D E D Y N A MI Q V S S
agissant sur un point commun sont en équilibre, et qu^on fasse sur les directions de deux de ces puissances un parallélogramme , la diagonale <le ce parallélogramme sera dans la direction prolongée de la troisième puissance, et que les rapports des trois puissances seront ceux de la diagonale aux côtés, etc. et plusieurs autres théorèmes semblables que Ton démontre dans la Statique; peut-être avec moins de précision que nous le faisons ici, parce qu'on ny donne pas communément une notion du mot de puissance aussi nette que celle que nous ye^ ïions de donner.
Corollaire IV. '
52. Supposons que deux puissances égales appliquées aux extrémités AyB {Fig. 19) d'une verge droite et inflexible ABy agissent en sens contraire d^s la direction de cette même verge, et se fasse par conséquent cqtrtiibre. -Si on imagine une- autre verge quelconque AÇByGxe même, si Yqii veut, en uù point j]uelconque C, il es( évident que l'équilibre subsistera. De plus, si les puissances au lieu de demeure^ appliquées en A et en J3, étoient appliquées par-tout où l'on voudroit dans A J9 prolongée vers A^t vers -ET., il est clair que Féquilibre subsi^teJfoit ^pjÇQr.eK porte  Q^rS^ppçse la yprg^ A iSanéântie, c^quei U seuie verge A'C B subsiste , les puiiSsanÊes appliquées en A et en S étant égales et de dîrep^posconitr^esj se lieront; équilibre.
eo TRAITÉ
Corollaire V.
Qui contient le principe du levier.
53. Soient AHetBE les directions de deux puissances en équilibre sur le levier A CB , et que A H et B E soient entr elles comme ces puissances ; je décompose la puissance AH en deux autres , dont les directions A K et A G prolongées, passent, Tune par B^ lautre par C, et de même la puissance B E en deux autres, dont les directions BP et BFpassent par A et par C. En menant les perpendiculaires CM, CKj CL,
sur AH,BE,AB, fàî (12)^ K x= ^^cl^ '
et BP = -M|^iL^ Mais à cause de l'équilibre
AK = P B. Donc CM x A H = BÈ xCK. Donc les puissances^ JÏ,J5^ sont entr'elles en raison inverse des distances de leurs directions au point fixe (i3).
■yi2) yt K=. ''^^ft -'en effet les côtrfs ^fl^, jtKdu Iriaif-
gle AKB doivent être entr'eux comme les sînus des angles AKH^ AHKyOuAt leqrs égaux €AL:^CAMy c'est-à-dire en prenant CA :;pouTTaLyon^qu^AH:AK;iCL:CM. .
(lâ) Uéqu9Lti0nCMXAHi=zBEXCrouCMXjiS[—BEXCrxzo fait voir ^e quand deux puissances^nt en équilibre sur un levier, sî '^ maltiplie eliaque p&is9at)cé par sa distance a Pappui, la différence ■;des produits doit étlèiséro. En gétiéiml,lpDik)*^(|ue.tant'de puissances qu'on voudra , dirigées dans un *néipe pl^n 9 «c fassent équilibre , îl faut que la somme des produits de cliaque puissance par sa^ distance & Tappui , soit 2éro j en prenant âTec des signes contrwrcs celles q«î
Corollaire VI.
^4, Si le point Cn'étoît pas fixe, alors il faudrait se servir du Corollaire II ci-dessus , pour savoir quelle puissance il faudroit appliquer en C pour résister aux
agissent dans des sens difierens. Quoique cette proposition soît démontrée dans tous les livres de Statique , cependant comme nous en ferons U«age par la suite, et que nous voulons épargner au lecteur la peine de recourir ailleurs , nous allons la démontrer ici pour trois puissances seulement y mais de manière à faire voir que la démonstration réussiroît de même pour un plus grand nombre.
Sojt le levier A P LE {Fig. ao) dont Tappul est en £, et aux trois points ^^ Pj E soient appliquées trois puissances représentées par ACyPQ^EH. La force P Q peut se décomposer en deux PV^PRy dont la première passe par l'appui , la seconde par le point E'j cette seconde peut se décomposer de nouveaux en deux autres EF^EI^ la première couchée sur u^£, la seconde dirigée à Tappuî*
Let deox forces ^ Cet EH peuvent chacune se décomposer en deux, Tune dirigée k Tappui , l'autre couchée sur la ligne ^£, Cela posé, les forces dirigées aux appuis y sont détruites , il faut donc que les forces A DyEFyEK se détruisent entr'elles, c'est-à-dire que AD ::zKE> ^EF.
Or j\ PQiPRovi EG ::LS:LMjet EG i EF :: LT: LS ;
donc PQ:EF::LTt LM , et par eûnaéqnent EF^ . ^^^^:^^ . . * ' *• ■*
^\ A C : A D : : i T : L N / et E H : E K : : L T : L O ; donc
ADs=: j et EK n^ ; donc requation
^mA CXI'N.+ P^Xfe Af — ^ B XL O = o. Ctf qu^ilfalloû démontra. <,fj|Çn,sui^antlaméme q;|éthode gue dans les corollaires V et VI on démontre de même , que les puissances appliquées en A, PjE agissent sur l'appui L>' comme si' elles étoient immédiatement appliquées à ce point
62 TïlAÏTÉ
puissances^ G,B F. Or comme les puissances A G,
B F peuvent être regardées comme composées des puissances A H et A k,BE etB p ^et que les puissances A lij B p , sont égales et se détruisent, il s'ensuit que la puissance capable de faire équilibre aux puissances A G y BFy sera la même que celle qu'on trouveroît, si au lieu de ces puissances A G , BF^ on imaginoit les puissances AH,BE^ appliquées en C avec leurs directions propres^
Remarque sur le cas où le lei^ier est droit.
55. La démonstration précédente du principe da levier , suppose que les lignes A C et CB fassent un angle , et il semble par conséquent qu'elle ne puisse s'appliquer au cas où le levier est droit , et les directions des J3uissances parallèles. Cependant comme la pix>posîtion est vraie , quelque obtus que soit l'angle A CB ; il est clair qu'elle doit être vraie encore , lorsque I angle ACB est de 180 degrés. Voici, au reste, une démonstration plus rigoureuse du cas dont il s'agit.
Soient A P,AR{ Fig. ai) les bras de levier ;P D, RS les directions des deux puissances, que je suppose en équilibre ; il est évident, en premier lieu, que si les bras de levier sont égaux , les puissances F , R doivent être égales. Mais si les bra» A P,AR sont inégaux^ alors ayant tiré à volonté la ligne A S^ imaginonsi é|ue celte ligne soit une verge inflexible, à l'extrémité iS de laquelle soient appliquées deux puissances S, 5% égales
DE DTN.A MIQUE. 63
ft'Opposées 9 dans la même ligne que la puissance R : supposons de plus , que la seule puissance S' qui tire en en-bas, soit capable de faire équilibre avec la puissance P sur le levier P A S^ il est constant que la puissance 5 opposée à celle-ci, doit faire équilibre à la puissance R^ c'est-à-^dîre {art. 52 ) qu'elle doit lui être égale. Donc
R'±=S=^{m.53)-^^.T)QncR:P::AP:AR.
Ce. qii*ilJalloit démontrer.
Je ne suis pas le seul qui ait déduit les propriétés du levier droit de celles du levier coiirbe. M. Newton en a usé de la même mianière dans ses Principes, quoiqu'il ait suivi une route différente de la nôtre, et il y a lieu de croire que ce grand géomètre sentoît la difficulté qu'il y auroit eu à s'y prendre autrement. J ai tiré les propriétés du levier courbe, dé l'équilibre entre deux puissances égales et opposées en ligue droite; mais comme ces deux puissances disparoissent dans le cas du levier droit, la démonstration pour ce cas n'a pu être tirée qu^indirectement du cas général.
On peut démontrer les propriétés du levier droit, dont les puissances sont parallèles , en imaginant toutes ces puissances réduites à une seule, dont la direction passe par le point d'appui : c'est ainsi que M. J^arignon en a usé dans sa Mécanique. Cette méthode entre plusieurs avantages, a celui de l'élégance et de Tuniformité, mais n'a-t-elle point aussi, comme les autres, le défaut d'être indirecte, et de n'être pas tirée des vrais principes de Téquilibre? U faut imaginer que les directions des
puÎ6s^ances jsrolongées concourent a Tinfinî, les réddire* ensuite à une seule par la décomposition, et démontrer que la direction de cette dernière passe par lé- point d'appui. Doit-on s'y prendre de cette manière pour prouver réquilibre de deux puissances égales, appliquées suivant des directions parallèles à des bras égaux de levier? Il me semble que cet équilibre est aussi simple et ausit faciIeàconcevoir,quecelui de deux puissances opposée^ en ligne droite, ou d'une puissance retenue par un point fixe, et que nous n'avons aucun moyen direct de réduire tun à l'autre : or sija méthode de M. T^arignon pour démontrer l'équilibre du levier est îndirectedans un cas, elle doit Fétre aussi nécessairement dans l'application au cas général
Corollaire VIL
5(i. Toutes choses demeurant les mêmes que dans la remarque précédente , si on suppose au lieu du point fixe ^ une puissance qui fasse équilibre aux puissances P et il , il est évident que sa direction sera parallèle et contraire à celle de ces p\iîssances , et qu'elle sera égale à leur somme. Car en supposant qu'elle fasse équilibre aux puissances P, S' , elle sera'= P + S' (14). Donc^ puisque 5' = il , elle sera aussi = P + il , (1 5).
(14) Car par^e oorollaîre VI les puissances appliquées en P et en 5' agissent sur lepoint^con^e.si elles éloient appliquées en ce pointeur dans ce dernier cas , le point ji seroit sollicité avec une force = P + •^'•
(i&j De toute cette théorie du leyier,il est facile de conclure, que
REMARqUE.
DE DFNAMIQUE, 65
Remarque Ï.
5y. Lorsqu'un corps se meut ou tend à se mouvoir suivant une direction quelconque , on peut imaginer ce corps comme composé d'une infinité de petits parallélépipèdes rectangles d'une égale épaisseur, dont les côtés soient parallèles à la direction du corps; ces parallélépipèdes se mouvront ou tendront à se mouvoir suivant leur longueur avec une vitesse égale ; et par le principe du levier , on pourra toujours réduire le mouvement de ce corps à celui d'un de ces parallélépipèdes , qui auroit une vitesse égale à la somme des vitesses de chaque parallélépipède , c est-à-dire égale à la vitesse du corps multipliée par le nombre des parallélépipèdes. Par là on voit aisément conmient Téquilibre de deux corps se réduit à celui de deux parallélépipèdes à bases égales; et
pour réduire i une seule force tant de puissances que l'on voudra , qui agissent suivant des directions parallèles et dans un même plan sur un levier , il suffit de chercher sur ce levier un point tel , qu'en y appliquant paralièlenieot i toutes ces puissances une force égale k leur somme (si elles tirent toutes dans le même sens } ou égale à l'excès de la somme de celles qui tirent daas un sens sur la somme de celles qui tirent dans l'aitive, la sbmtme des produits de chaque puissance par sa distance à UD point pris à volonté dans le levier , soit égal au produit de cette puissance totale par sa distancé à ce même poînt. .
Eh général ^ si tant de puissances parallèles qu'on voudra et perpendicnlaires à «a même plan :3ont en équilibre, la somme des prpdcriCs de ces puissances par leurs distances à un plan quelconque, srtuéxomme on voudra^sera toujours nulle. Ces deux propositions sont aisées à démontrer par le principe ditt levier» et se treuTent dans beancoup d'ou« vrages. .....';.,.
par conséquent <îonimertt le théorème de Tarticle 46 s applique à des corps de figure quelconque.
R E M A nqu E II.
58. Soient deux lignes Ee,Z z, {Fig. 22) perpendiculaires Tune à l'autre , et CE' perpendiculaire au plan de ces deux-là ; imaginons une puissance G parallèle à Ce, dont la distance au plan E Z ze soit %, et la distance au plan E' Ce,X9 ^"^ puissance F parallèle hCzj dont la distance au plan E Z ze soit ^, et la distance au plan E' Cz^ fl; enfin une puissance n parallèle à CE' dont la distance au plan E' Ce soit /^, et .la distance au plan.-E'C:5, v : on peut réduire Taction de ces puissances à celle de trois autres; la première sera égale et parallèle à la puissance G^et agira (F/^.aS) sur un point Z' du plan E'Cz, tel que menant
Z'L parallèle à C E\ on ait Z'L = ^ ^ ,
et que Z L' parallèle à CZ soit égale à —^ ;t;
la seconde puissance sera dirigée suivant L Z[ parallèlement à CE' dans le plan E' ÇZ^ ejt sera = Hj la troisième sera dirigée parallèlement kZz dans le même plan E' CZj sera égale à F, et agira à une distance] de -Z'z qu'on trouvera feicilemeat Ces propositipas peuvent se démontrer.aisément par les articles 20, 9I9 sa de mes Recherches sur la précession des, E^uinoxes (1 6).
(16) Que la puisf ince G {^Fig. ^^) rencontre le plan £^ C% aii*fQHit
' Ce principe sert à trouver la loi d'équilibre de tant de puissances qu'on voudra, qui agissent dans des plans et dans des directions quelconques. On décomposera ,
Q, la puissance Fie plan E'C^ au point G, et soient tirées QP^^QD parallèles à CJB', Cz;GE' ^GR' parallèles à Ce,CE\ et enfin CQ qui rencontre en Flalîgoefi'JT parallèle kCz. Au lieu delà puissance Q , qui agit au point Q^ on peut prendre deux puissances qui agissent Pune en CTautre en F^ parallèlement à la puissance G, dont la:, somme soit = G , et qui soient entr'èlfces cniaison de.FÇ à CÇ, ou ,ce qui revient au même , qui soient à la puissance G, comme F Q et CQ sont à CF> ou comme BE' et GPsontà CE'; ainsi la puissance qui
a^'t en C sera G -^ — y — , et celle qui agît en F sera — ^ — 5 mais
cette dernière rencontrant nécessairement en quelque point. Xla^ I^uissance F dirigée suirantG^^ il naît du concours de ces deux* forces une force dirigée suivant Kn, qui prolongée rencontre en 2f le' plaDJS'CZ , et peut être censée agir au point N": or il est visible en tirant' TffO' , parallèle à F/îT^ que le point ZV est sollicité de la même manière* que si on lui applfquoit^ suivant N F et NO', les forces qui agissoient tout-à'llieure suivant G^ et FK : nos deux forces sont réduites à
trois y dont Tune = F agit suivant NF, la seconde =: G *-^ — -^
te.
a{(it suivant C^^ la troisième = — j — agit suivant KO' parallèle
i Ce; mais ces deux dernières peuvent , comme on Pa vu, se réduire k une seule égale à lenr somme ^ et par conséquent =G^ qui passera
par Bj où QD rencontre CN : car CB : BN:: CQiQF:: -^J-:
G^^ — Y — y c'est-à-dire en raison inverse des puissances appliquées
en C et N. De plus, ]e*s deux forces suivant FX et GKj ayant produit une force dirigée suivant KKn, W est visible que si en représeote'la première par FK, la seconde doit être représentée par F^, et qa'aînst
on A F: -V~î •• ^^: ^R ou GE' ou*: donc F2V =: -^— ;
5t8 TRAITE
ce quf est toujours possible, chacune de ces puissances en trois autres, parallèles aux lignes Ç€,Cz,CE'j on nommera ces puissances G, JF, n , et il faudra pour
d^allleurs les triangles CDQj CJB' F donnent E' F ^i ^ , et pat
conséquent NE' = 5^— — - -=r^- ' — aîj
donc les deux forces G et F sont réduites à deux autres , qui sont aussi G et F^doDt la première agit en B parallèlement k Cek une distance
de CE' =. ^ a;* et l'autre agît suivant NF dans le plan
E'Cz à la distance. C£'.
Maintenant (F^. 23) que F'soit le point ou la puissance Tt rencontre le plan 0C2. Soit tirée par le point B, oii est actuellement appli<> quée la puissance G, la ligne B L parallèle & CE' j on aura B/^ s: ( ; soit tirée ensuite L V ; la puissance appliquée en B peut se décomposer en deux , l'une suivant B T prolongement de BD , l'autre suivant BK parallèle à L F^, et qui rencontrera par conséquent la direction F'O dt la p^îssance n. Ayant tiré F^R parallèle kCcj les triangles semblables
LRP'^SSK donneront 5J£ ou la force suivant BT=z ^^ ^^
et la force suivant BX =: — ; mais cette dernière « par son
concours avec la force n dirigée suivant FO, produit nne force dont la direction prolongée OZ' rencontre BL en quelque point Z^ ^ et qn'on peut par conséquent imaginer appliquée à ce point Z' : or si on représente la force suivant BK par B O, la force suivant VO doit être représentée par Z'B^ ensorte que BZ^ : BO : : n r ^^^^ ; donc (i
csuse de BO = I.r)on a BZ' = JÎ2LLÎ1.,
Mais aalieu de la force suivant 2^ O , on peut imaginer au point 2' les forces BOttZ' B appliquées suivant des directions parallèles à BK ttVOy ensorte que la force Z ^ B , ou n agira suivant Z ' B« et la force B O suivant Z ' Q parallèle à ^ F; or cette dernière peut se décompoitr
