par les pôles (i 1 1) , (o/w-i i^, et le second pôle (o /w-i i) est, à son tour, situé àl'intersection des cercles de zones (lOo), [m — 2 i m — i).
Le cercle de zone [m — 2 i /w— i) passe par les pôles (m),
(i m-2, o), et le second pôle (i w-2 o) est situé , à son tour, à l'intersection des cercles de zones (001), [m — 2 i m — 3).
La forme des symboles successifs suit une loi évidente , soit pour les pôles, soit pour les cercles de zones; si donc on poursuit la même marche, on finira nécessairement par arriver à un cercle
de zone qui, si m est pair, passera par les pôles (i 1 1)> (^' 0' ^^
si m est impair, par les pôles (m), (110); ou bien encore à un
cercle de zone qui, si m est pair, passera par les pôles (i 1 1)9
(100), et si m est impair, par les pôles (i 1 i)j {00 1).
Soient {fig* 6) P, Q, R, S les quatre pôles situes sur un même cercle de zone ; soient leurs notations symboli- , ques P (e/gr), Q(AA7), R(^yr), S(Mi^v); soientX,Y,Z les extrémités de trois rayons de la sphère de projection , menée parallèlement aux axes du cristal; a, 6, c les paramètres; on a (n° 8)
-cosPX = -cosPY = -cosPZ,
x^os QX = ~ cos QY = 7 ces QZ,
- cosRX = -ces RY = - cos RZ, p q r
-cosSX=:-cosSY = -cosSZ.
P, Q, R sont situés sur le même grand eercle, et PQ est plus petit que PR ; on a donc (n® 12)
(cos PX ces QY^- ces PY ces QX)
sinPQ
sinQR
(cos QX cos RY — cos QY ces RX) ;
(ces PZ cos QX — CQS PX cos QZ )
sinPQ
— . ^„ (cosQZcosRX — cosQXcosRZ);
. ^^ (cos PY cos QZ — cos PZ cos QY) sm PQ ^ ^ ^ '
r= . ^^ (cos QY cos RZ — cos QZ cos RY).
sinQR^ ^ ^
P, S, R sont situés sur le même cercle de zone, et PS est plus petit que PR; on a donc (pP 12)
' (cos PX cos SY — cos PY cos SX)
sinPS
sin
sin PS
^ (cos SX eus RY — cos S Y cos RX) , oR
(cos PZ cos SX — cos PX cosSZ)
— ( cos SZ co» RX — cos SX cos RZ ) ,
sinSR
smIPS
(cos PY cos SZ — cos PZ cos SY)
= . ' (cos SY cos RZ — cos SZ cos RY ).
sin SR ^ ^
Divisant chaque équation entre sin PS et sin SR par Téquation correspondante entre sin PQ et sin QR , et substituant aux cosinus les quantités proportionnelles don nées plus haut,
sinPQ . sinSR sinQR. sin PS'
dans cette équation
(P,Q) fl —^k ^ g h — el ck^fh (Q,R) kr-^lq Ip —hr hq—kp*
(P,S) fw — gv ___ gu —ew €if — /u
( S , R ) vr — wq (vp — ur uq — vp'
Si à sinRS on substitue sin (PR — PS), l'équation subsiste , quelle que soit la grandeur relative de PR et de PS 5 et il vient
(SR) (QR) sinPQ si n(PR~-PS) m (PS) ~ (PQ) sinQR sin PS "'H'
expression dans laquelle m et n représentent des nombres entiers, puisque (SR) et (PS) sont des nombres entiers^ d*où l'on tire
me 4- np mf 4- nq mg + «'*
26. Etaat données les notations symboliques de quatre pôles situés sur un même cercle de zone , et les distances angulaires de trois d'entre eux , trouver la quatrième.
Soit posé
sin(PR-PS) (P,Q).(S,R) ^nQR ,^„^ , sin PS "" (Q,R) . (P,S)' sin PQ "" ^^
On tire de là (*)
tang(PS — |PR) = tang i-. PR. tang(45*»--0).
(*) Soit
smj
on pose
tangO = M,
et il vient
sin a: sin 9
sin r cosO '
ou bien , en composant ,
siny — sinj: cos ô — sin ô ,,^
» . ; = :— r= tang (45»— 0).
sm j: + sin j cos G + sm ^^^ ^
Mais
sin (fl -f- 6) — sin (fl — b) tang b
sin (a -f- ^) -h sin (fl — b) tang a'
si donc on fait
on a
tang ^ ^ = tang ^ tang (45® •— ô) .
Si Ton revient aux notations du texte, (PR — PS) = jt, PS=ir«
