Si dans Farticle précédent on fait uu — ipktt
/? =^, on aura ^ = - — pT^ + fI? • ^" P^"*» ^^
Ion veut , faire A — o, en supposant que le corps P
parte de C, et Ton aura h = pj^r,|,p^/ .
M, Herman , Tome IL des Mémoires de Pétersbourg, a donné une solution du problème que nous avons résolu art. io5. Sa formule ( en faisant A =^0) revient à
/F d X' d z 1 —TT^ J
ât
^ — =- , , ■ ^ , -; s= ( en faisant
dt*^dx* + d<f*)
DE DFNAMTQUE. 125 Or la valeur de ii (en faisant g= p) se trouve par notre solution ^P K^ y - ^ ^ )'^^' -^^' dg^]
pression qui ne sauroît revenir au même que celle de U.Herman, puisque la quantité négative — Fu* dq""
ne sauroît être égale à la positive/^ ^ ^^^^^ ^' )fl?^\ II y
a donc lieu de croire qu'il s'est glissé quelque inadvertance dans la solution de M. Herman , parce que le résultat de notre solution s'accorde avec celui qu'on trouveroit par le principe de la conservation des forces vives , et que d'ailleurs elle n'est appuyée que sur des principes fort clairs (28).
107. La solution du problême III. pourra paroître un peu longue : mais j'ai cru qu'il étoît à propos de faire
(28) Deux choses rendent fautlye la solution de M. Herman.
. d s La première est qu*il égale le produit de par l'effet instantané
de la force motrice d'un des corps , à la somme des quantités de mou venaient que les deux corps reçoivent pendant un instant, au lieu qu'on ne doit l'égaler qu'à la quantité de mouvement que reçoit celui dont on considère la force motrice > comme on peut le voir par Yart. 107.
La seconde est qu'après avoir nommé u la vitesse du corps P suivant P p^ et l' la vitesse du corpsFsuivant F C, il suppose que l'on ait ^1» :dv: : ds:dA\ Il est vrai que u:v iids :dx^ puisque ces petites lignes sont supposées parcourues dans un inéme instant avec des vitesses uniformes; mais la conséquence qu'on en tire suppose que dset dx soient constans , ou au moins que d d9 : ddx i:ds: dx; ce qu'il n'est point permis de supposer.
voir comment mon principe s'y applique. Car si on vouloît résoudre autrement ce problême , on pourroit sy prendre ainsi. Soit Tla tension du fil , qui agit également
suivant CP et CF^ on aura ^^^/ ^ff" pour
la force qui accélère le corps P suivant P pftt T^2,
ï^^y^pour celle qui accélère le corps F suivant
Ff; on aura donc ( — j^ 3T^} ds^P udu^
" (-/<- - -^) <" = T -^ (-^-) , d OÙ Ton tire en ajoutant ces deux équations , et inté-
grant, uu+ p ^ ,, = 2 /? j ^ .
Cette dernière solution est à la vérité plus simple que celle de l'article io5; mais je croîs que d*un autre côté elle n est pas tout-à-fait si lumineuse ni si directe. Car, à parler exactement,' le fil n'agit point sur les corps ; il n'a qu'une force de résistance, et nullement d'impulsion.
PROBLÊMEIV-
1 08. (*) Un corps P étant mu dans une rainure courbe P p TT, ( Fig. 35^ } oïtilest anitné dune force accélé-
(*} Quoique ce pffoblême soit ici à sa véritable place eu égard à l'or*" dre des matières, on peut néaninoins, si on le trouve trop compliqué ^ en remettre la lecture après celle du problème VU et de sesCoroiJairea.
^trite quelconque <p , et trahwnt après lui deux au^ ires corps Af > M , p^r le moyen d^une verge inflexible M P M , on demande la vitesse du corps ^P et les cour^ bes décrites par les deux corps Af , M.
Soient P p, M R, M R les lignes décrites par les oQfpa P s^ M y M durant un instant quelconque, je fais /? TT = P p =p ^ , et je suppose que dans Hnstant que Iç Oijrps P parcourt /^iTT- par son mouvement contraint il eût parcouru naturellement et uniformément pj*, et de plusy q en vertu de la force ^ ; je fais de plus ii i — A/ iî; R î = M R ; et ;e suppose que dans le jaîêrae lems que lé corps P parcourt /? tt , le corps M çût paroauru £ JK > et le corps M, R K, il faut par notre principe décomposer la force suivant K K en deux autres R Z^ Re, et la force suivant RK en deux autres RZ/Re, qui soient telles, que si les corps P, HT, M, h'ëtoient animés que des seules forces tt q, Jt\^ ,R Z\ ils se fissent équîKbre et,que le système demeujât en repos, et qjue s'ils n'avoien»t que les mou-vemens p tt^ Re,Re^i\& pussent conserver ces mouvemens sans se nuire réciproquement, c'est-à-dire que Ton eût7re:^PMj tt e=^P M,,etee = M M\
Jç d^ftQiïipQse,d>bQr<A la force sufvant R Z^n deux au4ires, êmt Pune R J^ soit dans le prolongement de p It^et clé même la force suivant R Zen deux, dont Ttme R V soit danô le prolongement de p R ; et je suppose it F^ et R V tdies, que les corps P , Af , M animés des seules forces t y , H F", R V se fassent équili-
, bre, ce qui arrivera si, en imaginant ces forces réunies eappldi force unique qui en résultera est perpendicu-
laîre à la rainure^ c'est-à-dire sïPxtt q= p j/T"^
Il ne restera plus aux corps M^ M que les force» lî X , R X qui doivent encore se détruire mutuellement , ce qui ne peut arriver que quand les lignes lî X, R X sont dans la même droite 2i R , et qu^on a a/.ilX=M.RX. (B)(3o). '
Soit à présent PM=a, GM = y,gM = y, PM — b, la perpendiculaire constante P Q = c, la ligne MM ou it R, e, w la vitesse en P suivant Pp ; P p = d X, Trf = «, itXi=^, R X =2, on aura
q = — ^. , et TT 7= a + — ^
' (29) Les forces suivant RV,^Y sont ici décomposées en forces perpendiculaires à ;> sr , et en forces suivant ^p F : les premières sont détmîtes par la rainure, ainsi les secondes doivent anéantir la force « 9; or
elles sont -^i^i£-^, et - ^p^^^ S en effet, il est visible qu'on
peut regarder p R comme parallèle kPM. Ponc PX^qzz etc.
(3o) On pourroit demander si l'on n'est pas en droit de supposer fout de suite que A 2, R Z sont couchées sur R f^, R V, et font équilibre avec la force suivant ^9, puisque ces forcesdoivent être détruites ; pour répondre à cette question , il faut observer qu'une telle supposition entraîneroit celle-ci, que les deux corps Jf , M n'agissent point l'un sur l'autre , ce que la nature de la question ne permet pas de supposer ; car la verge étant inflexible, et l'angle Af P M constant (hyp.) les corps M 3 M sont dans le même cas que s'ils étoient unis par une verge inflexible M M.
Si
DE D Y N AM iqUE. 1^9
Sî du centre p on décrit lare tt es-, et qu'on tire les lignes 7ri,7rK ;Ro; parallèle à VK; o e sera égale et parallèle à it X(3i) , et nommant r le rayon osculateur
en /; , 1 ®. Tangle de /? it avec P M sera ^
»/ a a — jry
+ .Af- ; ( 32 ) or ^'^P^ est égal ( art. 91 )
au qûarré de cet angle. Donc ^ i — p R =: a x ( , , ^^ -. + £f )\ 2^ On aura aussi
(3i) Car s! on imagine ZK, cette ligne tera égale et parallèle à R e,k cause de la décomposition qui a été faite : de plus, la ligne R o est parallèle à VK par la supposition , et elle peut être censée lui être ^ale, . parce que KottRV peuvent être censées parallèles , et que RV^Ko^ sont infiniment petites du second ordre ; donc le triangle V ZK peut être censé semblable et égal au triangle Reo; donc VZouRX peut être ceubée égale et parallèle koe, -
(30 — ^^ ^^ ïa différentielle de l'angle GPM^et doit
\/ aa — jry
être égal krpR^^GP If; parce que l'angle GPM e%t considéré , non pas comme Tangle que P M fait dans toutes ses différentes positions avec, la même ligne PQy mais comme l'angle que fait P M avec chaque côté Pp parcouru successivement ; ensorte que l'angle GPAf devient au second
HUtant r p R et par conséquent r p /l' — G P Si^
y/aa—ypr *
Outre cela l'angle r p P est = , parce que l'angle des deux
côtés de la courbe est égal à l'angle que font Iesrayo|is de la développécji Or^l'angle AepR avec PJIf est Tp/l— GPAf+r;DP. Donç«elc»
i3o TRAITÉ
r étant toujours le rayon osculateur de la courbe ji P p tw p. Z^. Si on décrit du centre h les arcs M N, P T, et du centre ^ Tare (*) i Y , on aura
T K ou T £ — TT K= JLJLi^^JL^ ou ( à cause que iK'.MR:.7rf'.Pp) F K= 'A^^ =-^^4r"
et ( 34 } ^ O — TT e = j,p = — *^-*-5 '—
MitaMkriÉM*^
(33) w ï— ir I = * , parce qtte le triangle « 5 w rectan-
gleens est semblable au triangle ilf 9 Pi sr» pouvant être censée parallèle kPM.
(*) L'angle »îK ne diffère qu'infinioiefnt peu de Tangle aigu PMR, quoique cela ne paroisse guère dans la figure, oii l*on a été obligé pour éylter la confusion , de fiiire assez grandes les lignes MR,R£ qu'on suppose infiniment pcéitei : d'où l'on vent que l'arc il^doît tomber au-delà de I JS: par rapport à sr^ et qu'on aura xuitria&gle iTK semblable à MRN.
(84) «r o»^ «p ^= — ^ — .. Car menant e t perpendiculaire k
^ o , la différence / o des lignes it o y w f peut être prise pour ir o
~ « tf ; or < o = HTp * parce que le^ triangle o e ^ est semblable au triangle M Q P, oe ayant été démontrée parallèle kRX on MM, et oi Tétant kPM.
DE DFNAMIQUK i34
a (-—rJJL + -i4-V ; mais U ligne tt «
doit êtïe = P M. Donc (C) »|/[«'-^M
^>Ar^ >|/Ia^-.r'j ^^^
o ( — ''•y + __lf ^)' Oa trouvera da
Je remarque ensuite que - — j-^^ — est égal a i an-
gle de ;i K avec P M; or, on a vu que cetaogleest
fj- +-i^.DoncAf.Z\r=Pr+P^x
J^ rf ■: N ydx a d y
+ .fif. Or , l'angle de «r i avec ;^ H est égal
( arf. 91 ) à l'angle de /? iî avec P M; l'angle de
«. ,• avec :Ti =. — ^-^^ î i'angle de ^* avec
Rij
i3a TRAITÉ
^ ^ =» "PÂT - MR.PM = Pp.MP î l»"g*«
de TT jK ouTToavec 9r e = " ^,- ^ *^ = -ii-. Donc
Tangle de tt e avee w / ( c'est-à-dire la différence se* conde ^e Tangle dep Ret P M)' sera égal à Içi somme de tous ces angles pris avec les signes convenables >
c'est-à-dire qu on aura (E) d ("^T^zi^j + "T^')
d x^ .1/ [a^ — y] a / y dx
a d Y adx \ z c i a
-pq^^r£py-+ -7-; ^^: on aura de même
Si on met ensuite dans les équations A et B ci-dessua» à la place des lignes qui y entrent, leurs valeurs analytir
ques,onauraP(.+ ^)= ^» ^ ^> •[^'-^M
+ M.RV. v-t^;-y'3 (G);^g-= ^ (H);
et enfin -~ = "/" (L).
On remarquera de plus qu'à cause de rinflexibililé de la verge, l'angle ikf P M est constant , de sorte que -^
DE DFNAMIQUE. i33
Êst toujours donné en -^ , Employant donc les sept
dernières équations à chasser «, u^RV ^ RV,2etz, on arrivera à une équation finale qui ne contiendra plus que dx avecy, dy, ddy, et qui sera Téqùation d une des courbes* Après quoi il sera aisé de trouver l'autre. Pour simplifier les calculs de ce problème, on nommera Tangle MF Gj C, et Tangle constant MPM.^ A ;
ce qui donnera — ^ zz, d Q^y :=i a sin. ^,
y a a — y y = a cos. €*,, — -
d{A'--€) = ^d€;y = b sin/ (^ — ff),
K "^ ù — y y = ^ <^os. (A — €) j ou, ce qui est la même chose , y = ^ sin. A cos. C — h sin. C
cos. A , et[/'bb^^yy = b cos. A cos. € + ix sin. A sin. ^. Cela posi^, on mlettrà d'abord dans toutes
les équations , à la place de «sa valeur — ^ — ^— , et
à la place de z sa valeur ^ ; ensuite on tirera
de réfauàtion (E) une valeur de ï; qui étant mise "dans (C) et dans (D), donnera K K^tt R V; et ces valeurs de \R ^.et de R V étant riiîses dans (G) , on aura une équation dont Tintégration donnera la valeur de u; mettant cette valeur de w dans l équation (F), on. aura une équation finale qui ne contiendra plus que ^a? et ^ avec ses différences dCy dd.€: .
i34 TRAITÉ
Si (p étoit = o, on n'auroît pàs besoin de la dernière équation (L) pour trouver l'équation des deux courbes; cette équation (L) ne seroit nécessaire que bour trouver a vitesse u. t
RlSMABQUS L
109. "Si MP, PM étoîent des fife , alors les forces suivant it X et RX seroient nulles, et on a^uroit z^o et z = €)• Mais comme y ne seroit plus donné en y , on auroit six équations , et quatre inconnues â&^ R F"> R y , et ^ à i^re disparoître; il restera deux équations^
Corollaire I.
< 10. Supposons, pour simplifier les choses, que r^o, h s^Op <p s=/) ^ c'est-à-dire que Je corps P soit dans une rainure droite et tire après lui yn seul coips ikf , par le moyen d une verge ou d'un fil ^ ce qui dans le cas pré-
sent revient au même, on aura RF^= ^^ y r ^ "" — tt" ^ - ^ ^ ^ -^ — : doù ion
DE DrNAMIQUE. i35
*- — y-^^ — PT^ V Soit d X ^ AJl et Ton trouvera
après les substitutions
»/ a» — jr* X [ l' « « + «^ ( «* — ^M ] M A^ dy
— 7 rr"ïi . ir "7~ «\ 1 • Cette équation
étant multipliée par —^( paa^M[à* -y- ) T ®* ^^«uite intégrée, donne ^ [ p7 a + m T?-^ ^7^1" = ^ +
i [Paa + Af(a--:K')3(itf+P ir^ ^ marquant une constante prise avec cette condition » que le rapport dt dxk dy exprimé par ~ soit égal au rapport donné de ces différentielles , lorsque les corps commencent à se mouvoir.
Corollaire IL 111. Soit dans le Corollaire précédent , la ooqstante ^ ^«o, on trouve/^ =t—2r^---Vl^
dx^
(M + P)|/[a«-jr'] •
Cette dernière équation fait voir que dans ce cis la
courbe cherchée est géométrique. Pour la construire , on supposera que CP (Fig, 2>Q) soit la position du fil au premier instant , et ayantdécrit duceritre P lare CMK^ et abaissé d'un point. quelconque M la perpendiculaire
MG, on prendra iVr5 = G P,puisP0=|-f,i4-,
et ayant tiré O T égale et parallèle à P 2tf , le point T sera un des points de la courbe* Pour en trouver Téquatîon par rapport aux coordonnées NQ,QTj on remarquera que Q T—MG:=iy ; et appellant N P ,f^
NQ,t, on veiTa que NQ = BT=^OS ^ !!' ^ ~
= -^-?^-t,/(— ^J)-/]. ^^— . On a donc t =^ [V { a a -- yy)-- f], >^^-^— ^ et
^ + —éfpT = M+P ^ ^^ [«^ -7J]' ce qui est lequation d'une ellipse dont le centre D se
trouvera en faisant ND = ^/' ^ , et dont lesdeux
Af + p
axes sont D E = a^ etD X =i Cg = .
iif + p •
Donc lorsque rimjpulsîon primitive des corps P etM ^ sera telle, que le premier dx soit au premier dy com-
™® (itf+p7|/ [ I'— jr'J ^^^ à 1, le corps Af décrira yne ellipse, telle qu'on vient de la déterminer.
COROLLAIRJE
DE DYNAMIQUE, iSj
