Si M, N sont deux pôles quelconques des formes
{211}, |oii}, A un pôle quelconque de | loo | , O un pôle de 1 1 1 1 1 ^ des expressions précédentes il résulte que MO, NO sont des arcs égaux à 90°, que MOA est un multiple de 60*^, et NOA un multiple de 3o°.
D'après cela, les six pôles de {211 1 sont autant de points équidistants situés à l'intersection du cercle de zone dont le point (m) serait le pôle et des cercles de zones qui passent par les pôles de { 1 1 1 } et par ceux de 1 100 1 •
Les pôles de { 01 1 } partagent par moitié les arcs de grands
cercles qui réunissent deux pôles adjacents de 1 2n | .
430. La forme de l'expression de tang PO montre que les distances du pôle (m) aux pôles de { A^/} dont les caractéristiques sont +A, +A, +/, sont toutes égales aux
distances de (i 1 1) aux pôles de { likl^ qui ont pour caractéristiques — A, — ^, — /. Si l'on permute les caractéris-
tiques A, k^ l en même temps qu'on change leurs signes dans les expressions de
tangPOA, tangPOB, tangPOC,
on voit que les angles qui ont leur sommet en (i ii) et comprennent entre leurs côtés les arcs qui joignent un pôle quelconque de |AA;/| au pôle le plus rapproché de looj sont tous égaux. D'après cela, lespôles de la forme hkl\sonl distribués sur la surface de la sphère de projection symétriquement aux trois cercles de zones qui passent par les
pôles de la forme { 1 1 1 } et par ceux de la forme 1 21 1 1 .
134. Si Ton conçoit la surface de la sphère de projection partagée en douze triangles par les cercles de zones qui passent par deux pôles quelconques des formes f 1 1 1 1 ,
|2ii }, Tarrangement des pôles de |AA/| est symétrique dans deux triangles adjacents situés d'un même côté du
cercle de zone (211, 1 1 2), ou dans deux triangles alternatifs situés de part et d'autre du même cercle \ il est semblable dans deux triangles adjacents situés de deux côtés opposés de ce cercle de zone , ou dans deux triangles alternatifs situés du même côté.
132. L'arrangement des pôles de x { Aft?| est symétrique dans deux fuseaux adjacents, composés eux-mêmes de deux triangles adjacents situés de part et d'autre du cercle
(211, 1 12), et semblable dans deux fuseaux symétriques. L'arrangement des pôles de tt | Aft/| dans deux triangles quelconques est ou semblable ou symétrique, selon que ces triangles sont d'un même côté ou de côtés opposés du
cercle de zone (211, i 12). L'arrangement des pôles de a. {//&Z| est semblable dans tous les triangles où ces pôles se rencontrent.
133. SiP est le pôle d'une face quelconque , et que sur le prolongement de l'arc PO on prenne de l'autre côté de O l'arc OQ égal à l'arc OP, il peut toujours exister une face dont Q est le pôle.
On a (n« 127)
2 ces QX — ces QY — CCS QZ = 3 siû QO sin OX cos QOX, CCS QX -4- cos QY + cos QZ = 3 cos QO cos OX,
cos QZ — cos QY = ^ sin QO sin OX sin QOX, sin QO = sinPO cos QOX =— cos POX sin QOX =— sin QOX.
D'après cela , si A, ft, / sont les caractéristiques du pôle P, 2 cos QX — cos QY — cos QZ aA — k — /
cos QX + cos QY •+■ cos QZ cos QZ — cos QY
d'où
cos QX 4- cos QY + cos QZ ~"
l'on tire
3 cos QX
cos QX H- cos QY + cos QZ
3 cos QY
cos QX -h cos QY 4- cos QZ ~ 3 cos QZ
cos QX -h cos QY H- cos QZ A 4- /^ 4- / '
donc
- cos OX = - cos QY ;= - cos QZ, P q r
en posant
^,^,rsontdesnombresentiers;Qest donc le pôle d'une face possible.
134. Quand les caractéristiques h^k^lj P^Ç^^ ^^^ liées entre elles par les équations ci-Klessus
pzn — A-t-2^H-2/; qz=ih — A^ -+- 2/; r = 2A-f-2A «^ /,
et que par conséquent l'arc qui joint les pôles {Kkl)^ {PÇ'') est partagé par moitié par le pôle (i 1 1), les formes { hkl^ , l^^rl sont dites transverses l'une à l'autre. Dans certains cristaux qui appartiennent au système rhomboédrique , ime couple de formes transverses se présentent fréquemment combinées; ce genre de combinaison porte le nom de dirhomboédrique, L^ Jig. 58 montre l'aFrangement des pôles.
135. Si l'on conçoit la surface de la sphère de projection partagée en vingt-quatre triangles par les cercles de zones qui réunissent deux à deux les pôles des formes
|iii|, |oii}, |2ii|; l'arrangement des pôles de la combinaison dirhomboédrique {hkl\, {pqr\y ou de la combinaison dirhomboédrique x,{hkl\^ x{pqr^ sera. ^ dans deux triangles quelconques, symétrique s'ils sont adjacents, semblable s'ils sont alternatifs.
L'arrangement des pôles de la combinaison dirhonJïoédrique 7r|AWl, t: {pqr^ sera, dans deux triangles quelconques , semblable ou symétrique, selon que ces triangles
seront d'un même côté du cercle de zone (21 1 , 1 1 2) ou de côtés opposés. Les pôles de la combinaison dirhomboédrique a |AWl, a {pç^} sont semblablement distribués sur la surface de tous les triangles dans lesquels ces pôles se rencontrent.
136. Dans le cas des formes hémiédriques à faces parallèles ou à faces inclinées non symétriques, il peut arriver que des faces appartenant à des formes différentes de même espèce se trouvent svir une même zone. Si MQM' (fig*5g)
est le cercle de zone d'une zone de ce genre, MLM' le
cercle de zone qui renferme les pôles de | ai i j , QML un angle aigu , on appelle la zone directe ou inverse selon que les pôles des faces qui la composent sont plus rapprochés de M ou de M'. Les zones qui peuvent résulter d'une combinaison de formes hémiédriques à faces parallèles sont directes d'un côté du cercle de zone qui passe par les
pôles de {aii}, inverses de l'autre côté. Les zones qui peuvent résulter d'une combinaison de formes hémiédriques à faces inclinées non symétriques sont toutes ou directes ou inverses^ la combinaison est dite elle-même ou directe ou inverse, suivant cette circonstance.
137. Deux formes hémiédriques directes et inverses à faces inclinées symétriques , et deux formes hémiédriques à faces parallèles n'ont entre elles qu'une différence de position. Si, en effet, la sphère de projection tournait de deux angles droits autour d'une droite menée par deux
pôles opposés quelconques de |oii |, les pôles d'une des formes viendraient prendre la place des pôles de l'autre. Deux formes hémiédriques directe et inverse, à faces inclinées non symétriques, sont essentiellement différentes.
138. Soient respectivement P, A deux pôles adjacents de {hkl^y (loo)î O le pôle le plus rapproché de | m | : alors (n« 128)
tang POA = o ;
P, A, O sont donc sur le même cercle de zone. Soient les distances angulaires PO = T, AO =:D : si l'on fait / = ^ , on a (n'' 128)
Les signes de tang T et de tang D sont les mêmes ou sont
différents, selon que les distances ÂO, PO sont mesurées du même côté ou de côtés opposés du pôle O.
Si V représente la distance angulaire de deux quelconques des trois pôles de la forme de | hkk } , où deux caractéristiques sont égales , cette distance est opposée à un angle de 120°, dont le sommet est en (m). Les deux côtés adjacents à cet angle de 120° sont l'un et l'autre égaux à T; donc
sin 7 V = sin 60° sin T.
La distance angulaire de deux pôles adjacents, dont l'un a pour caractéristiques -|- A, -|- ^9 + '? et l'autre ^ — A, — /é, — /, est égale à 180® — V.
139. Soit P un pôle de la forme {M/j- telle que la somme algébrique des trois caractéristiques est nulle, -f-A -h ^ + /= Oj A le pôle le plus rapproché de { 100} PO = 90° (n° 128) 5 donc si H représente la distance angulaire de deux pôles adjacents de { hkl]
donc
tang I H = V^
140. Soit la distance angulaire de deux pôles quelconques de I hkl^ , représentée par H, par K ou par L, selon que la caractéristique A, ou A;, ou / est à la même place dans le symbole de chaque pôle ; soit enfin cette distance angidaire représentée par V, quand aucune des trois caractéristiques n'occupe la même position dans les deux symboles^ soit T la distance de (m) à chacun de ces pôles, D la distance d'un pôle quelconque de { ioo| au pôle le plus rapproché de 1 1 1 1 } -, 20, ay, 2tp les angles dont le sommet est en (i 1 1), et qui comprennent entre leurs côtés les distances angulaires H, K , L , l'angle analogue qui
comprend l'arc opposé V entre ses côtés est de 1 20**, et l'on aura (n« 128)
tang» T = 4; ; r- ^ang I> >
tang G =: y 3
tang 7 = V^
2it — /— a;
Les triangles dont le sommet est en (m)? et dont la base est H, K , L , V, sont isoscèles ; donc
sin - H = sin ^ sinT,^ sin - K= sin 9 sin T,
sin - L = sin ij/ sin T, sin - V = sin6o° sin T.
444. Si V représente la distance de deux des trois pôles, équidistants de { AA/c } , on a (n** 128)
sin - V = sin 60° sin T, tang T = m. tang D,
Le signe supérieur ou inférieur convient au cas où T et D se mesurent du même côté de (m), ou de côtés opposés. En vertu de l'équation précédente, quand on connaîtra m, on pourra calculer le rapport de A à A;.
1 42. Dans le cas de la forme { kkl^ , ou (+ A + * + /)= o, si l'on connaît la distance angulaire de deux pôles qui ne
sont pas séparés par un arc multiple de 60**, on peut trouver la distance de Tun d'eux au pôle le plus rapproché
de { 2 1 1 } ; si l'on appelle cette distance 9 , on déterminera le rapport des trois caractéristiques A, fc, / au moyen des équations
tango = V3^^— -y— ^, A4- ^-4-/^=0.
443. Si Ton se donne les distances d'un pôle quelconque de la forme { hkl^ à deux autres pôles de la même forme , avec la condition que les t;rois pôles ne soient pas situés sur le même cercle de zone , les distances angulaires données ou leurs suppléments seront deux des arcs»H,K,L5V. L'élimination de T entre les équations données ci-dessus (n^ 440) pour déterminer H,K,L, V, conduit, en obseryant que (f — Q =^ 60^ y (p -+- 6 = 60°, aux expressions
tan g ô ___ tang | (K— L) tang 60*» "" tang | (K-f-L) '
tang y tangJJLjhH) tang 60° "~ tang | (L— H)'
tang ^^ tang|(K— H)
tang 6o« ^ tang j (K+H) ' sin 60° ~ sin ^ V '
Connaissant deux des quatre distances H,K,L,V, on peut calculer T et l'un des angles 9, (p,t|;, et le rapport des caractéristiques se déduit des équations
tang = — - v'S ; 2 tang T ces 0= -7 7 — - tangD,
**°S ? = ^— /— À ^^3 ; 2 tang T cos ? = -^qrjip '^''^^>
h — k i- . il — h — /• ^
sin
sin sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
144. Trouver la distance angulaire de deux pôles quelconques.
SoîentPjQ (^fig* 60) les pôles (AW), {pqr)\ 0,A les pôles de {m}, {loo}; soit M le point d'intersection du cercle de zone PQ et du cercle de zone (oii^ioi): on pourra calculer en fonction de ^, A;, /, Pf^t^ ^e symbole du point M et les tangentes des angles MOA, POA, QOA, POM, QOM, et Ton peut déterminer PO en fonction de AO5 A, ft, /. L'arc MO est égal à go? \ donc
cos PM = CCS POM sin PO , tangQM tangQOM tang PM "~ tangPOM*
L'arc PQ, somme ou différence des arcs PM, QM, est donc connu.
145, Etant donnée la distance de deux pôles non situés
tous deux dans le cercle de zone (011,101), déterminer la distance D d'un pôle quelconque de { 100 1 au pôle le plus rapproché de 1 1 1 1 } .
Soient P,Q {fig> 60) les pôles donnés; (hkl), (PÇ^) leurs symboles : alors , en reprenant la construction employée dans l'article précédent (çi** 444), soient tang POM et tang QOM exprimées en fonction de A, A;, /, p^q, r,
tang QM __ tang QOM
tang PM ^ tang PÔM »
d'où
sin (QM -h PM) __ tang QOM -H tang POM sin (QM — PM) ""* tang QOM — tang POM '
L'un des deux arcs QM — PM ou QM+PM est la distance donnée PQ5 donc PM et QM sont déterminés* Ensuite
cos PM = cos POM sin PO.
(91 ) PO une fois calcule , on tire D de Téquation
^' P^ = jkTJTïy '"^'^-
14<). Déterminer la position d'un pôle quelconque quand on se donne ses distances à deux des trois pôles équidistants d'une forme quelconque.
Soient P (Jig» 6i) le pôle donné; A, B5C trois pôles équidistants d'une forme quelconque connue : O le pôle de (m); soient M,E les points où le cercle AB rencontre respectivement les cercles de zones (on , 101) et CO, et soit N l'intersection des cercles MP, CO : le point E partage l'arc AB par moitié, et les arcs ME, MN sont à ^ngle droit sur EO :
sin A£ = sia 60° sin AO , tang EO = ces 60° tang AO , cos PA = ces AE ces PE -h sin AE sin PE ces PEA , cos PB = cos EE cos PE 4- sin BE sin PE cos PEB.
Si l'on expi'ime
cos PA — cos PB , cos PA -f- ces PB
par des produits de lignes trîgonométriques, en observant de plus que
BE = AE; — cos PEB = cos PEA = sin PEN ,
et que d'ailleurs
sinPN =r sin PE sin PEN , on arrive aux expressions suivantes :
sin AE sin PN =r sin | (PB -+- PA) sin ; (PB — PA) ,
cos AE cos PE =z cos | (PB -+- PA) cos | (PB — PA),
Ayant ainsi détermine PE et PN, NE et par suite NO peuvent se calculer :
cos PO = cos PN cos NO , cotang PON = sin NO cotang PN.
147. Déterminer les caractéristiques d'une face quelconque quand on prend pour axes cristallograpïiiques les axes des zones qui contiennent les faces Qikk)^ (khk)^ (kkhy.
Les caractéristiques des trois zones réduites à leur plus simple expression sont
h -i- ky — X-, — /•; — A, h -h ^i -^ ^9 — ky -— A'y h -i- A-,
donc (n° 28)
e=:^h+Ay f = — /-, g=—A,
h = — X , k = h-{'A^ \ = -— A, p = — /•, q = — Ay r = h -h A;
donc si M, 1^, îv représentent les caractéristiques d'une face rapportée aux axes primitifs, m', i^', w , les caractéristiques de la même face rapportée aux nouveaux axes ,
u' = {h 4- X) u — Aw — A-tv, c^' =-— Xa -+- (A 4- X) M — Awy w' = — Au — X-M -f- (A -h A) (V.
148. Déterminer là figure et les angles de la forme I hkl\ quand on particularise les valeurs des caractéristiques hj A;, /.
Les angles compris entre les normales à deux faces qui appartiennent à une même forme peuvent se calculer par les formules établies dans les n^* 138, 139, 140^ on les désigne par la lettre placée sur les arêtes des figures. La Jig. 56 montre l'arrangement des pôles sur la sphère de projection quand les trois caractéristiques sont inégales. Le» pôles de jAA^A;} se trouvent dans les cercles de zones
qui passentpar les pôles de|iii}^etde{2ii|. Lenombre des faces a été déjà déterminé (n** 423).
149. La forme {hï} a deux faces parallèles ^ la normale à ces faces est également inclinée sur les trois axes.
