Puisque {art. i5) d^--i — , on aura 'à cause

de </r constant, dde^diidt ; donc léiijuatîon précédente çrff*=+;rfâ?ôse changera ^n celle- cî ç ^f = -f duj ou^ûfe = +^udiu

Remarques sur les forces accélératrices ^ et sur la ^ cQPipoTMson de ^Qes Jprces erUr elles.

22. Le mouvement uniforme d\m corps né petrt être altéré que par <]U€lque cause étrangère. Or de toutes les causesysoit occasionnelles, soit immédiates, qui influent dans le mouvement des corps , îl n'y à tout au plus que l'impulsian seuledont noqs soyons en état de déterminer Vtffet ôar la->seuf e^x)h<^oi!^Bance de fa cause , comme on le verra dans la sèfconde partie de cet ouvrage. Toutes les autres causes nous sont entièrement inconnues: elles ne peuvent par conséquent se manifestera nous, que par

DE DFNAMIQUE. a3 1 effet qu'elles produiseiat en accélérant ou retardant le mouvement des corps, etnous ne pouvons les distin^er les unes des autres qoe par la; k)i et la grandeur connue de leurs effets , c'est-à-dire^ par la loi et la quantité d^ la variation qu'elles produisent dans le mouvetnent. Donc» lorsque la cause est inconnue^ ce qui est le seul cas dont il soit question ici , Téquation de la courbe A DE doit être donnée immédiatement > ou en termes finis^ ou en quantités différentielles. L'équation est donnée ordinairement en différences, lorsque le ndouvement est accéléré ou retardé suivant une loi arbitraire et de pure hy* pothèse. Elle est au contraire donnée çrdinairemefit ein termes finis, quand la loi du rapport des espaces aux tenjs est découverte par rexpérience. Ainsi , supposons que la puissance qui accélère spit telle que le corps reçoive continuellement dans des instans égaux des degrés égaux de vitesse; alors dt étant constant >Q/^4e serar aussi > et par conséquent <p sera une quantiiè.<jônstânt^ti tien f dt:=^ du sera en ce cfta dopské^ ipraiédiAtea^eni par hypothèse. Supposons ,au (ion traire^ que dans) mfcss particulier on découvre par l'expérience que les espaces finis parcourus dirais le commencenoent du lûouve* ment y sont comme les quarrés des femk étnpfèyés à lès

parcourir, l'équation^ de la Courbe uiDdE sera e = -^^ ^ a étant 1 espace parcouru pendaqt un tems constant quelconque Tj cToù l'on tire dde=-~- et duT, >f#i-. On v<Ht paF4à*que dans cette rappositiçri les accroisse-^

mens de vitesse à chaque instant sont égaux , ce qu*on

exprime autrement en disant que la force accélératrice

(^ est constante; ainsi 9 dans ce cas et dans d autres sem«

blables, les-équatîons difïërentielles ^^/» ^^dde^

pdt^ ±^du^ se tirent de Féquation donnée de Ja

courbe ADEen termes finis.

* Il est donc évident que quand la cause est inconnue »

^équation ^dt = +^ du est toujours donnée (5).

- La plupart des Géomètres, présentent sous un autre

point de vue Téquation (p dt = du entre les tems et le»

vitesses. Ce qui n'est, selon nous , qu'une hypothèse, est

érigé par eux en principe^ Comme Taccroissement de la

( 5) On vient de voir que de quelque manière que le mouvement soit accéléré ou retieirdé, T^quation différent îo-di£Féreotîel le de la courbe sera

tQuÎpurs.dc^ cette forme + ^<^^^=^^** Or si on veut faire usage de cette éqiMition ^ ainsi que des équations ^if/=:-j-<fuet^(fff = -|-u du pour deferminer'dans un mouvettient quelc6A)que la relation entre i«; tjC, il-fi^l^b^Anoître ^ , et Ton pourroit pemelr'qufi pour cet effet la connoitr sjiinceçle la cau^e qui accélèreou retarde le mouyement seroit néeessaire; l'objet de la remarque est de faire voir que non , mais que ^ est toujours donnéparla définition même de l'espèce de mouvement dont il est question) ainsi, conformément à cette même remarque, quand on voudra faif e usage des équations^ dt* = 'jrdd ej^dt:=:^+du et^ dâ^: + udu pour déterminer la relation des espaces , des vitesses et des tems dans un mouvement don t la loi sera donnée , iUafiira de substituer dans ces équa* lions h la place de ^ une quantité propre k exprimer la loi suivant laquelle on supposera que se font les augmentations ou diminutions de vitesse: quand on supposera, par exemple, que les diminutions instantanées de vitesse sont comme les quarrésdela vitesse, on éetiragu^dtzz — du, gu^dé zz'^udu (pétant un coèffict«at constant), et iiinsi du reste.

vitesse

vitesse est TefFet delà cause accélératrice, et qu'un effet , selon eux, doit être toujours proportionnel à sa cause , ces Géomètres ne regardent pas seulement la quantité^ comme la simple expression du rapport duk dt; c'est de plus, selon eux, l'expression de la force accélératrice, à laquelle ils prétendent que du doit être proportionnel, i/^ étant constant; de là ils tirent cet axiome général, que le produit de la force accélératrice par l'élément du tems est égal à l'élément de la vitesse. M. Daniel Bernouilli , (Ment de Pétersb. T. T. ) prétend que ce principe est seulement de yénié contingente, attendu qu'ignorant la nature de la cause et la manière dont elle agit , nous ne pouvons savoir si son effet lui est réellement proportionnel , ou s'il n'est pas comme quelque puissance ou quelque fonction de cette même cause. M. Euler , au contraire, s'est efforcé de prouver fort au long dans sa mécanique, que ce principe est de vérité nécessaire. Pour nous , sa ns vouloir discuter ici si ce pr jnCT^ ^^^ ^^ ^^rît^ nécessaire oj^^

l e prendre pour un e dé finitionj ^^et d'entendre seulement par le mot de force accélératric e , la quantité à laquelle l'accroissement de la vitesse est proportionnel. Ainsi au lieu de dire que l'accroissement de vitesse à chaque instant est constant, ou que cet accroissement est comme le quarré de la distance du corps à un point fixe, ou etc. nous dirons simplement pour abréger et pour nous con« former d'ailleurs au langage ordinaire^ que la force accé* jératrice est constante, ou qu'elle est comme le quarré

de la distance , ou etc. et en général, nous ne prendrons jamais le rapport de deux forces que pour celui de leurs effets , sans examiner si Feffet est réellement comme sa cause , ou comme une fonction de cette cause: examen entièrement inutile, puisque reflfet est toujours donné indépendamment de la cause, ou par expérience, ou par hypothèse.

Ainsi nous entendrons en général par la force motrice le produit de la masse qui se meut par Télément de sa vitesse, ou, ce qui est la même chose, par le petit espace qu'elle parcourroit dans un instant donné en vertu de la cause qui accélère ou retarde son mouvement; par força accélératrice, nous entendrons simplement 1 élément de la vitesse. Après de pareilles définitions, il est aisé de voir que tous les problêmes qu'on peut proposer sur le mouvement des corps mus en ligne droite, et animés par des forces qui tendent vers un centre, ou exerçant les uns sur les autres une attraction mutuelle suivant une loi quelconque, sont des problêmes qui appartiennent pour le moins autant à là géométrie qu à la mécanique, et dans lesquels la difficulté n'est que de calcul, pourvu que Je mobile soit regardé comme un point.

On imagineroit peut-être que lequation ^dt = +^du regardée, non comme hypothèse, mais comme principe^ seroit au moins nécessaire pour calculer les effets dont les causes sont connues, comme l'impulsion, surtout quand cette impulsion consiste en de petits coups réitérés. J'espère qu'on verra dans la seconde partie de

cet ouvrage, que non-seulement ce prétendu principe est encore inutile dans ce cas, mais que 1 application en est insuffisante et pourroit même être fautive.

R E M A B QM E IL

28. Il n'est pas inutile de remarquer que quand on a d'abord Téquation entre e et f en . termes finis , et qu'on en tire par la difFérentiation à IWdinaire Téquation dde = ^ dt* 9 la, vaittir de dde qu on trouve par ce calcul e.st précisément celle de O ^ , véritable diffé-> rence seconde de B D; on pourroit d'abord douter (6),

' (G) H suffit pour former ce doute de se rappeller le principe d'après lequel on trouve les différences secondes. Supposant AM^zt[ Fig. 8* ) et MP^z une fonction de / que je représente par ^ ( ^) ; pour avoir ID on suppose que t devienne < + df /, et alors BD étant =i^(/+i^/), on a ID^^{t-\-dt)'-^^{t) en négligeant les quantités infiniment pe* tJtes du second ordre et des ordres ultérieurs. Ensuite pour avoir £0 oa suppose dans la valeur de ID que / devienne / -|-<f /, et on néglige d£^ns ce calcul les quantités infiniment petites du troisième ordre et des ordres ^ ultérieurs pour avoir la valeur de R E^ ensorte qu'on prend pour dde la différence entre cette valeur de 22 £7 et celle qu'on a trouvé pour /1>» Mais il faut remarquer que puisque dans la valeur de / D on a négligé les quantités du second ordre, cette omission peut influer sur la différence cherchée des lignes ID» RE, laquelle différence est infiniment petite du second ordre^ par conséquent on n'est en droit de conclure que OE est égal à la valeur de xfiftf , qu'autant qu'on aura fait voir que l'omission^ dont il s'agit, ne produit dans le calcul qu'une erreur infiniment petite au-dessous du second ordre.

Pour y parvenfr nous allons d'abord démontrer un e proposition qu^ notre auteur a d^ng^ dans ses recherches sûr le système du monde. Soit f

+ {) unefonction.de z4-|j {étant unequantité très-petite donton suppose que ;;augmen^e, on auraf(x 4-0=3^(2) -{- S A (z)-| LZ-+etc

a8 TRAITÉ

vu la nature même du calcul dilFérentiel, si la valeur de (ide trouvée par cette difFérentiation représente vé*rîtablement OjB, ou quelque autre ligne, par exemple JVE. Mais on peut se convaincre par le calcul même que la quantité trouvée çdt* est égale kO E.

RsMuiMquE II L

24. Nous avons vu ci-dessus {art. i5) que quand les espaces parcourus sont comme les quarrés des tems cor-

A(z) étant le coefficient de dz dansladifii^rentlation de ^(z)9etr(z)celui de dz daûs la différentiation de A (z). Car si on suppose f{z^i)z=:p(z) •)- u et qu'on différentie en supposant z constant ( ce qui est permis icl^ puisqu'on suppose que z ne croît actuellement que de la quantité () on aura dlA(^z + {)= du; soit A (z + l) szA (x) + r^ on aura dirÇ^z+i^szdr; soit r (2 +?) = r (x)+^9on aura din(z'\'i^z:^dsy donc en continant de la même manière, on aura éHz+i)=f (z) +/diA {z)+fdi/dlriz)+/difdifdin (z) etc.

Cela posé, MP étant = ^ (t) on a

DoncJD=:<f/A(0+ ^^'^(0

REzzdtA{t) + ldt*r{i)

EE^^ID ou~a£ou — rfrftfs=rf/*r(<).

Mais par les méthodes ordinaires du cakuldiffiérentielyOïi aurait

ID=zdtA(t)

REz=:^dtAll+di)=:diA{t)'^dl^r(^i)

donc m?—- ID ou — O £ ou *— dde = dt* V (<)•

Donc le ddc que donne le calcul diffi^rcAtiel n en effet la vraie faleur de OB.

reepahdan6f un corps qui parcourt un espaeeiJE' dam le tems T» parcoufipit uniforaiément daas le même tems l'espace 2 E avec I9 vitesseiqu^ila à l'extrémité de i'est pace J?. Or queUe que soit la puissance accélératrice ou retardatrice , les espaces ne, NE parcourus en vertu de cette puijSsaGHce». durant les instans Bc-i'BCy sont entr'eux comme les qudrrés. de ces instans. D'où il s'élit suit que dans la courbe pol}/^oneyO£ ou dde^tsL^N'E considérée comme TefFet de la puissance accélératrice ou retardatrice , doit être regardée comme parcourue d un mouvement uniforme avec la vitesse infiniment petite que le corps a acquis à la fin de Tinstant JBC Oq voit par-là de quelle manière on peut rédusire àdn mqtk4 vement imifi>rme l'effet instantané de la puissance qui accélère ou qui retarde le naou vement.

ReMjéequjsIJ^.

25* Dans la courbe polygone les effets de la force accélératrice pendant les instans Bc,BC {jfig.7*) sont représentés par les lignes O'Ef ,0E ; ces espaces (y E9OE sont évidemment entr'eux comme les tems B CjBC^ à cause des triangles semblables D E' Cy, DEO;€t cette poposition sert à confirmer ce que nous venons de remarquer, que Pespace OE est censé paicouru uniformément pendant le tems BC; car quand les espaces CXE', O jBsont entr'eux comme les tems jBc, B C employa à les parcourir 9 le mouvement est uni-* ibrme.

3o T R A IT É^ .

.Pe là ityensuit que puisque dans la Gcmrbe poly^ne J'effet de Ja puissance accélératrice e^t représenté par un mouvemenl uniforme, on ne doit pornt supposent dans cette hypothèse que la vitesse du corps s'accélère par degrés pendantrinstaut ^ C» mais qu'au commencement de cet instant BC^ lorsque le corps a parcouru l'espace RD , sa vitesse reçoive brusqueoïent etcomnfie d'un seul coup toute laugmetitation ou la diminution qu'elle ne doit réellement avoir qu'à la fin de Tinstant ^C

Pour confirmer celte remarque, on peut observer que T E'^RE {^jig^ 8.). sont les espaces que le corps parcouft réellement durant les instans Bc , BC, dan$ l'hypothèse de ia courbe polygone ; que ces espaces sont parcourus uniformément , puisqu'ils sont entr'eur comme les tems JBc, BC; qu'ainsi la vitesse pendant l'instant B C est censée uniforme, et qu'elle est à la vitesse dans l'instant précédent B M comm^ RE est à ID. D'OÙ il s'ensuit qu'au commencement de l'instant BC^ la vitesse change brusquement , suivant Je rapport

deREkID.

AM.Ç<^il<^rairQ dans la courbe rigoureuse ,, les effets de la puissance; accélérât riéCî ou retardatrice pendant les instans Bc^BC^ sont représentés par ne,NE{ Jig. 7 ) et sont entr'eux , comme les quarrés de ces instans ; dans ce cas la vitesse est censée s'accélérer ou se retarder uniformément pendant tout le cours de l'instant BCj en vertu de la puissance accélératrice , qui est censée donner au mobile pendant cet instant une suite de petits