SYSTÈME PRISMATIQUE OBLIQUE NON SYMÉTRIQUE
221. Dans le système prismatique oblique non symétrique, la forme {AA/| n'a que deux faces (AA/), Qikl) (*)•
2S2. Déterminer la position d'un pôle quelconque.
Soient (Jig> 98) X, Y, Z les points où les axes cristallograpliiques percent la sphère de projection -, A, B, C les pôles de (100), (010), (001); P le pôle de (hkl).
Les triangles ZYX, ABC sont supplémentaires^ on aura donc
cos PX = sin PBC sin PB = sin PCB sin PC, cos PY = sin PCA sin PC = sin PAC sin PA, cos PZ = sin PAB sin PA = sin PBA sin PB.
Mais
T cos PX = 7 cos PY = 7 cos PZ ; h k l
(^) De sorte qu'à un système donné de valeurs numériques pour les caractéristiques A, /*, / correspondent différentes formes suivant le signe de ces caractéristiques ; le nombre total de ces
formes est évidemment de quatre, représentéespar { AA^/| , | hkl} ,
{m/}, {hfl}.
donc T sin PAC = - sin PAB^
^-; sin PBA = X sîn PBC,
y sin PCA = 7 sin PCA :
d'où Ton tire
kc tango = -rv,
tang I (PAB — PAC) = tang | BAC tang (45** — y ) ;:
/a tangy = ^^,
tang|(PBC — PBA) = tang^CBA tang(45«— y);
tang+=-^, tang j (PCA — PCB) = tang 4- ACB tang (45*» — y).
D'après cela , connaissant les angles A , B, C , on connaîtra les segments dans chacun de ces angles par les axes PA,PB,PC.
223. Soient x^y^ z les points où les arcs PX, PY, PZ rencontrent les côtés opposés: les angles en x^y^ z sont droits*, donc
sin Rr sin Ç*x
cotang PBC ~~ cotang PCB*^
sin Cjr sin k.y
cotang PCA ~~ cotang PAC '
sin Az ^ sin Bz cotang PAB cotang PBA'
De ces équations on tire
I /« r. ^ sin(PCB — PBC)
tang T (Ba? — Ca:) = . \^^^ — -—-{ col 1 BC, ** ' ^ ' sin(PCB-f-PBC) ' \
ung , (Lr Ajj 3in(pAC-H PCA) ^""^ ^ ^^'
, ,, ^ . sin(PBA— PAB) . ^„
tangHAz -- Cz) = J^^j,^^^J ) cot^ AB.
De là résulte que les segments des côtés A, B, C, déterminés par les perpendiculaires menées parP, sont connus. On a ensuite
cet PA = cos PAB cot Az = ces PAC cot Ajr, cet PB = cos PBC cot Bx = cos PBA cot Bz ,
cot PC = cos PCA cot Cr = cos PCB cot Ctc.
224. Soient H, K, L les points de rencontre des côtés de ABC avec PA, PB, PC; les notations symboliques des points ainsi déterminés seront (ofc/), (Ao/), (AAo), et l'on aura
cos HT sin HC sin C sin HC sin AB COS HZ ~ sin HB sin B "" sin HB sin CA'
d'où
k sin HB / sin HC
De même
et
b sin AB c sîn CA '
/ sinKC if sinKA csin BC asin AB'^
h sin LA h sin LB
flfsin CA bsin BC*^ par conséquent
tang I (HB — HC) = tang i- BC tang (45^ — a)^
équation où
^csin CA
tang j (KC — KA) = tang j CA Ung (45*» — p),
équation où
^ la sin AB
tang i (LA — LB) = tang | AB. tang (45" — y}.
équation où
hb sin BC
Les segments formés sur les côtés de ABC par H, K, Lune fois déterminés par les équations précédentes^ on trouvera AH, BK, CL par les équations
sin AP sin APC = sin AC sin PCA,
sin HP sin HPC = sin HC sin PCB,
sin AP sin APB == sin AB sin PBA,
sin HP sin HPB = sin HB sin PBC.
De plus (n*» 222)
Y sin PCB = -sin PCA, 7 sin PBA =? sin PBC ;
d'où
sin PH hb sin HC hc sin HB sin PA ka sin CA la sin AB
De même
sin PK kc sin KA ka sin KC
sin PB ~ IE^'aB "" Âïsin BC '
sin PL la sin LB Ib sin LA sin PC ~" hç sin BC ~" kc sin CA ^
çt par conséquent
tang I (PA — PA) = tang \ HA tang (45** — w),
équation où
^^ sinHC /jg sinHB tangcr — — ^.^ ^^ — "te sin AB ^
tang I (PB — PK) = tang \ KB tang (45" — p) ,
équation où
Ac sin KA Aa sin KC
^^^P ^ Ib sin AB^lb sin BC'
tang T (PC — PL) = tang \ LC tang (45« — cr) ^
équation où
ia sin LB là sin LA
**"^ "^ "^ /I7§in BC "" ^sÏbTÂC*
On connaît donc les segments déterminés sur les arcs AH,. BK, CL par le point P.
Dans la précédente recherche, on a supposé que les ca^ ractéristiques de P et celles du pôle le plus rapproché des. formes {ioo|, |oio|, {ooi| sont des quantités positives. Lors donc que certaines caractéristiques de P deyiendront négatives , il faudra changer leurs signes et les signes des caractéristiques correspondantes dans les symboles des autres pôles du eristal.
SS5. Déterminer la distance angulaire de deux pôles, quelconques.
Soient P,Q les deux pôles. Après avoir trouvé les distances de P et de Q aux trois sommets de ABC et les angles que chacune de ces distances fait avec le côté adjacent, on connaîtra l'angle qu'elles font entre elles : on a donc deux côtés d'un triangle sphérique et Fangle compris •, on en déduira la longueur PQ du côté opposé.
. 226. Déterminer l'inclinaison des axes et le rapport des paramètres.
Lorsque l'on connaît les distances réciproques de A, B, C ^ pôles des faces (loo), (oio), (ooi), et la distance de P, pôle^ de (Iikl)^ à deux quelconques de ces points, on en déduit la distance de P au troisième aussi bien que l'inclinaison de PA, PB, PC sur les côtés du triangle ABC^ on peut donc trouver cos PX , ços PY, cos PZ en fonction de PA ,.
PB, PC et des segments déterminés dans les angles A , B, C par PA, PB, PC.
Le rapport des paramètres dépend alors des équations
T ces PX = T CCS PY = 7 ces PZ. .
D'un autre côté les triangles ABC, XYZ sont supplémen-, taires; donc
YZ=:i8o°— A; ZX=ri8o°— B; XY=i8o« — C.
227. Etant donnés les symboles de quatre pôles D, E, F, G {Jig' 99) et cinq des six arcs DF, FE, EG, GD, DE, FG, trouver l'inclinaison des axes et les rapports des pa-i ramètres.
Soient A , B, Clés pôles de (100), (010), (001)5 soit H le point d'intersection des cercles DE, FG ; L, M,P, Q,R,S, les points où les mêmes cercles rencontrent lescôtésdeABC.
Cinq des arcs DF, FE, EG, GD, DE, FG connus suffisent pour calculer le sixième , ainsi que les arcs DH, HE, FH, HG et leurs inclinaisons réciproques.
Les symboles de D, E, F, G, A, B, C sont connus ; on calculera donc ceux de H, L, M, N, P, Q, R, S (n° 17). D'après cela, DH,EH,FH, GH ayaut été déterminés, on peut déterminer à leur tour HL, HM, HP, HQ, HR, HS, et par suite les côtés du triangle ABC et les distances de H aux trois sommets de ce triangle.
Une fois arrivé à ce point, on calculera les distances angulaires YZ , XZ , XY et les rapports des paramètres fï, J, c, par les méthodes de l'article précédent (n° 226).
EXEMPLES
Dans iin cristal d'axinîte (Jig' loo), on observe les zones suivantes : mpdfem!^ mltu^vfnl^ mrsxyçrn! ^ nigonî^ foc^vnf, fgyvf\ fxtf, fslf\ ecqvé, pyqwp\ pxvnp\ pstp\ prlp',
Soientles symboles dem,(ioo);y,(oio)5i^,(ooi)",.r,(iii): onendëduira(n^l7) ceux dej^, (on)-, t, (loi)^ p^ ('^^)^ e, (iio); 5,(21^1)-, /, (aoO', ^ (3ii)-, q, (112)^ c, (m);
w, (loi)-, w, (i II)-, o, (lai); g', (021). Si Ton mesure les distances d'entre m^p^ d^J\ pôles des faces in^p^ d^ j\ on trouvera
cet md — co\.mf-=. 2 (cet mp — cot mf)\
donc (n^ 27) si (//ptv) est le symbole de rf,
rf se trouve sur le cercle de zone w/* 5 donc iv= o, donc le symbole de d est (120).
Soient m, f, ^, etc. {^fig» loi) les pôles des faces m, /, ^, etc. Etant donnés
mx = 49^32', xy = 29^52', /w^ = 44°^^'' ^ = 32«55',
il s'agit de déterminer la position des autres pôles.
Dans le triangle j^mi^, dont on connaît les côtés, on trouve
ymtf = 44°4ï>5'> J*'^ = 88°I0',5.
jr/n, /m, xmt, connus, déterminent xfm = 84** 1 4)
ti^^fytyft^ connus^ détermînent fo = 97^36-,
fu^ \fm^ fmv connus , déterminent vfm = 97*^ 58', 5,
fm = 89055';
vm , ma:, vmx connus, déterminent xvm = 44^44'?
V/7Î, o^vm^ vmp connus, déterminent mp = 45** 12'.
La formule qui exprime la relation entre les distances de quatre pôles situés sur le même cercle de zone (n® 27) donne
colfe' = 2 cot fm — cot^; cet mw = 2 cet mu — cet mt;
cot /wc = 2 c(5t my — cot mx ;
donc
/e' =z i35**i2', mw = n9®5o', me = ii5?35'.
mw, mp^ wmp connus, déterminent ^iv = ii5**5o',5; mj-, mp^ymp connus, déterminent py = 58°53'.
2, coi pqz= cotpw -i- cotpx; 2cotmd=2 cotm/-^ cot mp^ cot me =2 2 cot mf — cot mp; cot fg == 2 cot^ — cot fp^ cot 171^ = 2 cot mx — cot my; cot wir = 3 cot twx — 2 cot /w/, cot m/ = 2cot mt — col mp; 4 ^* '"^ = 5cot /wf — cot mp;
donc
/?^ = 86«35', /wrf=63'> 34', 711^=1 34*43', /^ =34«>53',5, yw5=: 33°2o',5,/wr= 25*27', w/ =28*57', '^^ = 39*30'.
Si les axes percent la surface de la sphère de projection en XYZ , m/t' est le triangle polaire de XYZ ; YZ , ZX ,
XY sont les suppléments des angles de mv^, x^jm^jvni (n*» 226).
Les côtésyi', i^m, m/* donnes, déterminent /mt^=73**a5', fvm =yvm = 88^io',5, vfm = 97**58',5^
donc
YZ = 82"i',5, ZX = ioi°44', XY = 9i**49',5.
Soient a, i, c les paramètres du cristal *, puisque x a pour symbole (i 1 1)
a cos J?X = 6 ces xY = c ces a:Z ,
cos xX = sin xp sin xp/J cos j:Y = sin xp sin xpm ;
cos xZ = sin xm sin xm/*;
donc (n« 222)
abc
Déterminer les symboles des faces quand on prend pour axes cristallographiques Tintersection des zones mp^ pt , tm.
Les symboles des trois zones , rapportés aux systèmes
d'axes primitifs, sont (ooo), (m), (oio)^ donc (n^ 28), si tt, i', IV représentent les caractéristiques d'une face rapportée aux axes primitifs, et a , \f\ w' les caractéristiques de la même face rapportée aux nouveaux axes,
D'après cela les symboles des faces sont/i (on); m,(oio); ^ (loo); V, (no); w, (120); /, (no); ;;, (ooj); e, (021); o,(i42);y,(i2i);c,(i3i);3t,(iii);^,(ioi);/',(iii);/i,(iii);
229. Dans un cristal de sulfate de cuivre ( Jig. io3), les zones sont mntrm\ n»hoqwr\ rxpr\ mpvni^ npkn\ tpot\ txut\
Soient les symboles de h, (ooi); n^ (oio)-, u^ (loi);
m, (iio); on en conclura (n° 17) r, (100)5 P^ (^^ï)-
Si l'on mesure les distances des pôles r, u, fc, o, a, w, on trouve que si r, 1^, A, etc. représentent les pôles de r, Uj o, etc.,
cet rv — cet rA = — (cet ro — cet rX) = (cet rq — cet rk)
= — -T (cet rw — cet rX-);
donc (n^27) on alessymboles 0,(101)5 ^,(201); w,(3oi)*, puis (n^ 17) f,(iio)-, Xj (21 1). A, s^z (fig»io4) représentent les pôles de faces qui n'existent pas sur le cristal représenté {fig* io3). Les symboles de ces -faces sont : A, (210); 5, (111)5 ^^ (3'^)*
Etant données les distances /î< , fr, nk, pty pr^ déterminer la position des autres pôles, rï, m connus, déterminent rh (n** 26 ou 27)-, pt^ trj rp connus, déterminent ptr et prt 5 j}ty tn^ ptr connus, déterminent pn et pnt ; krij rOy pnt connus, déterminent kr et krn 5 km , ptry t.r connus, déterminent ro 5 kr^ rh^ krn connus, déterminent khr\ khr, prt y rh connus, déterminent rx 5 rxy rp connus, déterminent ry, rz (n^ 26 ou 27) ; rA', ro connus, déterminent de même fv, r^, nv.
Les valeurs des quatre distances angulaires qu'on a supposées propres à servir au calcul de la position des pôles «ont
nt = 3o«5i', tr= 69*50', nk == 109*» 38', pt = 52® 20', pr= 76** 33'.
Les trois cercles de zones rt^ rp, rk passent par tous les pèles du cristal 5 on connaît Tinclinaison réciproque des plans de ces cercles et la distance dé r à chaque pôle \ on peut donc aisément calculer la distance ' de deux pôles quelconques qui , dans un triangle sphérique dont on connaît deux côtés avec Tanglc compris, est opposée à cet angle.
SiX, Y, Z sont les points où les axes cristallographiques percent la surface de la sphère de projection,
XY= 180» — nkr; YZ = i8b*» — nrk; ZX = i8o« — Ânr,
Soient a^b^c les paramètres. Puisque les pôles b et p ont respectivement pour symboles (iio), (on), on a
(n^'âaa)
a ces fS. = b ces /Y; b cospY = a cospZ,
ces tX. = sin tn sin tnp; ces rY ==. sin tr sin trAy ces pY = sin pr sïnprA-; ces /?Z = sin pr sin prt^
donc
I sin /r sin rrX- i i sinprk
a sin tn ûntnp h c sin prt
