Changer les paramètres d^un cristal
Soient (AW) le symbole delà face P, les paramètres étant a , ^ , c ; (A' A' /') le symbole de la même face , les paramètres étant a, b\ c'*, les axes demeurent les mêmes. On a(no8),
~ ces PX =: 7 ces PY = T CCS PZ ,
rente,
/ ces A^X \ ~ / cosB^Y N "" / cosCZ \ \e ces A'X7 \/- çosB' Y7 \r cos CZ')
ou enfin
/ cosA^XsinB^C^ / cosB^YsinC^A^ ~ /cosCZ sinA^B^ '
car X', Y', Z' étant les pôles respectifs des arcs B'C, C'A', A'B', on a
cos A'X' sinB'C = cos B'Y' sin C'A' = cos C'Z' sin A'B'
^. / . A'B'+B'C'h-C'A' . B'Ch-C'A'-A'B' . C'A'Va'B'-B'C . A'B'-+-B'C'-C'A'
— 2%/ sia sm sm sm
et
donc
( '-5 ) ■n cos PX = 77 cos PY = 7, cos PZ;
30 (**)• Soient P, Q , R, S, quatre pôles situés sur le même grand cercle de zone. Quand on rapporte ces pôles k un premier système d^axes cristallograpliiqucs qui rencontrent la sphère de projection en X, Y, Z, leurs symboles sont, pour
Quand on rapporte le cristal à un autre système d'axes qui rencontre la sur&ce en X' Y' Z', les notations symboliques de ces pôles deviennent
^A^'fg'h Q,(^'*'^); R,(/^VO; siufv^iv^).
Si Ton pose
(P,Q) fi-g^ ^ gh ~ ci ^ e/i^fh
(Q,R) /r— qi Ip — hr hq — A/?'
( P,S) __/Î!|;^2I^ g^tt — 6w ev — Ju
(SyRJ vr — ivq ix'p — ur tUf — «'/?'
("^jDonCy quand les caractéristiques A, A,/ ne sont pas égales à ïéro, on peut toujours disposer de a'ftV de manière que h\k\t^ soient des non^bres entiers quelconques.
(**) Soient quatre pôles situés sur un même cercle de zone; on connaît leurs notations symboliques quand on rapporte le cristal à un premier système d^axes cristallographiques , et l'on se donne la notation symbolique de trois d'entre eux quand on rapporte le cristal à un second système d'axes cristallographiques : il s'agit de déterminer, dans ce nouveau système, les symboles du quatrième pôle.
on a (d" 25)
(P,Q)(S.R.) ^ (Q,R)(P,S) sinPQsinSja sinQRsinPS' et si
(P^ Q') /' r — g'fi' g'k' —e'I' e'Jt'—fh' (Q', JR'), Â'r' — y' r ~ /'y — h'r'~ h'q'— Vp
(S'., R') ~ • r'— »/£' ~ «/y— #V' ~ 1^^^,^^.* on a (n°25)
(p^,QO (y,R0 ^ (Q^ROjp^so.
sinPQswSR siqQRsinPS'
donc on a
Soit
(y,Q') (y,RO (<y,RO (r,so
(P,Q) (S,R) (QSRQ m (Q,Tl) (P,S) (P',Q')- »'
et par conséquent
(y, RQ gi
(P', S') ~ « ' on aura enfin
31 . Étant^onnésquatre pôles distribués d^une manière quelconque sur la sphère avec leurs symboles quand on rapporte le cristal soit au système d'axes OX, OY, OZ, soit au système OX', OY', OZ', et de plus un cinquième pôle avec son symbole rdiativeme^it ♦u systènie QX., OY, OZ, il s's^t de trouver le sypibole à^, m^^p^ pôl^r^Utji^ vement au système OX', OY', OZ'.
Soient (^^. 8)P,Q,R,SJes quatre premiers pôles donnés, A',B',C' le triangle polaire de X', Y', TJ\ les sym-
boles de A', B\ C, relativement au système OX',OY,OZ, serootA',(ioo)^B',(oio)^C,(ooi).SoîentTIepointd'mtersectiondes grands cercles PQ, RS ; U, V les points oà ces cercles rencontrent C^ : on peut déterminer le symbole de T, et relativement au système OX, OY, OZ, et relativement au système OX', OY', OZ' (n?* 14 et lo) 5 et les symboles deU,V relativement aux axes OX', OY', OZ' (n*»* 14 et 15). Mais les symboles de P, Q, T, U sont connus relativement au système OX, OY, OZ aussi bien qu^au système OXj OT, OZ', et ceux de P, Q, T relativement au système OX, OY, OZ^ on peut donc déterminer le symbole de U relativ^nent à ce dernier système (p? 31). La même marche fournira le symbole de Y relativement aux axes OX, OY, OZ ^ cela fait, on connaîtra le symbole du cercle de zone B'C relativement aux mêmes axes.
Le même procédé s'applique aux cercles de zones CA' et CB^, dont on peut aussi calculer les symboles relativement au système OX, OY, OZ^ les symboles de ces trois cercles de zones une fois connus , le symbole d'un pôle cpielconque qu^on voudra rapporter aux axes OX', OY'. OZ' se déterminera par la méthode du n^ 28.
32. Dans certains cristaux on peut découvrir des axes rectangulaires entre eux •, dans d'autres deux axes perpendiculaires au troisième ; dans d'autres encore les inclinaisons réciproques des trois axes sont égales. Dans tout cristal c[ui a trois axes également inclinés entre eux et dans plusieursde ceux qui onttrois axes rectangulaires, on peut trouver des systèmes de paramètres égaux 5 parmi les autres cristaux à axes rectangulaires , il en est qui ont deux paramètres égaux. Ces différences dans la position respective des axes et dans les rapports de grandeur des paramètres servent de fotidement à la classification systématique des cristaux :
1°. Dans le système octaédrique, les trois axes sont rectangulaires et les paramètres sont égaux ;
2®. Dans le système pyramidal, les trois axes sont rectangulaires et les deux paramètres sont égaux : on peut donc toujours , dans ce système , supposer a égal à J^
3**. Dans le système rhomboédrique, les axes font entre eux des angles égaux et fes paramètres sont égaux 5
4°. Dans le système prismatique , les trois axes sont rectangulaires ;
5**. Dans le système prismatique oblique, xm des axes est perpendiculaire aux deux autres : on supposera toujours l'axe OY perpendiculaire aux axes OZ et OX ;
6®, Dans le systènieprismatique oblique non symétrique, sont compris tous les cristaux qu'on ne peut rapporter à aucun des systèmes précédents.
33. Les différents systèmes de cristallisation se distinguent aussi par la symétrie différente qu'on observe dans l'arrangement des faces des cristaux qui en font partie. S'il se présente, en effet, une face dont le symbole est (M/) 5 elle sera généralement accompagnée par d'autres dont les symboles seront de certaines combinaisons de ±1 h y ±ky ±1 1 déterminées par des lois particulières à chaque système, et qui seront exposées avec détail dans la description particulière consacrée à chacun d'entre eux (*).
(*) Les lois particulières qui déterminent la coexistence de certaines faces dans chaque système cristallin dépendent de deux lois générales qu'on peut énoncer de la manière suivante :
Si dans le symbole d'une face quelconque on change le signe d'une ou de plusieurs caractéristiques , les nouveaux symboles ainsi obtenus appartiennent à autant de faces qui doivent coexister avec la première, pourvu que les trois axes cristallographiques, prolongés à partir de l'origine dans le sens indiqué par le
34, Uneybmie est, dans le langage cristallographique, une figure terminée par une certaine face et par toutes celles qui , en vertu des lois de symétrie propres au système de cristallisation , doivent coexister avec elle. Une forme se désigne par le symbole d'une quelconque des faces qu'elle comporte, enveloppé de deux accolades. Ainsi te symbole {hkl} servira à désigner la forme terminée par la face (hkl) et par les faces coexistantes, hes formes holoédriçues d'un système sont celles qui possèdent la plus complète symétrie dont le système est susceptible. Les formes hémicdriques sont celles qu'on dérive des formes holoédriques en supposant la moitié des faces supprimée suivant une certaine loi.
Une figure terminée par des faces qui appartiennent à cm nombre quelconque de formes est une combinaison d<: cesformes,
35. Les éléments d'un cristal sont les inclinaisons réciproques desaxes YZ, ZX, XY; et le rapport de deux paramètres au troisième. Dans le système octaédrique, où les axes sont rectangulaires et les paramètres égaux, tous les éléments sont déterminés ; dans le système pyramidal, où
signe des caractéristiques qui leur correspondent, comprennent des angles solides géométriquement égaux ou symétriques.
Si dans le symbole d'une face quelconque on fait tous les échanges possibles de place entre les caractéristiques qui se rapportent à des axes correspondants à des paramètres égaux , les nouveaux symboles ainsi obtenus appartiennent à autant de faces qui doivent coexister avec la première.
n est facile de retrouver sous cette forme la loi de symétrie qui, dans le langage de la cristallographie moléculaire, résulte de la similitude des arêtes et des angles solides. De la première on déduit comme conséquence immédiate que, dans tous lessystèmes de cristallisation , une face quelconque a sa parallèle.
les axes sont rectangulaires et deux paramètres égaux, le rapport de l'un d'eux au troisième est le seul élément variable ; dans le système rhomboédrique , où les axes font entre eux des angles égaux et où les paramètres sont égaux, Tangle de deux axes est le deul élément variable ; dans le système prismatique, où les trois axes sont rectangulaires, les rapports de deux paramètres au troisième sont les deux éléments variables ; dans le système prismatique oblique, où Tun des axes est perpendiculaire aux deux autres, rinclinai son réciproque de ceux-ci et les rapports de deux paramètres au troisième sont les trois éléments variables ^ dans le système prismatique oblique non symétrique, les angles que les axes font entre eux, et les rapports de deux paramètres au troisième, sont tous variables.
36. L'angle entre deux faces dont on connaît les symboles peut s'exprimer en fonction des caractéristiques de ces faces, des inclinaisons réciproques des axes, et des rapports des paramètres; par conséquent, un seul angle observé dans les systèmes pyramidal et rhomboédrique, deux angles observés dans le système prismatique, trois dans le système prismatique oblique ; et cinq dans le système prismatique oblique non symétrique, suffisent à la rigueur pour déterminer les éléments variables de chacun de ces systèmes. Dans les trois derniers cas, cependant, excepté pour quelques circonstances très-particulières, cette détermination directe des éléments d'un cristal serait impraticable , à cause du degré trop élevé des équations résultantes.
L'application à chaque système des méthodes qui permettent de déterminer les éléments d'un cristal au moyen d'un nombre suffisant de mesures d'angles, entre des faces convenablement choisies , sera exposée dans le chapitre consacré à chaque système cristallin.
