THÉ O R Ê M E

'^ 46. Si deux corps dont les vitesses sont en raison

(*) L'ouvragç de.^. Maq-fjfiurin >^ q^uia pçur titre,. ^4! Treatifeof fluxions ^^ élé publié a Pocc.asîon d'un livre anglais intitulé The Ana^ lyat , eiô» contre laî tîéftîtiiîdfe dek Mathématiques, et dont là plupart dea argumens sopt contre la tnitfaode dev infiniment petit»»

(**) Voyez VE/icjyciopéiiie.^SiviitmoUl>iFVtiiiZlxn:llRL,etFLVXXOH. La métaphysique du calcul différentiel est expliquée dank le preiijîer de ce«arlîele», d\ii}e çianîcre ijarire doit^lmsler aucune'dtttcnlt^.

DE DFNAMIQUE, 5t

mçerse de leurs masses ^ ont des directions opposées , de telle manière que î^ un ne puisse se moui/oir sans déplacer Tautrç y il y aura équilibre entre ces deux corps*

Premier cas.

1®. Si les deux corps sont égaux et leurs vitesses égales, îi est évident qu'ils resteront tous deux en repos. Car il H'y a point de raison pourquoi Tun se meuve plutôt que Fautre dans la direction qu*il a; daiileurs il est clair par l'article 36 , qu'ils ne peuvent se mouvoir dans une direction contraire. Donc, etc.

Je suppose ici , afin que la démonstration ne souffre aucune difficulté, que les deux corps soient non-seulement égaux, mais encore parfaitement semblables , que ce soient par exemple deux globes, deux parallélépipèdes rectangles , etc. Nous verrons plus bas {art. Sj) la démonstration du même théorème dans le cas où les corps ne sont pas semiblables.

SECOfTDCAS.

Si l'un de ces corps Testaiit dans le même état, on augmente du double la masse de l'autre , et qu'on diminue sa vitesse de la moitié, il y aura encore équilibre. Car on peut regarder (art. 3o) la vitesse du petit corps comme composée de deux vitesses, égales chacune à la vitesse du grand ; et la masse du grand , comme composée de deux masses égales, animées chacune de la même vitesse. Donc à la place de chacune des masses propo-

Gij

sées , on peut imaginer dé chaque côté deux masses égales animées de vitesses égales. Or dans cette der-# nière hypothèse il y auroît équilibre ( cas i ). Donc^ etc»

On peut encore démontrer cette proposition de la manière suivante. Soit m la masse du petit corps, 2 m celle du grand; u la vitesse du grand corps et par conséquent 2 u celle du petit. Je regarde la masse 2 m dû grand corps comme composée de deux masses ^/^ , /»% égales chacune à la masse du petit; et au lieu de supposer chacune de ces deux masses w, m\ animées de la vitesse «, je suppose, ce qui revient au même, que la masse antérieure m\ celle qui touche le petit corps, soit animée de la vitesse 2 u en avant , et de la vitesse. ^ — u en arrière , tandis que la masse postérieure m conserve sa vitesse u. Il est évident que la masse m' animée de la vitesse — u doit faire équilibre à la masse égale m animée de la vitesse u. Donc il ne restera que la masse m' animée de la vitesse 2 //, laquelle fera équilibre {cas 1.) à la masse du petit corps m aniiliée delà vitesse 2 i/. ,

Dans ce second cas, et dans les deux suivans, ainsi que dans les corollaires qui en seront tirés, je suppose, afin que la démonstration ne souffre aucune difficulté, que les corps soient deux parallélépipèdes rectangles de bases égales et semblables, et de différente longueur, qui se choquent par leurs bases. On verra plus bas [art. Sy) la démonstration du théorème pour des corps de figure quelconque.

Tmoisièms cas.

Si les deux masses sont entr elles comme deux nombres rationnels quelconques ; soient M^ m 9 ces deux masses, F", u, leurs vitesses , /u la masse qui est la me-' sure commune des deux masses M^y m^vla vitesse qui est Ja mesure commune des deux vitesses F", u; on aura m = /JipjM^ IulP;u = vPy F^= vpyP , et /? exprimant deux nombres entiers. Cela posé, on prouvera, comme on a fait dans le cas précédent, qu'à chacune des masses animées de sa vitesse , on peut substituer un nombre P xp de masses ju. animées de la vitesse v , et qui par conséquent se feront équilibre de part et d'autre. Donc, etc.

Avant que de passer au quatrième cas , nous observerons que dans les trois cas précédens si M J^>ou <muy il ne peut y avoir d'équilibre. Car supposons^ pour un moment , que les corps AT, m , se fassent équilibre en cet état ; soient imaginés ces deux corps ikf, ot, sur un plan ; et soit supposé que ce plan soit mu en emportant les deux corps avec une vitesse x qui soit dans le sens de V ou dans un sens contraire, .et qui soit telle c^eMJ^+^Mx =3 //z /^. +" m x; il est visible que les corps M^m^ ainsi emportés, se choqueront dans Fespace absolu avec des vitesses ^ + a; , // "+ a? qui seront en raison inverse de leurs masses , et que par conséquent, suivant ce qui a été démontré ci-dessus, ils doivent rester en repos dans cet espace absolu.

Cependant ils n'y resteroîent pas , sî comme on le suppose , ils se fkîsoîent équilibre avec les seules vitesses J^ et u. Car ces vitesses P^etu étant détruites, par Fhypothèse, à la rencontre des deux corps , il leur resteroit la vitesse commune x avec laquelle rien ne les empêcheront de se mouvoir.

Donc si deux masses commensurables quelconques sont en équilibre , et qu'on augmente ou qu'on diminue la vitesse de lune d elles , l'équilibre sera rompu. À plu» forte raison le sera-t-il si on augmente ou qu'on diminue à là fois la vitesse et la masse d'un des corps.

Supposons enfin que les masses M", m , soient incommensurables , de manière que m = f^pet M= f^P + z^ P €tp étant deux membres entiers , et z <fjL ; je dis que sim¥ku = M^ 7^ y il y aura encore équilibre.

Car supposons qu'il n'y eût point équilibre , et qu'il fallût pour cela ajouter ou retrancher de la masse Mxxne quantité t; la masse /w P + z +; * animée de la vitesse J^, seroit donc en équilibre avec la masse moyifjLp animée de la vitesse u. Or la*quantité t doit être nécessairement plus petite que /u. Car si elle étoit plus grande , on auroit ^u P + z + ? > ;t* P + /w. De plusi> cette dernière masse fjL P + fJty animée de la vîtesse ^p^^ $

fera équilibre à la masse m animée de la vitesse u. Or puisque z<f*y on a ^p^^ < ^p^^ f cest-à- j

dire < V. Donc par la remarque qui est à la fin du cas précédent , la masse ^e P + z + f qu'on suppose plus grande que /jl P + /jl y étant animée de la vitesse V plus grande que — y^r^ ^^ sauroit être en

équilibre avec la masse m animée de la vitesse u. Donc / doit nécessairement être < iLt^ et comme /ul peut être aussi petit qu'on voudra , il s'ensuit que t =z o. Donc , etc.

Si la quantité «étolt une quantité qu'il fallût retran* cher, on auroît en supposant t>f4,juP + z—^t</jiP

et /^ < -^^. Donc , etc. Ce quilfalloit démontrer.

Le produit de la masse d'un corps par sa vitesse est appelé quantité de mouvement. Vie là naît cet axiome, que les corps qui ont des quantités de mouvement égales et directement opposées, se font équilibre,

REMjiBQUE.

47. On a démontré à la fin du troisième cas de l'article précédent, que quand les masses M, m sont commensurables , non - seulement il y a équilibre si MT^^ mu, mais qu'il n'y a point équilibre si MV n'est pas égal à mi/. Il est aisé d appliquer la démonstration qu'on en a donnée au cas des masses incommensurables. D'où il résulte que la Voi de V équilibre est unique , c'est-à-dire qu'il n'y a point d'équilibre et qu'il ne sauroit y en avoir dans un autre cas que dans celui des masseê^en raison inverse des vitesses, lors-

que les corps tendent à se mouvoir dans des directions opposées.

Corollaire I.

48. Si trois corps A^B^C, {^^g* ^7) sont attachés à Une verge indéfinie M iV", ou à un fîi , et qu'ils reçoivent suivant A Af , B ikf, CN des vitesses telles que la somme des quantités de mouvement du corps A et du corps B , soit égale à celle du corps C seul, il y aura équilibre. Car on peut {art. 3o )jregarder la vitesse du corps C comme composée de deux vitesses quelconques, dont la somme soit égale à la vitesse totale; et par conséquent on peut considérer dans le corps Cdeux quantités de mouvement, dont Tune soit égaie et contraire à celle de jE?, l'autre égale et contraire à celle de A. iDonc> etc.

' Donc en général, quel que soit le nombre des corps , il y aura équilibre , quand la somme des quantités de mouvement de ceux qui tirent en un sens , sera égale à la somme des quantités de mouvement de ceux qui tirent en sens contraire,