Nous venons de voir qu'un corps se meut unifor

( *) On trouvera dans PEncjclopëdie , au mot Fobce , plusieurs autres réflexions sur le principe de la force d'inertie \ comme elles n'appar* tiennent' pas immédiatement à notre sujet | nous 7 renroy ons le lecteur.

to TRAITE

moment et en ligne droite , quand aucune cause étrangère n'agît sur lui. D'où îl s'ensuit que le même corps peut-encore se mouvoir uniformément , lorsque deux causes étrangères agissent en même-temps et également, l'une pour accélérer , l'autre pour retarder son mouvement. (C'est ainsi , pour le dire en passant, que les corps qui tombent parviennent à se mouvoir uniformément, lorsque la résistance du fluide où ils se .meuvent tend à diminuer leur mouvement , autant que leur pesanteur tend à l'augmenter). Dans tout autre cas, le mouvement est nécessairement accéléré ou retardé,

10. Si deux parties quelconques jdB , ACC¥ig. 2 ) d'une ligne indéfinie ^O, représentent deux portionsdu tems écoulé depuis le commencement du mouvement , et les WgnesBD, CE, les espaces parcourus durant ces tems par un corps dont le mouvement est uniforme, les points D,E 9 seront à une ligne droite ADE.

Car, puisqu'un corps qui se meut uniformément parcourt des espaces égaux en tems ^aux , les points D,E, doivent être à une ligne telle , que si on prend AB ,BC égales entr'elles et quelconques, on ait toujours BD=FE. Or cette propriété n'appartient qu'à la ligne droite. Donc , etc.

Corollaire.

11. BDiCE :: AB : AC. C'est-à-dire que dans le mouvement uniforme , les espaces sont entr'eux comme les tems employés à les parcourir.

DE DrN.AMIQUJE. ii

Remaeque sur la mesure du tems.

1 2. Comme le rapport des parties du tems nous est inconnu en lui-même , l'unique moyen que nous puissions employer pour découvrir ce rapport , c'est d'en chercher quelqu'autre plus sensible et mieux connu » auquel nous puissions le comparer \ on aura donc trouvé la mesure du tems la plus simple , $i on vient à bout de comparer de la manière la plus simple qu'il soit possible^ je rapport des parties du tems > avec celui de touls les rapports que Tça connoit le mieux. De là il résulté que le mouvement umforme est la mesure du tems la plus simple. Car, d'un côté, le rapport des parties d'une ligne droite est celui que nous saisissons le plus facilement; et d« l'autre, il n'y a point de rapports plus aisés à comparer entr'eux, cpje des rapports égaux. Or dans le mou* vement uniforme, le rapport des parties du tema est égal à eelor des parties correspondantes de la Ligne parcourue. Le Bioiivemeiit unilbrooe nous donne donfc tout à la fois k moyen , et de comparer le rapport des parties du ten» au rapport qui nous est le plus sensible, et cjp faire cette comparaison.de la manière la plus simple; noua trouvons doue dans le mou^eâaeât imiforjKie, kt mesure la plus «impie du temsw

Je dis outee cela, que la mesure du tems par le mou* vement uniforme, est , indépendamment de sa simplicité, celle dont, il est le plus naturel de penser àr se servir. En efiet, comme il n'y a point de rapport que nous» cou^

Bij

noissîons plus exactement que celui des parties de l'es-* pace, et qu'en général un mouvement quelconque dont la loi seroît donnée , nous conduîroit à découvrir le rapport des parties du tems , par Tanalogie connue de ce rapport avec celui des parties de l'espace parcouru; il est clair qu'un tel mouvement seroît la mesure du tenas la plus exacte , et par conséquent celle qu'on devroit mettre en usage préférablement à toute autre. Donc , s'il y a quelque espèce particulière du mouvement , où l'analogie entre le rapport des parties du tems et celui des parties de l'espace parcouru , soit connue indépendam* ment de toute hypothèse , et par la nature du mouvement même , et que cette espèce particulière de mouvement soit la seule à qui cette propriété appartienne , elle sera nécessairement la mesure du tems la plus naturelle» Or il n'y a que le mouvement uniforme qui réunisse les deux conditions dont nous venons de parler. Car [art. 6) le mouvement d'un corps est uniforme par lui-même: il ne devient accéléré ou retardé qu'en vertu d'une cause étrangère, et alors il est susceptible d'une infinité de loix différentes de variation. La loi d'uniformité , c'est-à-dîre l'égalité entre le rapport des tems et celui des espaces parcourus 9 est donc une propriété du mouvement considéré en lui-même. Le mouvement uniforme n'en est par-là que plus analogue à la durée , et par conséquent plus propre à en être la mesure, puisque les parties de la durée se succèdent aussi constamment et uniformément. Au contraire, toute loi d'accélération ou de diminutiott

DE DTNJMIQUE. i3

dans le mouvement , est arbitraire , pour ainsi dire , et dépendante de circonstances extérieures. Le mouvement non uniforme ne peut être par conséquent la mesure naturelle du tems; car» en premier lieu» il n'y auroit pas de r^son pourquoi une espèce particulière de mouvement non uniforme , fôt la mesure première du tems plutôt qu*une autre : en second lieu, on ne pourroit mesurer le tems par un mouvement non uniforme , sans avoir découvert auparavant par quelque moyen particulier Tanalogie entre le rapport des tems et celui des -espaces parcourus» qui conviendroit au mouvement proposé. D'ailleurs» comment connoître cette analogie autrement que par rexpérience?et Texpérience ne supposeroit*elIe pas qu'on eût déjà une mesure du tems fixe et certaine ?

Mais le moyen de s^assurer, dira-t-on » qu'un mouve* ment soit parfaitement uniforme ? Je réponds d'abord , qu'il n'y a non plus aucun mouvement non uniforme dont 120US sachions exactement la loi , et qu'ainsi cette diffi-* culte prouve seulement que nous ne pouvons connoître exactement et en toute rigueur le rapport des parties du tems; mais ilne s'ensuit pas de là, que le mouvement uniforme n'en soit par sa nature seule» la première et la plus simple mesure. Aussi ne pouvant avoir de mesure du tems précise et rigoureuse» c'est dans les mouvemensà peu près uniformes que nousen cherchonsla mesure au moins approchée. Nous avons trois moyens de juger qu'un mouvement est à peu près uniforme; i^. Quand le corps

qui se meut et parcourt des espaces égaux , dans des tems que nous avons lieu de juger égaux ; et nous avons^lieu de juger les tems égaux ,. quaml nous avons observé par une expérience réitéréei qu'il se passe durant c«s teœs des tSets semblables ^ que nous avons lieu de juger devoir durer également loc^-tems. Ainsi nous aive»s lieu de jugeir que hs tems qu'une même clepsydre met à se vuidersont égaux. Si donc pendant ces ten&un coq)s -parcourt des espaces égaux ^ nous «roua lieu de juger que son mouvement est uniforme. 2^..Quand nous acvons Ueu de croire que lefïet de la cause accélératrice ou re<* tardktrice^ s'il y en a une ^ ne peut être quInsemiUe. C'est par la réunion de ces édm mc^^isqu'oa a ^lagé que le mouvement de la terre autour de soq axe est uni-* forme , et cette supposition non-seulement n'est poitijt contredite par le&autres phéooaiènes célestes^ raàts elle paroitmêmc s'y accorder parÊiitement 3^ Quand nous comparons le mouvement d(mk il s'agit à d'autres mou*vemens.^ et que nous observons la même loi dans les un& et les autres. Ainsi> si phisieurs. corps se meuvent ^ dfe manière que les espaces qu'ils parcourent durant un même tems soient toujours entrent ou exactement 9. on à peu près>dansle même rapp(Dirt^on juge que Leœou*veiiaieni; de ces corpxest ou exactem^nt^ out aur mMrns.à très-peu près uniforme.. Car si un. corps A qui se noeiut umformémeot parciMirt Fespace E dusant le tems> T'pris à volonté ^ et qu'mi: autre CjG)rps..£f> se mouvant aussi unir fbrmément,. parcouse L'espace e pendant le même tems

DE DYNAMIQUE. i5

T, le rapport des espaces E, e , sera toujours le même soit que les deux corps aient commencé à se mouvoir ^ dans le même instant ou dans des instans différens ; et le mouvement uniforme est le seul qui ait cette propriété* C est pourquoi si on divise le tems en parties quelconques égaies ou inégales à volonté ^ et si on trouve que les espaces parcourus par deux corps durant une même partie de ce tems , sont toujours dans le même rapport, plus le nombre des parties du tems sera grand , plus on sera en droit de conclure que le mouvement de chaque corps est uniforme*

Aucun de ces trois moyens n est exact dans la rigueur géométrique; mais ils suffisent, sur-tout quand ils sont; répétés et réunis , pour tirer une conclusion valable , sinon sur l'uniformité absolue, au moins sur Tuniformité très-approchée.

i3. Un corps qui se meut uniformément est dît se mouvoir d'autant plus vUe , que l'espace JBZ> qu'il parcourt dans un même tems AB^est plus grand; de sorte que si BDy Bd, sont les espaces parcourus uniformément par deux corps dans le même tems AB^ on dît que les vitesses de ces deux corps sont entr elles comme BDkBd.

Corollaire.

Donc en général les vitesses de deux corps sont entr'elles

i6 TRAITÉ

comme les espaces BD ,Ce qu'ils parcourent dans des tems quelconques , ces espaces étant divisés par les tems employés à les parcourir (i).

La vitesse d'un corps mû uniformément, est donc en général comme ^espace divisé par le tems. La vitesse ne renfermant qu'une idée relative , n'a point de mesure absolue» ou ne juge point de la vitesse d'un autre corps. Ainsi cette manière de parler, si commune chez les Mécaniciens, que la vitesse est égale à V espace dmsé parle tems, n'est qu'une expression abrégée pour dire que les vitesses de deux corps qui se meuvent uniforme-* ment , sont entr'elles comme les espaces que ces corps parcourent , divisés par les tems qu'ils employent à les parcourir: expression qu'il faut entendre elle-même dans le sens expliqué pat la note.

Du moui^ement accéléré ou retardé.

i5. Si les lignes BD, CEjQ Fîg* 3 et 4. ) représen-

(i) L'espace et le tems étant des quantités de nature différente, ainsi qu'on l'a remarqué dans le discours préliminaire, on sent bien qu'on ne peut diviser l'espace parle tems. Âin8Î,quand on d it que les vîtesses sont comme les espaces divisés par les tems , c'est une expression abrégée qui aignifie que les vîtesses sont comme les rapports des espaces à une même commune mesure , divisés par les rapports dçs tems à une même commune mesure ; c'est-à-dire que si on prend , par exemple , le pied pour la mesure des espaces , et la minute pour la mesure des tems, les tî* tesses de deux corps qui se meuvent uniformément sont entr'elles comme les nombres de pieds parcourus divisés par les nombres de minutes employées aies parcourir, et non pas comme les pieds divisés par les minutes. Vojez l'Encyclopédie à la fin du mot Équation»

tant

DEBTNAMiqUE. 17

tant les espaces parcourus pendant les tems AB^ A C, ne sont pas à une ligne droite, mais à une courbe ADE^ alors le mouvement n'est plus uniforme, mais il est ac« céléré ou retardé , selon que la courbe A DE est con* vexe ou concave yersACj car si le mouvement est accéléré, par exemple , les espaces DX^ PE (Fig. 5. ) parcourus dans des tems égaux ^Q, J?C, sont crois- «ans; ensorteque PE est > DJL;ce qui ne sauroit être à moins que la courbe ADE ne soit convexe vers AC. Cette variation continuelle ne peut provenir ( art. 6. ) que de quelque cause étrangère qui agît sans cesse, pour accélérer ou retarder le mouvement.

La vitesse du corps mû change alors à chaque iîistant, et ne peut avoir, comme dans le mouvement uniforme, une quantité constante pour mesure. On conçoit seulement que son expression pour un instant donné, doit être ^i même qu'elle seroit, si dans cet instant le mouvement cessoit d'être accéléré ou retardé. Supposons donc, par exemple, que le mouvement du corps soit accéléré > et qu'à l'instant même où le corps finit de parcourir latligne BD, il vienne à se mouvoir uniformément avec la vitesse qu'il a en 2?; il est clair , i^ que les lignes TJZ , P N { Fig. 5. ) représentant les espaces qu'il décriroit alors dans des tems finis quelconques BM, B C , seroient terminés par une ligne droite ZJiNT; 2°. que ces lignes PiV, T2ê , doivent être plus grandes que les espaces Zî X , Dx ^ qu'il a parcourus précédemment dans des tems B m = B Mj et BQ= BC; 3"". que

i8 TRAITE

ces mêmes espaces P./V, TZ doivent éire plus petits que les espaces PE , TG, qu'il auroit parcourus dans les tems^C, BM , si son mouvement avoit continué à être accéléré. Or pour cela il faut que jDiV soit tangente (2). On démontrera la même chose dans le cas du mouvement retardé ; d*où il s^nsuit, en général , en tirant la tangente DN , que PlSf seroit Fespace que le corps parcourroit dans le tems ^C au lieu de PE.

Dans ce cas ( art 14) -^^ exprimeroît sa vitesse; or

le rapport de PiV" à DP, est le même que celui de Félément deBDk l'élément de ABj parce que DJ^f est tangente. Donc si on nomme en général /^ le tems ^ e iespace correspondant parcouru par le corps 9 u la vitesse à la fin du tems t , on aura u = -jt-^

Si on prolonge la tangente DN { Fig. 3 et 4.) jusqu'à ce qu elle rencontre AB en F; B F exprimera le tems que le corps employeroit à parcourir uniformément BD avec la vitesse qu'il a au point Z?. Donc si par le point A on tire A d parallèle à FD; Bd sera Fespace

(a) U est visible qa'on ne peat supposer 4|ue le corps dérive par son mouvement uniforme un espace P Oplus petit que Pespace P.^ terminé par la tangente D N; car P O seroit alors plus petit que D'Xj puisque POzsL Djr. On ne peut supposer non plus qu'il décrire un espace P R plus grand que PN^ car alors on pourroit toujours supposer le point T tellement placé, que l'espace TG' parcouru uniformément pendant le teins D T£ût plus f^tanà que Tespace TG terminé à la courbe , ce qui ne se peut.

que ce même corps parcourroit uniformément avec cette même vitesse àxa% le tems AB.

On voit par-ià {Fig.3) que si ADEf par exem*pie, «st une parabole, c>st«à-dipe 9 si les espaces BD ^ CE sont entr'eux comme ies quarrés des tems, on aura AB = 2BF;etBd= a B D.

CoaOLLAIKE I.

i6. Les espaces NE j ne » sont les espaces qnp lé corps parcourt pendant les tems J?C« .Se,. de plus ou de moîns.que les espaces PN,pn qu'il eût parcourus uniformément avec la vitesse qu'il a en D. Or si on suppose les tems BCjBc, îo6niment petits, les ligne* NE jne, sont entr elles comme le quarré de J5 C au quarré de Bcu Car Tare DE k cause de sa petitesse infinie, peut être regardé comme un arc de cercle ; or soit DN { Fig. 6 ) la partie infiniment petite de la tangente d*un "arc de cercle ; et par le point iV^ et im autre point n quelconque de cette partie, soient tirées à volonté les parallèles NQ,nq} on aura par la propriété un cercle NE'x NQ = DN* ;néXn(f =Dn^ ; et à cause que les lignes nq ,NQ doivent être regardées comme égales, on aura NE : ne :: DN*x Dn^. Qr i¥Tg.3€t4)DN:Dn:*.BC:Bc,et par conséquent en général NE: ne.:: BC* : jBç\

GoROLLAmE II.