PROJECTIONS
278. La représentation graphique des cristaux est ordinairement la projection, surun plan, des arêtes formées par l'intersection de leurs faces^ cette projection se fait par des lignes parallèles à une droite donnée»
Puisque les longueurs des côtés ne sont soumises à aucune loi connue , il est inutile que les arêtes de la figure soient égales ou proportionnelles à la projection des arêtes d'un cristal particulier qui servirait de modèle.
Dans le cas dusystème rhomboédrîque, le plan de projection est ordinairement parallèle à un axe, et fait des angles égaux avec les deux autres ^ dans les autres systèmes , le plan de projection est ordinairement parallèle à deux des axes.
Les règles suivantes pour la représentation des cristaux n'ont pas besoin de démonstration.
279. Lorsque le plan de projection est parallèle aux axes OZ,OX, tirez la droite ZOZ^fig.iiS) inclinée sur XOX' d'un angle égal à celui des axes cristallographiques correspondants, et une ligne quelconque YOY' qui fasse avec les premières ZOZ', XOX', des angles de grandeur finie ; les trois droites XOX', YOY', ZOZ' représenteront les axes du cristal.
Qu'on prenne sur OZ, OX les longueurs OC,OA, proportionnelles aux paramètres c et a, et sur OY la longueur OB arbitraire 5 OA, OB, OC représentqroi^t les paramètres du cristal.
Dans le cas dusystème rhomboédrique^ soit FangleROC (fig'iiS) égal à Tangle que fait, avec un axe quelconque, la normale à la face (m); qu'on tire ensuite la droite CRS perpendiculaire à OR, et qu'on fasse RS = { CR ; que, par le point S, on tire la drrâte ASB indînée arbitrairement sur CS, et qu'on prenne sur AS6, de part et d'autre du point S, des longueurs quelconques égales SA, SB^ les trois droites OA, OB, OC représenteroni;les axes cristallographiques, et les longueurs OA,OB, OC les paramètres.
Lorsque la position du plan de projection est tout à fait arbitraire , les axes seront représentés par trois droites quelconques qui se rencontrent en un point,
280. Trouver les traces de la face (hkl) sur les plans qui passent par les axes.
Supposons que OA,OB, OC (fig* i35) représentent les paramètres. Qu'on prenne sur leur dir^çttiou respective les longueurs OH, OK, OL égales à
iOA, ioB, loC;
KJL; LH, HK seront parallèles aux traces de la face (hkl) sur les plans YOZ, ZOX, XOY. Lorsqu'une des trois ca-^ ractéristiques A, A, / devient zéro, l'axe correspondant est parallèle à deux des traces.
ÎÉ81 . Soient les côté^ des triangles HKL, PQR (Jig, 1 iy) parallèles aux traces de deux faces données sur les pUns YOZ, ZOX, XOY. Soient U,V, W les intersections de ces
traces; une ligue qui passera par deux de ces points rencontrera le troisième, et sera parallèle à l'arête formée par l'intersection des deux faces données.
àSi, parla méthode précédente, on trace des droites parallèles aux projections de toutes les arêtes d'un cristal , de manière que ces droites se rencontrent dans le même ordre que les arêtes elles-mêmes , la figure ainsi obtenue sera la représentation du cristal.
282. Construction du double système d'axes d'un cristal hémitrope.
Qu'on trace \^fig' i38 de manière que OU , OV, 0W représentent des longueurs proportionnelles aux segnrents interceptés sur les axes de l'un des cristaux jiar le^lan d'hémitropie , et que VOW, WOTJ, UO"V soient égaux aux angles YOZ, ZOX, XOY que ces axes font entre eux; des points C^jO'? O" ainsi déterminés, qu^'on abaisse sur les côtés correspondants du triangle UVW des perpendicu-^ laires qui se rencontrent enT, puis qu'on mène les drpites UTm, VTi^, WTw. Soient maintenant {fig. iSg) OX,OY, OZ la représentation des axes de l'un des cristaux ; U, V, W les points où le plan d'hémitropie rencontre ces axes; qu'on divise deux des côtés de UVW en segments proportionnels à ceux des côtés correspondants du triangïe UVW de la figure précédente ; qu'on joigne ensuite les points de division aux angles opposés par des droites qui se rencontrent en T; la droite OT représente une perpendiculaire au plan d'hémitropâe UVW. Qa'on prenne maintenant OCX =^ 2OT; aU, O'V, OW représentent les axes du second cristal.
Soit (uinv) 1 e symbole du plan d*hémi tropie-,qu'on prenne
O' A' = a X OU, O'B' = i' X O'V, OV = w X O'W,
(y A', CB-, CyC représentent les paramètres du second cristal.
Xtes axes et les paramètres une fois projetés, les faces des deux cristaux seront tracées au moyen des règles précédemment établies.
283. Le mode ordinaire de représentation des cristaux ne peut mettre en évidence la situation de leurs faces, la position des zones (ju'elles forment entre elles , l'espèce de symétrie qui se manifeste dans leur arrangement, aussi clairement que la figure de la sphère de projection , avec la position de chaque pèle rapportée sur sa surface. Cette méthode particulière de représentation a été imaginée par le professeur Neumann, de Kœnigsberg', elle a encore cet autre avantage, qu'elle permet d'employer exclusivement la trigonométrie sphérique pour rechercher toutes les propriétés géométriques des cristaux , sans qu'il soit nécessaire d'avoir recours à la géométrie analytique^.
Quand la sphère est figurée dans les systèmes de projec-r tion stéréographique ou gnomonique, beaucoup de problèmes de cristallographie peuvent se résoudre avec facilité par de simples cjonstructions géométriques^ Par ce motif, on a cru devoir exposer les principales propriétés des systèmes de projection stéréographique et gnomonique.
284. Représenter unie sphère en projection stéréographique , c'est rapporter, spr la surface j^lane d'un de ses grands cercles, les points et les cercles tracés sur la surface courbe de cette sphère , au moyen d'un systèilie de lignes de projection convergentes au pôle du grand cercle qu'où a choisi. Le plan de ce grand cercle prend le nom de plan du tableau , et , pour Fœil placé à son pôle , la projection stéréographique d'un point quelconque n'est autre chose que sa perspective.
285. Soit O (Jig* i4o) Ïg centre de la sphère qu'on veut représenter en projection stéréographique ; E, C les pôles du plan du tableau : l'œil est supposé en E; P', Q' sont
deux points choisis arbitrairement sur la surface de la sphère ; la droite EC perce leplan du tableau au point O, projection de C , et les droites EP, EQ' en P et Q, projections de F et Q'.
Soit r le rayon de la sphère ,
OP = rtangOEP = rtang^CF, OQ = r tang | CQ'.
Il est d'ailleurs évident que les anglçs QOP, Q'CF sont égaux.
Une droite tirée de E, à un point quelconque du grand cercle CP, perce le plan du tableau sur la droite OP^ donc tout grand cercle qui passe par les pôles du plan du ta-* bleau a pour projection stéréographique une droite qui passe par le centre du cercle compris dans ce même tableaii.
286. Soit Q' un point quelconque d'un cercle dont P. est le pôle et P, Q les projections de F, Q':
cos P'Q' = ces FC ces Q'C -h sin P'C sin Q'C ces Q'CP'
= ces P'C >- — ^ + 2 smP'C — ^4=rr cos OOP; /•^4-QO «-'H-QO
d'où
Q5'(cosP'Q'-h cos P'C) — 2r QO sin P'C cos QOP -h r» (cos P'Q' — cos P'C) = o.
Le point Q est donc si tué sur la circonférence d'un cerclo qui a sop centre sur la droite OP.
287, Suppqsons que le cercle donné rencontre CF eu M'N'; soient M, N les projections de M', N'^ M'N sera un diamètre de la projection stéréographique du cercle. Soit K le centre de cette projection \ on aura
2KQ = r [tangj (P'Q'4- CP') + tang j (P'Q'— CP')], 2R5 = r [lang | (P'Q'-f- CP') — tang i- (P'Q'— CP')].
Lorsque le point Q appartient à un grand cercle, l'are FQ' est égal à 90^^ donc
KQ = r séc CP', KO = r tang CF.
Lorsque le point Q' est situé sur un petit cercle qui a son centre dans le plan du tableau, l'arc CF est égal à 90^, donc
RQ = r tang P'Q', KO = r séc FQ'.
Ui^ cercle qui passe par E se projette evidenunent suivant une ligne droite.
288. Trace?* la projection d'un grand cercle qui passe par deux points dominés.
Soit Q {fig' i4i) le plus éloigné des points donnés P et Q5 soit tiré OE perpendiculaire à OQ et rencontrant en £ le grand cercle situé dans le plan du tableau^ EQ rencontre le même cercle en ^^ qO rencontre le même cercle en 5 •, E^ rencontre la ligne QO en S. Un cercle qui passe par les trois points S, R, Q sera la projection d'un grand cercle, car Q, S est la projection d'un arc égal à qs\ donc QS sont les projections des deux extrémités opposées d'un diamètre de la spbère 5 donc le cercle QRS est la projection du grand cercle demandé.
289. Étant donnée la projection d'iui grand cercle » trouver la projection de son pôle.
Soit GMH {fig> lA^ la projection du grand cercle qui rencontre en G, H la circonférence du cercle situé dans le plan du tableau et dont GH est un diamètre ; soit tirée par le centre O de ce dernier cercle , la droite MO perpendiculaire à GH^ et par G, M la droite GM qui rencontre sa circonférence en m ^ qu'on prenne l'arc mF= 90°, et qu'on tire la droite Gp qui rencontre en P la droite MO. P sera la projection demandée. En eifet, MPestla projec-
tion d'un arc de 90°, et G et H sont les pôles du cercle qui se projette suivant la ligne droite M. Par conséquent l'arc GMH, et le point P, sont respectivement les projections d'un grand cercle et de son p61e.
290. Si un grand cercle se projette en GQH, et son pôle en P (Jig* 143)5 si de P on tire les droites PR, PQ jusqu'à la rencontre de la circonférence du cercle situé dans le plan du tableau en y, r\ l'arc qr est égal à l'arc dont la projection est RQ^ car PQç^? PRr sont les projections de deux petits cercles qui passent par le pôle du grand cercle projeté en GQH, et par l'œil qui est le pôle de GyH.
Mais un petit cercle qui passe par les pôles de deux grands cercles intercepte évidemment sur chacun d'eux, des arcs égaux 5 donc l'arc rq est égal à l'arc projeté en
291 . Etant données les projections de deux grands cercles, trouver l'angle dièdre que leurs plans comprennent entre eux.
Soient GR, LR {fig* i 44) ^^* projections de deux grands cercles et de leur intersection R \ soient les projections de leurs pôles en P,Q, et soient tirées les lignes RP, PQ jus- ^ qu'à ce qu'elles rencontrent la circonférence du cercle située dans le plan du tableau en /7,<7. L'angle des deux cercles projetés en GR, LR est mesuré par l'arc pq -, car K est la projection du pôle du grand cercle dont la projection passerait par P, Q. L'arc pq mesure donc la distance angulaire des pôles des cercles projetés en GR, LR -, et par conséquent l'angle dièdre compris entre les plans de ces cîercles.
292. Soit O le centre du cercle situé dans le plan du tableau {fig> 145)5 MQ la projection d'un grand cercle MQ'; K le centre de ce cercle 5 G le pôle du cercle situé dans le plan du tableau^ CQ un grand cercle qui rencontrera MQ
LO — SDmSS = rii^Qm «B«K z=: r HN^^N^
sentera h pnîectioK de!^.
S3. Soit SQ la projectioii d^m aulrr $r««^ ctirx4<'
0(^ = 9C^ ~ SXî'C Mais
donc
KQR = MQ^.
L'angle dièdre compris entre les plans de deux giviiuU cercles est donc ^al à Fangle que font entre elle» Itvi^ piH>jections de ces cercles à leur point d^interscctioii«
294. Quand un cristal appartient au sptème iH'Ui^drique, on peut choisir potu" plan du tableau de la «pluNrt^ de projection, soit le plan du cercle de sone qui pasmo \mm les pôles de deux faces adjacentes de la forme {oi 1 1 , noit
le plan du cercle de zone qui passe par les pôles de denx faces adjacentes de la forme { 100} . Quand le cristal appartient au système pyramidal ou prismatique ^ le plan du cercle de zone qui passe parles pôles (100), (010) convient mieux que tout autre pour plan du tableau. Lorsque le cristal dépend du système rhomBoédrique , le plan du tableau doit être celui du cercle de zone qui passe par les pôles de {01 1 } . Lorsque le cristal appartient au système prismatique oblique , le plan du tableau doit passer par les pôles (ooi),(ioo).Lorsqu'enfinlecrîstal dépenddusystéme prismatique oblique non symétrique, le pland^un cercle de zone quelconque peut servir de plan du tableau.
295. Mettre en projection stéréographique les pôles d'un cristal d'axinîte (fig* 100). On donne
mp = 45® 1 2', pf = 44® 43 j '^^ = 49" 32',
/wj=r79° 24', fx = 64«> 57'.
Soit le plan de la zone mp {fig* loi) choisi pour plan du tableau; soient O le centre, rie rayon. Qu'on fasse
mp = 45° 12', >?/ = 44° 53' ,
€t qu'on tire les diamètre smOrnl ^pOp\JOf \ qu'on prenne isur Qfla longueur
0K= rséc64« 57', «t sur Om la distance
OL = r séc 49** 32',
«t des centres KL, qu'on décrive successivement avec les rayons
Kx =r r tang 64** 57', Ljc =r r tang 49° 32',
des cercles qui se coupent en x. Qu'on décrive ensuite les cercles mûôhi\pxp\fxf^] qu'on lire OM perpendiculairement à Om jusqu'à la rencontre de mxm! en M; m'M rencontre le cercle situé dans le plan du tableau au point M'; qu'on prenne l'arc
et qu'on tire m' N' jusqu'à la rencontre de OM au point N. Sur mpm^ qu'on prenne
