L E M M £ VIL

9.0. Si deux lignes infiniment petites P p $ M m^ ( Fig. 3i ) sont jointes par les lignes finies P M, pm, et qu'on fasse p^r^^P pf^m /jl^=^M m ; jç dis 1 ^. que l'excès de P Af sur tt )6e est égal à deux fois la différence dePMkpm, moins le quarré de l'angle feit entre P M etp m, multiplié par P M.

2^ Que l'angle de tt /« avec/? m est égal à l'angle de P M avec p m , multiplié par 1 + — - — pm^^ — ^

Car ayant mené les lignes Jkf a^ir e^ fif plarallèles k pm,ttMb,aP d^ ^^a> A* ^g perpendiculaires à p m, on aura Mh^=^ fMg; P £/== tt (X Donc ac e ou vrf=i P €t. Or deux an^es infiniment petits P Ma, cn-fiy dont les rayons P A/ , V^tt , différent infiniment peu (les lignes infiniment petites P a, e /jl étant d'ailleurs égaler ) ne. diffèrent que d'un infinimaoït petit du

DE DT N AU I qv E io3

second ordre, puisque la différence des çînus est -~-^

— -p7^ = \m..^ .cest-à>dire,jnfini-

ment petite du second ordre. Donc cette dernière quantité , multipliée par P a, sera du troisième ordre. Or

+ bm — dp; et on trouvera de même p m — /m tt =5

— — —^ i- fn g — C p. Donc en négligeant les

différences troisièmes, onaP M — tt )U = 2 . A m — dp

= î. PM^pm 1~ = 2. P M ^ p OT —

fmgI./2MP*xP m:

3^ Uangle e 9rft ou Fanglede/? w avec7ryu=?' ^^ ^ —

Pa Pa Pa

pm — (^bm-^dp) M a ^-^ 2 {6 m — dp) Ma

+ ^'^^m^^ ^ -^ = ( ^» négligeant les différences troisièmes) à l'angle a MP ( i + ^ p^jf^'^ )* Ce qu^ilJaUoit démontrer.

Corollaire L

91. Si les lignes P M , p m sont égales , alors P M— TT /*«= — ( angl. «MP )\ Pikf; et l'angle

io4

ir R AIT È

Corollaire IL

92. Si les lignes M m, m fA( Fig. 32 ) sonts=o, alors Mtt — PM=+ 2;;0+ -^-, et TaH-

PROBLÊMEII.

93. Supposons quune verge G h fixe en G ( Fîg. 33 ) et située sur un plan horizontal, soit changée de deux corps A > D j dont tun A soit fixement attaché à la ver^ ge. Vautre D puisse couler librement le long de ta yerge parle moyen et un anneau i on demandela vitesse de cha^ cun de ces corps à chaque instant ^ et la courbe, décrite par le corps D.

Soient AB , D E les petites lignes décrites par les corps A,D, durant un même instant; si Ton fait Parc BG^^= A B, eila, ligne E i^=ED et dans la même direction, il est clair que ces lignes BC,E i seroient jparcourues par les deux corps dans Finstant suivant ^'si la verge ne les en empêchoit. Le corps A qui décrit nécessairement lare B C, ne décrira donc plus cet arc dans un instant égal au premier : or que la petite ligne B Q infiniment peu différente de B C, soit celle que le corps A auroit parcourue uniformément avec la vitesse qu'il a en B, dans Tinstant qu'il parcourt B Q par son mouvement contraint; et que E o soit la ligne que le

corps

DE DFNAMIQUE. io5

corps D eût aussi décrit uniformément dans le même tems , et au lieu de laquelle il décrira la ligne E pk cause de la résistance de la vgrge ; il est clair qu'en re* gardant les mouvemens B JSfet Eo, comme composés des mouvemens BC,CQ, et Ep, E l, le levier G B. eût été en équilibre , si les corps A,D , n'avoient eu que les mouvemens CQ,EL Or comme {hyp. ) le corps Z) peut glisser le long de la verge, il est nécessaire pour Téquilibre , que E l soit perpendiculaire au levier G B; et de plus, il faut que ^ • CQ . G À =^D.EL G E . Cela posé ,

SoîtGji=2a,AB=dx,GD=ysFD=^^j

FE=i dy , C Q = fit. On suppose que B Q seroît décrite avec la même vitesse que A B^çt E o avec la même vitesse que DE; donc les lignes B Qet A B^ ainsi que les lignes E o, D £* sont entr'elles comme les tems employés à les parcourir; et comme B Q,Eo seroient parcourues (hyp.) dans un même tems, ainsi qjie A B etD E, omur3iB Q: A B oxxB Ci: E o :D E

ou£ /:donc B C: CQ : : DE\io. Donc /o = — bc • De plus A . C Q. G A =r D . E l . G E donne E l

ou /; o = —^^m Or Tangle i G E ( art. 92 ) =

io6 T R AIT È

et si à l'angle /G jB on ajoute (22) Tangle /Go = • <? » "

JJF __ c Q . b F CQ „ -Dr __ CQ - JÎ

Idë e t . b c ~ gd ab g a a> et l'angle C/> on -|^ = -p;^° , on aura l'angle

;, G £= £ G D- ^^^^ + -^ + ^7' et comme cet angle p G E est égal à l'angle EG D

( con*/r. ) on a — d- ^— + "d^T"

• a D ^ d y dje

Donc * = -:rrrqrD77- .

Présentement la difiërence de G ikGD est {art. 92) » 1/ jr + X*^-., et --^— exprime la différence ileG/JOuCo à G ». Donc G p — GM = dy +

OU mettant pour et sa valeur déjà trouvée , d d y ^==^ JL±5L^ + ^'^^^y^^ ? équation de la courbe D E p.

Pour en séparer les indéterminées , soit Jrr= -—^j

(aa) Si on décrit du centre G Tare i «, T^uigle i G o ^s. — r-^ 9 et ]( ^ ss - — ^IF — I ^ ^^"^^ ^^^ triangles semblables DFE^sio.'

DE DTNAMiqUE, 107

0Ti9m^ddy = £Mji^ et 21^5

*/ ^y ''*\^ — - s= y dy ; cette équation étant

multipliée par (^aa+D^^y)' » et ensuite intégrée ,

donne jpt (^ ^a + i)^^)» ^ aD(^a«+r^^) G exprimant une constante telle, que — j- devienne à rorîgîne de la courbe le rapport donné de Jx à dy (23).

On adoncû?2rou -^-^ = «O/^

pour réquatîon de la courbe D E p.

A r^ard des vitesses de chaque corps , on trouve ( 24) qu'en nommant u la vitesse du corps A , ona

du CQ . ^<? X 1 .1 ,

-— = -Je" > puisque -;g ^ est le rapport du second

(23^ Soit P E (Fig. 34) la direction de l'impulsion que reçoit le corps D au commencement , et soient AKfEi\e% lignes que les deux corps A etD tendent à décrire dans un instant en yertu des impulsions primitives ; supposons qu'au lieu de ces lignes ils décrivent AB,Ep;]e rapport de ^ J3 à Fp est celui qu'on doit prendre pour le rapport de dx à dy à Torigine j et le rapport de A BkEp pour celui de gk hj qu*oa suppose être les vitesses initiales; on déterminera aisément toutes ces quantités y en suivant exactement les mêmes principes qui ont été don-* nés dans le Problème , ainsi que la figure l'indique.

(24} On a ^B = u(//; donc puisque^ Best constant, (ittc/^-}- 2^^^^

— s, ji é. du__ddt^CQ^CQ = • } et par conséquent = -^-p- - ^-^ = -g-^*

Oîj

instant au premier. Donc ~- = - ^ l^ j^ n^yp ^*

T ^ ^aa + Dyj > ^» prenant g pour la vitesse

inîtfale du corps A y et supposant j =3 à Torigine de la courbe D E p.Dt même si on nomme v la vitesse du

corps D, on a — — = — 2 -, JL^-^. =

; mais on peut avoir v plus

élégamment par le principe de la conservation des forces vives que nous démontrerons ci-aprës , et qui donne D V V + A u u = k une constante. D'où il s'ensuit, que si on appelle h la vitesse initiale du corps D , on

aura v v = 5 •

Remarque T.

94. J'àî évité de faire dans la solution de ce Problême les d t ou élémens du tems constans, afin de pouvoir parvenir à Téquation de la courbe, sans avoir l'expression de la vitesse » de qui seroit nécessaire si on faî-

soit les d t constans^ parce que d t étant — ^ > oii

ne peut chasser d t que quand on connoit la valeur de u. Cest ainsi que j'en userai toujours dans la suite. Ce n'est pas qu'on ne puisse avoir u par dififérens moyens. Mais j ai cru qu'il étoit à propos de faire voir de quelle

D E D F N A M X QU E. 109 manière on peut s'en passer dans la solution de ces sortes de Problêmes.

Rem^bque il

g5. Le Problême précédent ne seroit pas beaucoup plus difficile , si les corps A , D , étoient animés par des forces accélératrices p,f,àe directions et de valeurs quelconques. Pour donner un essai <[u calcul qu'il fâudroit faire en cette occasion , je supposerai chaque force accélératrice constante , et dirigée parallèlement à la verticale VA, en imaginant le système transporté sur un plan vertical. La construction demeurant la même que dans l'article 98, soit de plus Q iVl espace que le corps A auroit parcouru par sa pesanteur)?^ dans Fini* tant qu'il parcourt B C par son mouvement contraint ; comme cet instant diffère infiniment peu du premier,

G V d ct^

on aura { 20 ) Q N = p. "q^ "^ ^^ ' ; de même

fdx* , ,v A. c V .G A A<^ ' '•

o If = — ;^— ;(26)z^= dTdg = "57 ^

{%S) Q N i:z p d i^ j en nommant ^ la force accélératrice suivant Q N. Mais ai oo décompose la pesanteur p en deux forces , l'une perpen- •

diculaire k Q N^ et l'autre suivant Q jY, la dernière sera ' ^ j — ; de plus dx:=zudt; donn Q ZV = -^ —-— X —

G A ié

(26) On suppose ici que ^ soi t le point où le corps D arrive au second instant ; et puisqu'il parvient en w au lieu d'être en 2 ^ comme il y auroit été en vertu de, son mouvement propre et de la pesanteur | il s'ensuit

iio TRAITÉ

( * "^ — ^ a i**"^ — ) ^" nommant G V t s. On aura ensuite , comme dans l'article q3 . -*^ ^"^ -^ =

f p z d X' >. A a m fd »' z .

du «

on a de plus. >-^ -j— ?== •^•^^ Si on met dans lapre-

mîère équation à la place de a sa valeur ^^V^^y

ou — ^ ' ^i ' ^ —j on aura (en intégrant) la valeur de 2^ i^> qui étant substituée^ ainsi que la valeur de « ^

dans la seconde équation d d y ^ ■ ^' ' ^^ — etc. on aura réquatîon de la courbe 2) E p; dans laquelle on

* z /' ^ \ fài\ . }/aa--zK

remarquera que -— = cos. \^~^J[ J» et =

sin-T-f-), ce qui donne un moyen facile de chasser z.

qu'en décomposant ( comme on l'a enseigné ) le mouyement qu'il devoit avoir, il faudra que « z soit perpendiculaire kGC^H que wzX D XG*ouifzXDXDG=:zAXCNXAG. Donc etc.

(*) Ces expressions cos. ( \ sîn. f J indiquentlecosi-

nus et le sinus de ; et en général dans toute la suite de cet Ou-

vrage, je désignerai le sinus et le cosinus d'un angle quelconque C, par sin« C et cos. C.

DE DYNAMIQUE, iii

Ke M ji B qu E 111.

96. Si une puissance appliquée au corps A Toblige de se mou voir sur la courbe A N, avec urie vitesse dont la loi à chaque point soit donnée,, et quW demande la courbe du corps D et sa vîteisse , ce pfoblême^ se réduit au précédent , en cherchant de quâle force accéléra* tricé ? le corps A devroit être animée pour qu^étant mû conjointement avec le corps Z?> il eût à chaque point B la vitesse donnée,

Dans la première des quatre ^ équations de Tartlclé

précédent , on mettra ^ pour — — — , et à cause que u est donnée en 2; ^ on supposera u = X> et

du dX m — . dXdx ^

cette valeur de a étant comparée à celle qu'on tirera de la première équation y on aura la valeur de 9 et Téquation de la courbe D E p. Soit par exemple y= Oy u =^k une constante ^, on aura « = o , et

^^TT' ^^^*== Aa^d^' J

eid dy=t -^, — . Donc rfa; = :^ \g a*\ yj ^^

^dydx ^^ p d X*

on a j = c I et <p = ' ° ^ 'J . C'est pour-

quoi la courbe décrite par le corps D est en ce cas une

spirale logarithmique j puisque ^ — = =^— .

S*îl n'y avoît pas de corps au point A , mais qu'en vertu d'une puissance quelconque appliquée à la verge , la vitesse du point -4 suivant ^^J5 fût donnée, on pourroit résoudre le Pj;DbIême de la même manière, en imaginant qu'il y eût au point A un corps de masse quelconque , et en cherchant de quelle force accélératrice ce corps devroît être animé, pour qu étant mû conjointement avec le corps D, il eût à chaque point j5 la vitesse dont la* loi ert donnée. En général, on peut toujours employer cette Méthode, lorsque des corps se tien: nent par des fils ou par des verges d'une manière quelconque , et qu'un ou plusieurs points des fils ou des verges sont supposés se mouvoir avec une vitesse et une direction données. J avoue qu'on peut résoudre ces Problèmes d'une manière plus simple, sans chercher quelle doit être la force accélératrice du corps dont la vitesse est donnée, pour qu'il se meuve avec cette vitesse en vertu de faction des autres corps ; mais la solution que nous proposons ici, quoique plus longue, n'en est pas moins tirée des vrais principes de la chose , puisqu'il est certaui que la puissance qui meut le corps avec une vitesse donnée , est différente de ce. qu'elle seroît , si tous les autres corps étoient anéantis , attendu qu'une partie de cette puissance est employée à vaincre l'action de ces mêmes corps. Notre solution détermine la différence de

ces

DE DFNAMIQVE. iij

ces deux puissances^ et c est en quoi consistai ce nié' semble, la vraie métaphysique du problênie dont il 8 agit. . '

RemabqueIK.

97. Si la Verge étôît chargée de deux corps qui pussent couJér librement le long de cette verge , on trouveroît de (a manière suivante les» courbes décrites pat les deux corps.

Afin de conserver ranal9gie avec la solution précédente, ouisuppose^a que le corps A existe toujours , mais qu il soit infiniment petit par rapportaux deux corpa

donnés, et Ion aura -^ —- •" 'T^ + "^r"=o;

et nommant z le rayon vecteur de l'autre corps que j'ap-

pelle£,— -—n + —a Ezz =0» d'où

Ion tire -^r^ d^^ + jbzz ' °* -dlT =

I£î.. Jonc -^ zDydy + ^ Ezdz.

b dt fc; {Dyy + JE z «) â^x.t^e plus les équations ddy = ydx' + -j^^etddz=:zdx'+-j^j

il ei f

donneront (en faisant évanouir âx^ ^tX. mettant ^f

#N yddz'^zddy d dt

PO""- -TT) %dz-.zd/ = -77- » et par

conséque^^ dz-^z dy z^fd t; éoaèydx — £ dy

= -^ — ^^ — 3^ — î ^^^^ supposant z =y w> on

a — .= -^^^ , et r r ^ ^^^^ -Nous aurons

donc y si njcxus pouvons trouver eojcore ijuje équation séparée entre dteidx. Or ,. i °^ le principe de la conseryatiçn^^des^/qrces viMes àonn^ g dt^ ^(^ JT^ E z z) dx^ +D dy"" + E d z\ ougd t^ z=::à d t d X + D d y^ + E d z^ y équation qu'on pourrait aussi tirer directement de notre solution. 2^. L'équation (E^'z z +Dyy) dx'=b'd t étant dîfFérehtîée deux fois de suite, doniie (2E z d z + 2 Dy dy) d x —bddt; et{2 E z d dz-^2 Dyddy + 2E dz"" + 2D dy* ) dx—b d^ t\sï on substitue dans cette dernière équation à la place de 2 Z? dy^ + 2 E d z* sa valeur 2 gdt^ — *• 2 b d t d x^kXdi place de d dy, sa

valeur jy d x"" -^r ' • ;/ 7 > à la place de d d z sa

valeur z d x* + JT~~^ ^* ^ ^^ place de (Dyy

+ E zzydx fet de ( 2 Dy d y^z E z d z) dx^ leurs valeurs b dt et b d d t, on aura 2b dt dx +

''^^*' ^-igdt^ — zbdtdx =: */ ' , ou

d^dt ~ —d^-d7 2 ^ ^ ^ > dont 1 intégrale

D JE DFNAMTQUE. iiS

est -j^ = 2gJt^ mj donc,/ ,//jf = g 1 1 d x +

mt dx i" h d X. Donc on aura la valeur de d x en

•y -j i , M .. . \ .* . rc'î'^-) ruo'i «: !; i . * ;•

dt. Donc, etc. , , i r ' i

Il n'est poiDt à craindre que lea. équations ^. .=3

'du . , ■ ' ■Arf«'•'•'^ '■'•■ : -, -\ ■'

>+.Jm». et.^ a;p^ y.,„ 4. ^,..j^,» . joient la wea^ ëqmtion'; car ili^iudraxt pouviiKdià) qbe Wtav-CilOrtsiiji «i»/7z étant une qèeiiitité constaiatè p/idMi(P|>iiteqaè

yy^ "^^l , on am-ôity=ià oSe- ccïriêtan^* j oé' ^qùî' «é «e pei|t ; cal;' C*J9* ) ** ****?^ S'i^cii pàè fixe: '- ^^ < )

on s'est contenté de trouver réquatlon entre ûi[a; et J<, et par cons^qifent la sîttlatiôh dtf là\^èr^é'à'thaqiièînâi tant; maison a> j)>çiiitcpiiptrai^lf5lf coHgbflSiJÎ^flïh^^^ les dem corps^ Oju f^tôt on i^^cipRgtliii*^ ftes ^Ijy^feef:! pag. 35 , par une méthoae qu^oa ^voue^petre point géométrique , parce qU*èlTe ne tup^aose fkointj^ âépârâBbl\ des indéterminées; on auro.it pui^-giâpçquer cependant qae les équations H d^y^ y d-ê"" ef 4^d^ — z li:il*i'i auxquelles on parvient en faisant h^ t ^constant, donnent

u^,-^ — :± L-n^x-j ^ et pjr conséquéQjf j>( i/)î%è~^^

même constrùétion opà vie»t" d'Are dôtlîléft;'^! <-'i}'i ' • - ■ La courbe décrité'pdt^ilë Govps 1^ <|(>i)'^)^<la'^^tii'^c décrite paplecbrp|^,ipitifN^!'«c:±>^ii/;c ;^up '.-;';i ,i>l

Pij

ia6 TRAITÉ:

-î ■ ' '• ■ -. ■■ K'X^ Jt M Q tr JB ■

98. S*il yatroiscorpsZ), E, H, qui puissentcpu- 1er librement le long de la verge , on trouvera de la mêmç banièite qçe CLHaessua, une équation séparée entre dxeX d't; de plus, on aura par une méthode sembïâlffê rj à z^^ z:d\y\^fdi,pt fd s-^sdy^^ kdi, en jiwnniafeit dil^ diistancevariabledii corps ^ au cra-r tr<9)0ia; point fix^ Ô,.^ 3oppo$âj»t i^iuae quantité con»^

tainte^iiiâréreiit^ de^i Doijc.j// z — j5//y = ^ )C

{y d s rr:à ày{ )mJ^(^ .divisant p9X jr* et Jnt^rs^t ^

on^aofaj ^;."s±">^^ + :d[ ; donc si o» ^iVv^ y^u,

ou au, — ; =5^,^ + 7 > f Çt? étant des constaotes.

'•' Maintenait' on trouvera par la même méthode que d-dessUfe Çh tjp 'if te ( >i? ^ y y '■E'a'z'+B: s /) d so ;

a^Qite - : -u^-r < — ^ =?.. — > >, . ■ . . ■ ■.; DU

•J(i'3..:;ol ,U;o*n ''vT::*^' tr».'. j/Ij-'^ \-'^ r.

.<[u|9f{f)¥Ut e^^tf^ui^^ eifcore ^â^ns ce ças-çUes cpHrbes décrites par çhftJjun des corps D, E ; H^ , Il est.VisîWftcqye le prqhlê<nj3 ne pera pas plus difficile, quel que soit Ie-jH)i3alw:©id€j5 Ç&xf^J^.,-J^\,M.)\^ic.

DE D rrN A M I QU E. 117

99. S'il y a un corps A fixement attaché à la verge à une distance a que je suppose = t , et deux autres corps DyE, qui puissent couler librement le long de la verge , on aura par une méthode semblable à celle de Tartiele ^y ci-dessus,

2®. y dz — zdy —fd t. ;

3 • ^ C da:dt J = 2 gd t J7-— •

Faisons dan^ cette derniète équation d x =s p d t, ce qui donne / \ // < ^ ^^ , et nous Kùrons

il viendra d (-^'^^^^ = "^^^^ -^Ppdp

OU ■ ' -, ■ — i

ou multipliant par , et intégrant ensuite^ -—4

-^2yfj9 + L = 6,Z étant une constante :

P V ' ri' r, .• - .. ',

d!où. Ton tires la'ivakur.de)^' t et;jdk âf ^jèïip\ti dp^^^ de sorte qu'on avifSL dM at ïi^d p s et,/flîa?'?= * dp, n et * étant desTonçtion^ connues dcp^ dont la seconde 't est 5=: /?;q.;*;ji,^ ;.: I

On aura dQnc D y y + E z z = — j^ — A =

b n . y d z ^ z dy fd t

■T"î ! ■ ^ ; d'où Ton tire en faisant 4" = « *

l'équation séparée ^^'^^^ = f!^^^ . On

peut donc en ce cas construire les courbes décrites par les deux corps, et trouver la situation de la verge à chaque instant.

M^MUAB^Ul^ VI h

;/ ioçk Si Qiï supposoit deux corps A, B, fixeibent attachés à la verge , et deux autres qui pussent y couler librement 9 le probtén^e se résoudroit encore de ia même

manièce. . . « ^

Donc en général on pouVra résoudre le problême , qupl quç soit ie.nombredes corps attachésilxement à la verge 9 en supposant qu'il y ait outre cela deux corps qui puissent y couler librement. •

Donc le problème, pourra encore se résoudre également, si fé nombre des corps fixement attachés à la vergeM^st infii^L) c>sst-à^i^6 > si oit a égsâti à k masse dfe la verge. D'ailleùps , il esè facile dé voir que le eakul sera le même dans ce cas ^ue dans celui de la remarque précédente , en prenant la quantité A pour la somme

DE DTNAMIQUK 119

des produits de chaque particule de la verge par le quarré de leur distance au point fixe G.

' Enfîitfiqaafldily auroit plus xle deux corps pouvant collier librement le long de la verge , on voit par Farticle 97 , et par le précédent , que le problême se ré* soudroit encore par les mêmes méthodes.

Donc en général une verge droite quelconque 9 placée 9ur un plan horizontal, étant chargée de tant de coips qu'on voudra > dont les uns puissent couler librement le long de la verge, les autres y soient attachés, on pourra toujours trouver la situation de la verge à chaque instant, et les courbes décrites par chacun des corps libres, en ayant aiême égard, si Ion veut, à la masse de la verge ; problême jusqu'ici non résolu.