PROBLÈME I

87. JTjr ouvee la Vitesse d!une verge C R fixe en C ( Fîg. 3o ) ei chargée de tant de corps A , 9 » R , qu'on voudra , en supposant que ces corps j sila verge ne les en empêchoit , décrivissent dans des teins égaux ~ les lignes infiniment petites A > B Q , RT , perpendi^ culaires à la verge.

Toute la difficulté sp réduit à trouver la ligne R S parcourue par un des corps lî, dans le même tems qu'il eût parcouru R T; car alors les vitesses B G, A M de tous les autres corps seront connues. Or regardons les Vitesses imprimées RT, J5Q, AO, comme composées

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sées ( art. 3o et 60) des vitesses RS,ST; BC'—GQ; AM, — MO ; par notre principe , le levier CAR seroit demeuré en repos , si les corps R, B , A n'avoient reçu que les mouvemens ST, — G Q, — MO, Donc{i'y)A.MO.AC+B.GQ.BC^R.ST.

CR, c'est-à-dire, qu'en nommant AO , a, BQ,b, iî2\c, CA, r,CB,TtCR, p, etJR5,z, on aura

R7^^T7f = Ar(jY-'-a) + Br(^^b)i par conséquent z^ ^\^\VXly ' -

^ Corollaire L

88. Soient F, y, tp , les forces motrices des corps A, B, R, et on trouvera pour la force accélératrice

du corps R, - ^r^^BrrX^/^f x.p, en mettant pour

a, b,c {art. 22) leurs valeurs — f-> b~* ""I^* ^^^^

si on prend ds pour Félément de 1 arc décrit du rayon CR , et u pour la vitesse du corps R,on aura en général (18)

(17) Voyez la note (i3)pag^. 60, ciohierYez que AX MO ^BXGQetc» lont ici les puissances.

* (16) Il faut considéi'er que AO,BQ^R Tsoui les impulsions momentanées que les forces accélératrices communiquent aux corps A, B, E ; et puisque le corps R n'en conserve que RS oaz^ il s'ensuit que pour avoir le mouvement de ce corps il faut mettre dans la formujç Ç de= u du dt l'article ai ^ à la place de f la valeur de z ^ et J s à la place de d e. Yoyez U uoi^ {5) pag.%^^ '..,••

■ , ^^ !^{^ '^.* L . P ds^=u d Uy quelles que soient

les forces Fj/j (p. Il est aisé par ce moyen de résoudre le Problême des centres d'oscillation dans une hypothèse quelconque.

"* Supposons par exemple que le pendule oscille dans un milieu résistant comme une puissance quelconque w" de la vitesse , on aura au lieu de ^ , (p — A a" ,

(19) au lieu de F^ F ilJlLL^ ^ et au lieu de/,

y ^ — ; et on mettra ces valeurs dans Téqua-

tion précédente ; on considérera ensuite qu*en supposant X la longueur du pendule isochrone , et nommant M sa masse, et n son poids 9 ou plutôt la partie de son poids qui agit perpendiculairement à la verge , on aura pour Téquation du mouvement de ce pendule ( 20}

U X d s l u'* X* ^ X d s ^,__^ Af X X u d u ,

(19) Soit m la résistance qu'éprouverolt de la part du milieu le corps R mû ayec layîtessep; celle qu*il éprouyeralorsqu'il sera mû avec la vîtes-

se M sera — -z — 9 ensorte que sa force motrice ne sera plus que f ^-

■ ; et il est visible que la quantité X: par laquelle on a représenté

-— ip- dépend du volume , de la densité , et de la figure du corps 22 ; il en est de même des quantités ^^ hj L

(ao) L'équation qui naîtra de la substlt utioade f — Jtu^, F— ^

etc. à la place de ^, F etc. sera de cette forme ( P'\-Qu'')ds=udu;

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tfou Ion tire — ^ m ^^-- ^=^ u d u ;

comparant cette équation terme à terme avec celle du mouvement du pendule composé , on en tirera les valeurs de 07 et de /; et il est à remarquer que la quantité / dépend du volume du corps M , de sa figure et de sa densité ; et qu'ainsi on ne doit pas supposer toutes ces choses données (21)*

Il est à remarquer de plus qu'on ne s'exprimeroit pas exactement , en disant avec quelques Auteurs que la distance x du centre d'oscillation est toujours la même^

celle du mouvement du pendule simple tera ( n jds^ ^si

M yf du' ( en nommant dû'Xt petit arc qu'il parcourt dans un instant ^ et 1»^ sa vitesse) ; mais comme on suppose qu'il décrit des arcs semblables

X d s oc lÂ

k ceux du pendule composé, on a ds'^ et u' sz 5 donc

(n # / u" x" ■" * ^ -î~-*— — ,^ ■ v T ) ds:=zudu: dans cette Ma? Af f " * y

équation u et s signifient les mêmes choses qne.dans celle du pendule composé; donc les deux équations doivent être identiques > et chaque

terme égal à sou correspondant J ainsi on a = P; — ^^ ^

(21) n est visible que si on supposoit Af donné, /qui en dépend, com* me on vient de le voir dans la note (19) , seroit donné aussi; par conséquent ayant une seule indéterminée Xj et des équations ■ ^ ■ zz, P ,

l x' — * — — nr n T" = Q? il »« scroit pas toujours possible de satisfaire i

toutes les deux. Voyez Mémoires de l'Acad. 1738.

soit que le milieu résiste, soit qu'il ne résiste pas. Car les quantités F, <p^fy n, etc. qui dépendent de la pesanteur , ne sont pas les mêmes que dans le vuide ^ parce que la pesanteur de chaque corp§ est diminuée par celle du fluide, et qu'elle Test différemment à raison de la densité , du volume et de la figure de chaque corps ; ainsi la valeur de x qu'on déduira de la comparaison des premier^ termes des deux équations » ne^era pas la même que si h, g y h, l étoient == o.

Corollaire IL