PROBLÈME III

101. Un corps P descendant le long d'une courbe C B, (Fig. 35 ) et tirant après lui un autre corps F par le moyen d'unjil PCF ^ui passe sUr une poulie C , trou^ yer la Vitesse de chacun de ces corps.

Soit P p l'élément parcouru, dans un instant par le corps P , et FJ^p /^l'élément parcouru par l'autre corps durant Je même instant. Dans l'instant suivant', ces corps, si rien ne les en empêchoît, parcourroient p iT = P p , ttf^ = Ff. Mais à cause de la résistance du fil et de son inejctensibîlité^ la ligne/? tt sera parcourue par le corps P dans un instant différent cîu pre-

mieri et dans ce même instant le corps F arrivera au point ^, tel que ^C+C-TT =yC +C/7. »ij

Supposons présentement que, durant le tems.^ue le corps P parcourt /i tt, il eût parcouru naturellement pi, et que le corps F eût décrit naturellement jT « ; que de plus , la pesanteur du corps F lui eût fait par-* courir pendant ce même instant la verticale m v\ et que la partie de la pesanteur du corps P f qui agît suivant;? /y lui eût fait parcourir la ligne i l; si on prend po^^ttl^ il faut, par notre principe, que le corps F animé de la seule force accélératrice représentée par -ar v fasse équilibre au corps P animé de la force /> o , et de la partie de sa peisanteur et de sa force centrifuge qui est perpendiculaire à la courbe Cp suivant /? Z. Or, en menant du point o la ligne o a qui rencontre Cp prolongée en a , et tirant au, il est clair que le reste de la force suivant p Z étant anéanti par la résistance de la surface courbe, il y aura équilibre ^ûF ^m v — P .ptt.

Soit donc u la vitesse du corps P , /? sa pesanteur absolue, g celle du corps F, Fy = dx^ N P = y,

P P = a S , TT t = a; où aura * / = ■ -,» ^ ' > ^t

p 0^ : F/: :i ^: P /?, c'est-àKlire ^ « = —

it d X 'dTs J

^ ^ — ^ ^r • soit 'sr V = » , on trouve ^ <zr ou

-.ddx- ^- — + : -, T — n ; de

plus ,

DE D r N AMI QJI E. Î2t

plus, à cause de F. W r ==P./? «, on a.F. » = P. j^ •

+ -^— =5— -;;— + ^. : MT^^ORJ^^aîieH^

U* ^ J^* et 3C r f f

j^ J ^ ,' » — Fi«*ax ddx^Tgd»*'dx-^Ppèt*'4r

, , (Pd«» + Prf»») . . %ru}Ê,djpddJt

zs.uduiOVi%udu. — -pdV* —+■■ "' ^"p^,M ' " ' • " ■

= % p dj-^ P î do'ït l'intégrale complète

Th-"^ — Tp'jiï — ^— r— '«■3/hjr.-~''-rv^Tr7-; et fiiiwoti

d 9* ' iP y — /

uu=iipk,<m trouve i& «=r „ . , ^ .^ . ,- — .

, On peut remarquer que ,^^ est la vitesse du corps

F ; carie fil étant inextensible j le chemin du corps F à chaque instant est au chemin du corps P , coïxtmedtv est kds^ il

A9\' S» on feit^=/7, on trouve i = -^rfl-THr/i;-,

ce*^(|ui s'accbfde avec la formule dotitièe safis démonstration par M. BeKpçul/If TomeJJlxies Mémoires^ de ^?i^hbii?ff}^ peutse4îrer aîséôœnt du principe de la conservation des fotçes„\^ves. » . ^ ,, -:.

^ io3. Si /; et.^ =,^j c'est-*à-idîre si les deux corps nont pomt de pesanteur, on a ^^i =

kteetbusiarfie... ^\^'- '• :*"^-. ., . ^.- • . .

104. Le problême précédent se résoudroit avec la ]taèa]^fiicilité.sblesxdanf.<»ipsétGfeiit filCBSEior^ieéqn'il^ fussent mus dans,,un milieu résistant coqtupe une foncticm dû }â vîtesisp. €airalj9n> * mettant dan§ tes cakruis

-^jr '-^ '<P u {^y^LM lieu de —7,^ > et dans Téqua-

ài^^; -î f:

tlon dû'prîfclème,\^+^ C"'77~y ^^ '^^^ ^^^> ^^

auroit upe éqi^atiQn doat.Ies indéterminées pourroient ihômè être séparées dfans quelques cas , comme quand ^/u, ma ^ b U, Ujj a et ^é^anili des constantes quel-

". ' . .. ' ^" f ." !j . ■; \ ' j . j IJ ■ . MJ ' . i>j Àj. ' j ju I ' " ' I JIM . (*) Cette quastité f u exprime eo général une fonclioa, de u»

DE DT N AMiqU E. U3

conques. En effet, puisqtaè, çohtibîssantïê lieu du corps F, on cpnnoît aussi celui du corps P ^ on a pour une situation quelconque (ïes cÔffW )^, P, le rapport de dx k d s; àe plue, parla tiatbrfe de fa, toiirhé.C P p i oti connoît le rapport de d y k d s ; enfin si on fait d X — a d s , .on aura d d x = d à a s^ H on cônlioîtra de même lé rapport âfi d(j aâk. Uojfi'c, sup^osanê dy ^r ds,ti d q =fc z d s,oxi aura dans lé cas présent

équation dont léé i0dëtëi4»în4e« jjetiv^t être séparées par les méthodes connues , en supposé^nt la quadrature

des courbes.

CoftOLLAfRE IV.

io5.Si chacun des deux corps étoît mu surunecourbe, alors nommant (Fig-36) F/, dtj Fu, dcè} Ï^JSf ^dz.

m d t ' g d z as*

on troiîlrerDit ^ » =i^ • ^ ^ ■ ; ût * =±

au lieu de F « il faudra mettre ^V *- (. a7>,- et ?iu ^eu

àt -^ d à x=^ 'f^ + ~-^-^^ ->~ n, o^ écrira

(^7) Parce que le corps P n'a plu^ à faire équilibre au corps F animé deld vitesse v f , mais de la vitesse qu'il perd suivant la dFrecâon dfi Û^ le reste étant anéa&ti parla résistance de la courbe.

— ddi= ' *j^ + - ^Z . J, -—^ n ; le problème sera

résolu moyennant ces légers changemens, et "on trou-

,r im.(Pds*-\-Pdt*y -\ j ■ SFgdz

Vera d [- %^J ^J = 2/; fl^j^ J — .

Squation qu'on poùrroît trouver aussi en Se servant du principe de la conservation des forces, vives. Donc si la valeur primitive de u est zéro, et qu'alors j soit = A ^

u u . (P d s* + F d in

et z = o, on aura — p . j a» """ '- — ^ = 2/; x

, C O R O LJL A I R E V.'