La forme {hkl} a quatre faces; les normales à
des faces
A',{eogy, B',(oio); C,{por).
Les symboles des trois zones sont , avant toute réduction ,
D'ailleurs (n« 20»)
cotangA'Y = o, cotangB'Y = x , cotangC'Y =r o; donc A', C sont sur le grand cercle XZ, et B', Y, Y' coïncident:
cosB'Y= I, sinA'B'= i, sinB'C'= i.
Mais, en général,
- cos A'X = î cos A'Z = - cos (X2 -4- A'X),
- cos C'X = - cos C Z = - cos (C'X— XZ), p r r ^ '
- cos C'Z = - cos C'X = - cos(C'Z-h XZ); r p P ^ '
d*où Ton tire , eu égard aux signes de corrélation [fig, 92 his)y
.,- ecsinXZ
cos A'X = ■ ■
sjg^ti^ -\- é^c^ — 2 egac cos XZ '
sin A'X = g^-^ccosXZ
Sg^à^ -^ e^c^ — 2egac cos XZ' ... r, y pc sin XZ
)/rW -+- p^c^ — iprac cos XZ
deux faces adjacentes k {010} font Tune avec l'autre im angle de (i8o*>— K) et 90*^ — i K = PY.
217. La forme hémiédrique a |/iA/] a deux faces; Tangle compris entre leurs normales est de 180** — K.
lin----, ".-pccosHZ
^rW -h jd'c' — 2prac cosXZ
^, „ ra sin XZ
cosC'Z =
y r'fl' -I- /?V* — iprac ces XZ smA'C= sin (A'X -h XC),
(g/? — er) ac sin XZ
fflnA'C'=
VpÔM-^^?— -â^^ûccôsXZ yr'a'-h/^V — 2/7râccosXZ
Si Ton substitue ces valeurs dans les formules générales du n® S8,et si l'on supprime les facteurs communs aux caractéristiques et aux paramètres correspondants
u' = pw — ruy a' = ^r^a^-^-p^b^ — 2prab cos XZ,
a^= gu — ew, c' = ygW -he^c^ — 2 egac cos XZ;
d'un autre côté
Z'X'=:i8oo— A'C.
215 bis. Soient pris^ pour nouveaux axes cristallographiques, les intersections des faces
A', (mno); B\{ntno); C, (00 1); Les symboles des trois zones sont, avant toute réduction ,
B'C, [nmo); C'A', [nmo); A'B', (002/w/i); cosA'Z = 0,' cosB'Z = o.
EXEMPLES
218. Dans un cristal d'épidote {Jig»g'i et 94) les zones qui servent à déterminer les symboles des faces sont metlrm\ mkoo'k'm\ tuzz'ut\ fyqq'yl'^ lnz'l\ mn'r\ mdzqnxm\ inuym\ ryzox'r\ tyno'd't\ edd'e'.
A', B' se trouvent donc sur le grand cercle qui a Z pour pôle et passe par Y et par A ; donc Z, TJ coïncident. De plus (n^ 20^)
. ,- na , ^ ,,^ na .__
cotant; A Y = — r sm A YC = — r cos AX, ° ma mb
cotangB'Y = rsmB'YC= r cosAX.
ma mb
A', B' sont donc à égale distance de part et d*autre de A.
cosC'X = o, cos C'Y =0;
donc C et C coïncident. Les points X', Y' sont par conséquent sur le grand cercle XY, et on les déterminera en faisant
il est d'ailleurs évident que
Dans les triangles rectilatéraux YB'X', A'B'X', YA'X , on a, eu égard aux relations précédemment établies,
sin A' Y cos A'B'X' = cos X' Y,
cotang A' Y = tang X'Y cos AX, cos A'X' = 2sin A'Y cos A'X cos A'B'X', cos AX sin A' Y = cos A'X.
Si Ton multiplie toutes ces équations membre à membre , et si
Soîentles symboles de m,(ioo)-,/,(ooi); /ï,(h i); w',(i 1 1);
on en conclura (n° 17) les symboles de r, (ioi);^,(oii)-,
^?("0;^(ïoOî^?(^io)j'(<^ï^)5^5(3ii);/,(io3):i/,(2i2)-, kj (4io)-, d^ (3ii); e, (3oi).
l'on supprime les facteurs communs ,
2sm X'Y cos A'X = cos A'X', et comme
,,- cotane A'Y na tangX'Y= Ê^=;
cos AX mo
on a enfin
cos A'X cos B' X s/n^a^-^ n^b^
cos A'X' cos B'Y' 2na
Si Ton porte ces expressions dans les formules générales du n*^ 88 et si Ton supprime les facteurs communs entre les caractéristiques et les paramètres correspondants,
m' = /II* -f- mVf v> := nu — mp,
11 est d'ailleurs facile de voir qu'on aura
X'Y' ^,^ X'Y' mb
= QO° — X'Y, tang = — ;
2 ^ ^ 2 na
X'Y' COS Z' X' = cos Z' Y' = cos cos XZ,
Dans quelques cristaux , on a observé une face f commune aux zones mt, un ^ une face 5 commune aux zones mt^ Ay, et une face h commune aux zones mo^ Iq \ donc on aies symboles dey, (io3); 5, (201)^ i, (010). Les cristaux sont clivables parallèlement aux faces m et t.
Soient m, /, r, etc. (^g*. 94)les pôles des faces m, /, r, etc. Étant donnés
n = 5i»4i', tm z= 64«36', nn' = 70*33',
on demande la position des autres pôles.
Soit (uuw) le symbole d'un pôle quelconque S placé sur le cercle de zone rtm ; si, dans la formule du n^ 27, on remplace P, Q, R et les caractéristiques correspondantes ' par r, it, m et leurs caractéristiques respectives ,
tang rS — tang rm 2 w
tang rt — tang rm a -h w ' donc
(i£ -f- w) tang rS = aw tang rt -4- (« — w) tang rm : d'où
/r=25°44',5, yr=34*55',5, er=:8i«34', /r=290 2i',5^
ir=i8»6'.
Si l'on pose nml = y,
tang nr = tang 7 sin mr; tang rV = tang cp sin m/ ;
donc
iV=:4i°39',5, «/ = 96" 4i'; de même
qq = 64» 46', «5' = 79»9', dd' = 96» 10'.
( '3» ) Si Ton pose ntr =: ij/,
tang nr = tang -^ sin fr, tang o/r = tang ^ sin n»;
donc om = 58*» 26', 00 = 63^8'.
tang hy =1 1 tang ^y (n** 807) ;
donc iy = 51*^45% yy = io3**3o';
tang bu=z7, tang 6z; tang bk = 2, tang 60 , donc
^«=54*» 33', aa'= 109^6', bk = So^'Si'yS, )t>t'= ioi« 43'.
Si les zones dont le cercle de zone rencontre mt enfet s n'eussent pas existé sur le cristal observé, il aurait fallu connaître les distances de/* et 5au pôle d'une certaine face déterminée de la zone mt pour déterminer leurs symboles. Que Ton suppose tf^ ts mesurés, et que
on a
rr=:5i»4i', rw' = 63»43'.
Donc, si, dans lesformides du n^ 27, on remplace P, Q>R -et les caractéristiques correspondantes par ï, r, m', et leurs caractéristiques respectives, et S pary,dont (a^'iv) représentera le symbole ; on trouve
a^i, p = o, w^=iZ\
donc le symbole de/ est (io3), et de même celui de s
est (201).
Déterminer Tindinaison des axes OZ,OX et des quantités proportionnelles aux paramètres.
Soient Z, X les points où les axes OZ, OX percent la sphèrede projection. Puisqu'onapoursymbolesde /, (ooi), et de m, (loo),
mZ = 90°, /X = 90% w/ = 9o°32',5;
donc
ZX=:89*>?.7',5.
L'axe OY perce la sphère de projection en b -, si a, i, c représentent les paramètres du cristal, on a, puisque le symbole de M est (212),
- a ces wX = b ces ub =: -c ces «Z; séc aX = séc ut cosée r/, 2 2
séc ttZ = séc ut coséc ^/t? ; '
donc les paramètres a^ i, c sont respectivement proportionnels à . ^
2 séc ut coséc if/ ; séc ub ; séc m^ coséc ^i.
Trouver les symboles des faces quand on adopte les axes des zones zz\ mtj od comme axes cristallographiques. Les symboles des zones zsi ^ mt^ oo\ rapportées aux axes primitifs, sont respectivement (loi), (010), (001); donc (n*' 28), si (uv^v) est le symbole d'une face quelconque rapportée aux axes primitifs, (uVtv ) son symbole quand on la rapporte au nouveau système d'axes ,
Si Z', X' sont les points où les nouveaux axes OZ', OX' rencontrent la sphère de prpjection,
' Z'X' = i8o« — mt= 1 15"24^
219. Dans un cristal de feldspath (Jîg- gS) les zones qui servent à déterminer les symboles des faces sont tzmzi^ pffxryp-i pnmnp\ xomox^ qoznq^ potp^ yonty,
m est perpendiculaire aux faces ^, ^, x^y ; donc le sym-
bole de m est (oio). Soient celui de f,(i lo); i', (i lo) \ o, (m)-, d'où (n® 17) on conclut pour les symboles des autres faces, ;k7, (ooi)-, w, (021); j^, (201)^ x, (loi); z, (i3o); g^ (2o3). D'après cela, le cristal est une combinaison des formes {010}, {ooi|, {no}, {i3o|, {021}, {aoij, { loi 1 , 1 2o3 i , 1 1 1 1 1 . Il est clivable parallèlement aux faces des formes |ooi|, |iio|, |oio|.
Étant donnés les angles «', pt^ px (fig'96)^ quand t, p, X, etc. représentent les pôles des faces f , p^ x ,etc. , on demande la position des pôles q^y^n^o^ z.
Soit a le point de rencontre de tt"^ px\ le symbole de a est (100),
mt = ^tt'y cospt = sin mt cos pa.
lies triangles rectangles xpoj apt^ qui ont un angle commun en Pj donnefnt Téquation
sin pa cot om = sinpx cottm.
2 coi pq = 3cot/>jr — cot pa; 2 colpy = cotpx -4- coXpa (n"5i7);
tang me = 3tang mz (n® 807) .
Les triangles rectangles tya^ ^yp -> q^i ^^^ ^^ angle commun eny, donnent Féquation
sin ay cot mn' = sin/?'/ cot mi.
Si
rr ' = 1 1 8*» 49', pt = 67^44', px = 60» 20', on aura pa=r63«53', «ww=63«7', /?y = 34«i3', /?/ = 8o«23',
wz =r 29^25', /W/l' == 45° 3' .
220. Dans UQ cristal d'acide oxalique (fig» 97), les zones pacp\ peép ont leurs axes à angles droits l'un stir l'autre^
aenia^ cemd sont des zones, p^ a, c, etc. représentent les pèles des faces p^ a, c, etc.,
pa = 5o®4o'» /'^ == 76^*45% mm' = 63** 5'.
Si d est l'intersection des cercles de zones pa^ mnî^ il résulte de mesures approximatives que
2 QOlpd =z coi pa — eot pc (n® 27);
donc ^rf = yi^ 43'.
Les triangles rectangles ecp^ mcd^ qui ont un angle commun en c , donnent l'équation
smpc coi pc = m de cot me/, d'où pe = 72*^44', ee' = 34*^32'.
Il arrive souvent que les faces e, e n'ont pas leurs parallèles ; dans ce cas (n? 204), la forme à laquelle ces faces, appartiennent est hémiédrique.
