THÉORÈME III

83. Si tant de corps quon voudra sont liés ensemble d^une manière quelconque , et quun ou plusieurs de ces corps nient forcés de se mouvoir sur un plan ou sur des plans paralléltsj je dis que le chemin du centre de gra^ vite parallèlement à ces plans sera uniforme.

M Ij

[ Ainsi , par exemple , et pour Jixer V imagination p si un corps P, (Fig. 38) Jbrcé de se mouvoir dans la rai^ nure droite P S dont il ne puisse sortir , traîne aprçs lui un autre corps M par le moyen d^une verge P M , /e centre de gravité g de ces deux corps décrira une courbe telle, que les parties de la ligne K S répondantes aux arcs par-' courus par le centre g en tans égaux , seront égales. ]

Car en général, sî on réduit en une seule force tous les mouvemens perdus par ces corps à chaque instant t il est clair qu'à cause de Téquilibre de ces mouvement» la direction de la force résultante sera nécessairement perpendiculaire aux plans. Donc le centre de gravité sera continuellemeot écarté de la ligne droite par une force dont la direction sera (Lem* 7^1. etart.jy) perpendiculaire à ces plans , et dont par conséquent Faction sera toujours parallèle k une ligne donnée. Donc etc.

Corollaire.

84, La même proposition* seroît encore vraie , sî les corps étoient aninaés de forces accélératrices quelconques, constantes ou non, mais.de directions perpendiculaires à ces plans. D'où il s'ensuit, que si les corps se mouvoieht par la seule action de ces forces sans aucune impulsion primitive 5 le centre de masses décriroit une ligne droite perpendiculaire à ces plans. Car dans ce dernier cas, si les corps étoient libres, le centre de gravité décriroit une droite perpendiculaire aces plans; or son mouvement ne sera altéré que par ime force dont la di^

DE DT N AM I qUE\ gS nsctîon sera perpendiculaire à ces plans : donc le centre de gravité ne sortira jamais de la perpendiculaire*

Si les corps pèsent vers un point fixe en raison de la distance 9 et que la ligne tirée du centre de gravité au poin fixe dans le premier instant du mouvement, soit perpendiculaire au plan, on peut prouver de la même manière que le centre de gravité ne sortira jamais de la perpendiculaire.

8 ). Lesproposîtions qu'on a démontrées (^arty6et^8) sont également vraies , quand les corps agissent les uns sur les autres par unefbrce d'attraction mutuelle. Car les chemins qu'ils feroiënt les uns vers les autres en vertu de cette attraction, étant réciproques à leurs masses , la somme des mouvemens de même part seroit zéro; par conséquent le chemin du centre de gravité ne seroit point changé par l'action réciproque de ces corps les uns sur les autres. Qn peut d'ailleurs appliquer ici la démonstration donnée du Théorème I , en imaginant tous ces corps joints les uns aux autres par des verges inflexibles! Car alors en n ayant égard qu'à leur attraction mutuelle, il est clair qu'ils resteroient en équilibre. Donc ^tc.

S6, Il me semble que par les principes établis jusqu'ici 9 on peut démontrer ou plutôt expliquer cette fk-t meuse loi de mécanique, que dans un système de corps

pesans en équilibre » le centre de gravité est le plus bas qu il est possible. Car supposons le système dans un état B infiniment proche de Tétat d'équilibre ; il est certain qu'il y auradans chaque corps un petit mouvement pour se remettre à letat d'équilibre , et Teffort de la pesanteur de chaque corps doit être regardé comme composé de ce petit mouvedient, etd'nn autre qui est détruit. Or comme Tétat B est infiniment proche de Fétat d équilibre, les mouvemens détruits sont infiniment peu difFérens de reffort total de la pesanteur, qui est détruit dans Tétat d'équilibre; ainsi les mouvemens réels de chaque corps sont i;ifîniment petits par rapport à ceux qu'ils auroient eus , s'ils avoient pu se mouvoir librement par leur pesanteur; et le mouvement du centre de gravité est infiniment moindre, que si les corps se fussent mus librement. Cela ne seroit pas ainsi, si des deux états infiniment proches que l'on considère isi, l'un n'étôit pas l'état d'équilibre. D'où il s'ensuit , qu'on peut regarder le centre de gravité comme n'ayant point changé de place depuis l'état B jusqu'à l'état d'équilibre ; c est-àdire , qu'entre ces deux états la descente du centre de gravité est» o. Donc dans l'état d'équilibre la descente du centre de gravité est un maximum, et dans certains cas un minimum. Elle est par exemple un maximum dans le cas de la chaînette, et un minimum dans le cas de plusieurs globules égaux, qui se soutiennent en formant une voûte; ce qui n'est, comme Ton sait, que Jecas de la chaînette renversé.

Peot-êtré s'exprlmeroit-on avec plu8 d'exactitude , en disant simplement que dans le cas d'équilibre la différentielle de la descente du centre de gravité estc^^o; cài: on sait que Tégalité d^une différentielle à zéroi n'indique p^B toujours nécessairement un maximum ou un minimum.

Au reste cette remarque suffît pour montrer qu on au^ roit tort de déduire avec quelques Auteurs les lois de l'équilibre des fluides, de cette.loi prétendue, que le centre de gravité d'une masse fluide en équilibre doit descendre le plus bas qu'il est possible. En effet si le fluide DOS PE^.{ Fijg. 29 ) dont toutes leg parties pèsent vers Q en raison de la distance, est en équilibre dans le vase MDE N, le centre de gravitâ^de ce fluide ne sera pas le plus près du centre Q qu'il sera possible. Car soit MNDE^=DOSPE} il est certain J^ que le centre de gravité de chacune de ces parties sera ici le même que leur centre de mastses. a^ Que les parties KNFj MOL prises ensemble sont égales à LSK^ et que KNP, Af O £ , qui sont plus près du centre Q^ doivent avoir leur centre de masses au-dessus de MN, et par conséquent plus près de Q que celui àe LSK, qui est au ««dessus de M N. Donc puisque la partie DOLKPE est d'ailleurs commune kDOSPEet k DMNE, il s'ensuit qu'en supposant Q r= ou >Q^G , le centre de masses du f\àx\àeDMN E est plus près de Q que celui du fluide DOSPE : cependant la première de ces masses fluides est en équili* hre, et la seconde n'y est pas* Donc etc»

J'avoîs déjà fait cette remarque dans mon Traité de V équilibre et du mous^ement desjluides ^ article i3. Elle est présentée ici dune manière encore plus frappante/ afin de précautionner les Géomètres contre ces sortes d'applications fautives de principes mécaniques , auxquels pn donne quelquefois trop de généralité.