Dans le cas de la forme hémiédrique i faces incli
nées symétriques x {AJb/|, quand ^A +&+/== o, lesdistances des pôles de deux faces adjacentes sont alternativement H, I20** — H.
159. La forme hémiédrique à faces parallèles 77 { hkl\ est limitée par les faces alternatives de | hkl\ \ la distance de deux pôles adjacents est de 6o®.
160. La forme | hkl^ iJ^S* ^) ^ douze faces ; soient A, / les caractéristiques dont la valeur algébrique est la plus grande et la plus petite ^ si T et D sont respectivement les distances d'un pôle de {hkl^ et d'un pôle de {ioo| au pôle le plus rapproché de 1 1 1 1 } , alors (n** 140)
^t-l-X»-}-/» -^hk — kl—lh ung'T= (âTÏZmt '"°«'^'
sinjHrrsinGsinT; sinjK^zsintpsinT; sin7L=siD>}/sinT;
G et F sont respectivement égaux au plus grand et au plus petit des deux angles H, L, et ^^=180** — K. Si la somme algébrique de deux caractéristiques est égale au double de la troisième , = tp , et par suite G = F.
161. La forme hémiédrique à faces inclinées symétriques x{hkl\ se compose des faces de Tune des deux pyramides qui, réunies base à base, constituent la forme holoédrique |AH}.
162. La forme hémiédrique à faces parallèles tt |AA:/| est limitée par les faces alternatives de { hkl^ , qui se composent de trois couples de faces parallèles également inclinées l'une à l'autre. Si V, W représentent les distances
de deux pôles adjacente» également ou inégalement éloignées de (m),
V = sin 6o« sin T, W=: i8o« — V.
163. Dans la forme hémiédrique à faces inclinées non symétriques a|M/}, si la distance de deux pôles adjacents, également éloignés de (i 1 1), estV, et si les distances des pôles adjacents inégalement éloignés de (i 1 1) est U,W,
sin Y V = sin 60° sin T, U=: 180» — H, W=: 180° — K.
164. Dans les cristaux qui appartiennent au système rhomboédrique , les clivages sont parallèles aux faces des formes qui ont ou deux ou trois caractéristiques égales.
165. Dans un cristal de spath calcaire {fig^ 67)5 les faces pp\ p"^ sont parallèles aux trois plans de clivage , dont les pôlessontdistantsde74°55'. Soient les symboles de ^,(100)^ p\{o\o)\ p'\{poi)\ soient {fig. 70) p^p^ etc., les pôles des faces p^ p\ etc. : ^'est sur le cercle de zone pp' et partage en deux parties égales Tare pp' \ g' est donc sur le cercle de zone p' o^ o étant le pôle de (i 1 1) ; donc le symbole de g^' est (loi ). c' fait partie d'une zone composée de six faces , et dont l'axe est également incliné aux normales p^p\p" \ c' est aussi dans la zone pg' \ le symbole de
c' est donc (121)*, de même le symbole de c est (211). Soit y le pôle de (JikK)^ f sera celui de (khk)^ et le cercle de "LOneff coupera le cercle de zone ce' en e', pôle de (iio). p" est sur le cercle de zone ff'-^ f est donc l'intersection de e' p"^ p' g', donc le symbole de y est (i 1 1) : cp'^ pp" se coupent en r, dont le symbole est par conséquent (aoi). gc^^^ pp se coupent en f, dont, par suite, le symbole est (3 10), comme celui de «', (3oi). tt'^ p" c" se
coupent en (p", dont le symbole est par suite (332). Le cristal est donc une combinaison des formes |ioo|, |oii|,
{iiî}, {211}, {33'2}, {3io}, {201}.
166. Dans un cristal de spath calcaire {fig* 68), /;, //, //' sont parallèles aux trois plans de clivage. Soient les symbolesde;7,(ioo)^)p',(oio)-, ;7",(ooi)-, et soient (Jig. 'Jo)p^p\ etc., les pôles des faces p^ p' ^ etc. o est équidistant de p^ p ^ p"\ donc (n° 128) son symbole est (m). 00^ = 90° et c^^ est
sur le cercle de zoneo;?"^ donc son symbole est (112), el
celui de c, (21 1). cp ^ pp" se coupent en r -, le symbole de
rest donc (201); celui de r',(2io); de r", (021). rr', ;;o se
coupent en m ^ le symbole de m est donc (3ii). mc^,^pp''
( loo ) se coupent en a, dont le symbole est par conséquent (4o3)r 167. Dans un cristal de spath calcaire (^fig- 69), les symboles sont pour ^,(100)^ ^',(010); ^'',(001)*, «,(211) 5
c^,(ii2). Si p^ p\ etc. {fig^'jo)^ représentent les pôles des {2icesp,p\ etc., cp\pp"se coupent en r, dont le symbole est
par conséquent (201)5 celui de r" est (021)5 rr\ cp se
coupent en m, dont le symbole est par conséquent (3i i). Soit le symbole de j-, (hkl)-^ celui de y' sera (A/A;). jry\ cc^ se coupent en e^^, pôle de (ou), m fait partie du cercle de zone jy'; donc y est sur le cercle de zone me^^. Mais y est
aussi sur le cercle de zone pr\ son symbole est donc (3o2). z, z' sont sur le cercle de zone jy'. zz' = 37°8'; donc
mz= 18** 34'.
sin mo = tang zm cet zom ; donc
tang zom =: - y 3 ;
donc
Mais if fait partie du cercle de zone m/, dont le symbole est (233)5 donc (n^ 21)
2A -h 3iî^ -h 3/ = G.
On conclut de là
le symbole de z est donc (i 5 i 9).
168. Déterminer les positions des pôles suiyants d'un cristal de spath calcaire :
»,(2u); §-,(011)^, /?("0^ '^'5(311)5 ^,(Ï33)-, 9,(233)5 iî, (533)5 A, (455)5 ^,(3^0)5 t, (3io)v«,(4ïo)5i,(40i)5 r, (201)5 y, (302)5 (T,(4o3)5 ô, (605^5 5r,(i5i9)5a:,(2r2); (J,(3i3)5ft,(73§)5 ^,(535). > •
( »oi )
Soient p^p\p" les pôles de (loo), (oio), (ooi)*, o le pôle de (i 1 1)5 et qu'on distingue respectivement par un ou deux accents les pôles situés sur op' dans le secteur coc^ et ceux situés sur op" dans le secteur coc :
pp" = 74«55'; pop'' = i2o«.
og' partage par moitié pp" et pop" \ d'après cela, puisque
po = p"o,
sin j pp" = sin 60® sin po.
D'où il résulte que po = 44^ 36',6.
tangg^o = — |tang/?o (11° 158);
donc go = 26^1 5'.
siriyg'g'' = sin 60° sin g^o ;
d'où g^ = 45° .V.
De même on trouvera que
no z= i3°52',
nn'
fo - 630 7',
ff-ioi- 9',
mo
/W/7l' = Il4°I0',
yo = 5oo58',
(ptp' = 84° 33',
do
rffif'— II8027',
ho = 55^57',
hh'
tfo — 900 0',
ec'
donc
e^ = 900, p^ = 370 27',5, pe=:z 52*32', 5.
Soit(z/inv)le symbole d'un pôle quelconque S situé sur le cercle de zone pp"^ entrée et g'': si, dans les formules du
n** 27, on remplace P, Q, R et les caractéristiques correspondantes par les pôles e, p^ g\ et leurs caractéristiques respectives , on a
tang Se =
tang pe.
D'après cela, puisque 0, ^x^y, r, i^, o)', f', f^' sont sur le cercle de zone pp\
ee= 6«46', (xe=io°34', /^=i:i4°38', /^=23«3r, X^=:33«8', w'e=65«i9', f'^ = 69«2', (/e = 8iOi7';
pe est connu, les distances de 6, cr, etc., à/? se trouveront donc par de simples soustractions.
tang' io = — tang' PO (n« 128);
donc èo = 64°24',5.
tangôo^ = -\/3 (n°l28)j
donc Jo/; = 4o® 53',6.
sin -^ èè' = sin bop sin ^o;
donc bb' = 72°22',5.
l^oZ,'' = i9«6',4;
donc fei"= 34^20'.
De même
zo = 76^32', «o/? = i9°6',4, zz' = 37*» 8'.
* 9, Xy J, /*' sont sur le cercle de zone ep^
ep' = 90°, ef' = 340 25', 5.
Si (amv) représente le symbole d'un pôle quelconque S, situé sur ce cercle de zone ep\ on a (n*^ 27)
tang Se = tang e/" ;
C »o3) 4onc
qe = 22® 21', xe = 18° 55', ^^ =r 12® 52'.
169. Dans un cristal de tourmaline, dont lesfig. 71 et y 2 représentent lesdeuxpointements,les*pôlesc,^,^',^" ont pour symboles (m), (100), (010), (001). n" est un pôle commun aux zones pp'j cp"\ son symbole est donc (110)5 de même celui de n' est (i 01), et de n, (01 1). 5 est im pôle commun aux zones pp" ^ nii'\ son symbole est donc
(loi) ; de même, celui de / est (on), de /, (no). Le pôle / est commun aux zones ssr\ cp ; son symbole est donc
(21 1). Sur la fig, 72, Py p,j p^, sont respectivement parallèles à p^ p\ p"] donc les symboles sont, pour p, (100) ; pour ^^,(010)5 poury3^^,(ooi). Le pôle g est commun aux
zones sp\ s'p"\ son symbole est donc (m). Les faces parallèles à c, /, g manquent ; donc (n° 124) c, /, g font partie d'une forme hémiédrique à faces inclinées symétrique. Le cristal est, d'après cela, une combinaison des
formes I ioo|, joii |, x|2ii^, x|oiil, x|iii|.
170. p^ m, x,etc. {fig''^4) sontles pôles des faces p, m, a:, etc. d'un cristal d'apatite {fig-J^)* Soient x^x\x" les pôles des faces (100), (010), (001), et p le pôle de (m). xx\ px" se coupent en Te, dont le symbole est par conséquent (no)*, de même celui de r, est (loi), de r^ (on).
Le pôle m est sur le cercle de zone px^ et pm = go^-^ donc (n° 129) le symbole de m est (211)5 celui de m est (i2i)', de m'',(ii2)5 de m85(ii2). mx\ px" se coupent en x^y dont le symbole est par conséquent (221)5 mr,, px en /, dont le symbole est (ii4)î ^^'\ ^^'^ ^^ ^5 ('^*)j ex\ px" en Za , (111)5 ^^z 5 P^ e^ ^^ (5 ^ ') j ^x\ xm^ en
Sy (412)^ xx\ mx" en u', (210)5 niz^^ xm^ en u, (524)*, puy mni en c, (54i)«
/? partage les arcs rr^^ xx^^ zz^^ uu^ par moitié 5 donc (n*^ 134) r, a:, etc., appjartiennent à une forme dirhomboédrique. Les cercles qui passent par ^ et par chacun des pôles m, e, formant douze fuseaux; les pôles c, c^, u, i/^, manquent dans les fuseaux alternatifs; donc (n^ 125) c, c^ appjartiennent à une forme hémiédrique à faces parallèles. Le cristal {fig* 78 ) est donc une combinaison des formes {m}? {^ïi}? {^ïï}» {ï^^o}» {i^^}> {oii}^, {411} , {m}? {5ii}, {412}, Tt{7.\o}, TT {524}, îT |54i } ; il est clivable parallèlement aux fa-
ces des formes {ml, {an}; les faces u^ 5, x forment une zone inverse.
Les symboles des autres pôles que montre laijig. 74 son^ a,(52l)i ^,(7i5);/,(3 i 2); ^,(212). i',(84T).
IjCs expressions du n° 128 donnent
tang ^/?/7i = ^V3>
le cercle de zone pasde fait donc un angle de 3o^ avec pm.
tang cpm = -r^;
le cercle de zone c^ u^puc fait donc un angle de 4p*^ 53',6 avec ^m.
tang bpm = ^V3>
le cercle de zone b^pb fait donc un angle de ^6^6' avec pm.
C io5 ) Si Ton pose xp = I), on a (n° 128j taiigD = ^tsmgrp
== ~ tang ^P — ^ ^a^S ^^^11 ^^°^ ^^ "^ Zfî^^^^^
= 4= tang up= J== lang J;;.
V7 Vï3
;»p/7}3 := 60°, donc
epmi,-=z 3o®, upm:^=z icp&,^^ bpm:^=: i3°4';
donc
sin a/? = cos a'm^€^-=z tang 60** cotaog xm^^=. tang 3o®cotang j/w, = tang i9°6',4 cotang «//«a = tang i3°4' cotang Ô/W3 = tang 4o° 53',6 cotang um ,
sin i/? = cos j'/Wa ^'= tang 60° cotang WÎI3 = tang 3o° cotang rf/713, cosr/?i3= cos 60° sin /p, cos Û/W3 = cos 3o° sin o/? .
171. r^p^ z^ etc. (j^g'. 76) représentent les pôles des faces r^p^ z^ etc. d'un cristal de quartz (fig*7^)»
Iips distances mutuelles des pôles de r, r^, r^ sont de 60^. Les arcs pr^ pr\ p"r" sont tous de 38° 1 3' et sont perpendiculaires à rr^\ donc ils passent par o, pôle de rr^.
Si donc on attribue pour symbole à p^ (100)5 P't (^1^)9 p"^ (001), il en résultera pour o le symbole (m), pour r,
(a 1 1); pour /^(lai)^ pour r", (i i 2).
rp'^ r'p se coupent en z'\ dont le symbole est par con-n
séquent (221)5 H^j ^"p ^^ ^5(421).
ar= 18*^1 1'^ donc
tangao = ^tàn^po-^
donc (n*^ 138) le symbole de a est (3 1 1).
ar^=^ ar\^ donc
a^o z=z ao ;
donc (n° 133) le symbole de a^ est (7 5 5).
n, X sont, dans le cercle de zone pr^^
xrj =r 18° 29', /îr5= 12*».
( io6 )
Si (M^^v) représente le symbole d'un pôle quelconque S situé sur le cercle ^rs, eu substituant dans les formules du n^ 27 à P, Q, R et aux caractéristiques correspondantes , r„ p^ z" et leurs caractéristiques respectives, et en observant d'ailleurs que cotang zV, = — r cotang ^r,,
(aa — 5p) tang Srj = (2a -f-*») tang/>rj.
De plus
tu 4- 2W == o,
parce que le symbole du cercle de zone pr, est (012),
tang/^r, = 7 tang xrj;
donc le symbole de a: est (221),
tang/>r2= iStang/rr,]^
donc le symbole de n est (8 i o 5).
o partage par moitié^2, aa/^ donc (n® 134) ^, a appartiennent à des combinaisons dirhomboédriques.
Les pôles j, Xj n n'existe^t pas dans les fuseaux alternatifs formés par les cercles de zones qui passent par o et par chaque pôle r^ donc (n* 126) 5, x^ n appartiennent à des formes hémiédriques à faces inclinées non symétriques.
D'après cela, le cristal (figy^) est une combinaison des
formes {211}, {100}, {122}, |3ii}, {785}, {4^i} >
a{22i|, a{8 10 5|^la zone formée parles faces p^ 5, Xf rij r, est directe.
Les symboles des autres pôles représentés (Jig' 76) ont pour symboles
J, (i322); i,, (788)5 m, (722)5 m^, (^44); e, (i655)5 e, (433); c, (622); c^, (1388); IV, (542)5 y, (784); ^ (342).
