PROBLÊME V
11 5. Unjil C m M^/fere e/i C, ( Fig. 40 } et chargé de deux poid^ m , M , étant infiniment peu éloigné de la verticale CO^ trouver la durée des oscillations de ce fil.
Soît m u l'arc parcouru pendant le premier instant par le corps /w, et M" y l'arc décrit dans le même tems par le corps Af. On peut regarder le corps M comme ayant & la foiis deux mouvemens, dont l'un Af V est égal et parallèle au mouvement viu du corps m y et l'autre J^ v est un mouvement circulaire autour du centre /// ou u. Nous décomposerons d'abord l'effort absolu de la pesan*
leur du corps m suivant m Q, en deux autres, dont Tua soit capable de faire parcourir au corps m la ligne m u dans le premier instant, et Tautre soit dirigé suivant la • ligne m R dont la position est inconnue. Ce dernier effort doit être détruit, puisque {hjp.) le corps m ne peut se mouvoir que suivant m u. Nous décomposerons de même TefFort absolu de la pesanteur du corps Af suivant Af Z, en deux autres, dont Tun fasse parcourir au corps ilf la ligne MJ^y et l'autre A/ N puisse se décomposer de nouveau en deux autres, dont Tun fasse parcourir au corps M la ligne J^ Vy l'autre soit entièrement détruit, ou, ce qui revient au même, fasse équilibre avec Tef^ fort suivant m R qui doit s'anéantir aussi. Or il est nécessaire pour cela i®. que l'effort du corps M qui doit être détruit, soit dirigé suivant M F dans la direction de m M prolongée; 2^. que cet effort soit à l'effort suivant m Ry comme l'angle infiniment petit S mR{ fait par m R et Cm prolongée ) , est à l'angle M mS (35) , parce qu'il ïbxA pour l'équilibre que la force résultante du concours de ces deux efforts soit dirigée suivant m S. Cela posé, Soit Cm = / ,/? la pesanteur du corps m, P celle du
(35) La (brcer ésultante et les deux forces composantes sont, comme on Pavu , représentées par la diagonale et les côtésd'un parallélogram* me fait sur leurs directions, d^oti il est aisé de conclure qu^elIes sont aussi représentées chacune par le sinus de l'angle compris entre les directions des deux autres; mais quand les angles sont infiniment petits ils sont dans le rapport de Ieur« sinus. Donc etc.
DE DYNAMIQUE, 141 corps M*) M m = L, mK=x, MQ sj, ^.1a force accélératrice suivant mu; on aura i ^. la force 9 à la pesanteur p y comme Tangle RmQ est au sinus de Tangle droit A m u. Donc nommant le sinus total 1 , on aura
Fangle 21 ot Q = -^ • 2^ On trouvera de même langle
NML=-i : donc l'angle P)K^= i^ — f , et
la force accélératrice suivant J^ v ^ P T-^ — ^^ •
mais Teffort du corps M suivant M P, qqi ne difiibre qu infiniment peu de son effort suivant ML y et qui peut par conséquent s'exprimer par Mx P> doit être à Tpffort du corps m suivant //i 2Î ( w x/? ) : : fangle RmS
ou ? — ^ est à l'angle ilf iw 5 pu ^ —- -f •
donc ,«.. <p = J2|5 - Af . P X (f -^ -:f ), et
par conséquent (p = -£-^ — ^ — T-^ f)^ ^*
Tefiort suivant ^ v sera ?/ ' ^^ + ■ -' ■ ■
Si on nomme présentement t le tems écoulé depuis le commencement du mouvement , on a {art. 20) les équa-
,t-Jdjr^[Z^. i«t±i)^.(^ +^)]rf«- (N).
Ce 9ont ces deux éqjaations qui serviront à déterminer le mouvement ide chaque corps.
Corollaire L
1 1 6. Si on suppose que les forcés initiales suivant m i^ et F^v soient entr elles, comme mKkMQ; c'est-à-dire si
jé dis que les corps Af , m, arriveront dans le même tèms à la VeKkale C O. Car il faut pour cela que le* arcs M Q j mK soient parcourus dans le même tems : or si Tanalogie précédente a lieu , les petites parties dont lés arcs m K , MQ diminueront au premier instant et dans les suivans, seront tentr'elles comme ces arcs, et les forces accélératrices seront toujours entr'elles comme les arcs qui resteront âfpajîcpurir jusqu'au point de repos. Donc etc. Lanalogîe ( O ) étant réduite en équation donne
pxy , MPxy M Vyy __ yxP r M + m > œ a: / , Af.P N j
Y , Jfef+m pLm . L TpLm . L , /A£ + m pLm ^ \ ^"1
^^ ar ~ 2 M '^2PMl'^ 2l±yiMPl^ l^\ %M iMPl 2I J >
(36) On donne ici le signe ^^kddxet ddy , t/uoîque le mouvement soit accélér^^ mais il faut faire attention que / croissant, x ety diminuent.
DE D r ISTA MTQUÈ. 143
C O R O L L A 1 R'é II.
ii^i "Sî P' *i= /»,. c*est*'ài--Bih» si; kftiicorf» AÇ et m sont de niêûie gravité spécifique y i^dD' J»nr<9t
y + .r Jlf / •— m l + 1^ L' + '^ I^
quantité qui est sous le signe radical se peut changer en
alors le rapport àey + xkx -ftera précî^mentJe mêtne qui a été donné pour ce cas seulenoient, par M. Dan. Bern.Mém^ de 'P éteYébourgi TorneVJ^p. 1 1 f r CetÀuteur en a donné eivstiûte la dénionstration dâi^siêi Tome VII des naénies Mémoires. M- l&uler a d^nné a«fêsi dans^ le Tome VIII une solution de ce même problème^ Comme il est curieux, etquil peut servira en i^ésoielre; plusieurs autres semblables , j*ai. cru devoir mon^trçr comnient mon principe s'y applique. Au reste je ferai voir plus bas qu'il y a d'aylres ças' que celui-ci, oii les deux corps arrivent toujours en même tems à la ligne yertîcale CO.
C o R G L L» iir r. B K, 1 1 L
118. Si la situation du fil CM m au commencement du mouvement, n'est pas celle qui est indiquée dans le' Corollaire qui précède, ou si çn général cette situation est quelconque, il faiii rècôuriif en ce cas àTîntégràtion
4^4 ' Trait e
des équations (K) et (N) de Vart. 1 15- pour trouver le mouvement des corps m et M. Je supposerai d^abord , pour rendreies calculè'les plus simples qu'il sera possible, non-seulement P» = />, mais encore M—meil^L; àe plus, pour rendre les équations (K)et (N) homogènes, je supposerai que T soit le tems pendant lequel la force accélécatrkse p fèroit parcourir au corps m ou M un espace=/; de celte manière les équations (K) et (N) seront
changée? en celle-ci : (P) — ddx — {2 x^^y )\ -îj^J- ^
. Pour intégrer ces équations, je me sers de la méthd« de qtie j'ai donnée dans les Mémoires de t Académie des Soienceâ de Prusse, année 1748. etailleurs. Je multiplie la.fteConde par un coefficient indéterminé y, et ensuite fe les ajoute ensemble, ce qui donne —ddx — r d dy =
' y* • X(2 — 2V.XX2V — I.JK)* • • • (^y J^ ^^^ ^^'
sortfe que (2 — 2 r) x + (2 v — 1) y soit un mul-
tiple de — a; — K jr , ce qui donne 2— 2 k= — — — ^
et K = + — L-^ ; donc faisant a: + r j = a , ou plutôt
X + . ■^^ -= «, et « — ■ ^ ' =«', on aura I^deux
équations —a? </a=(a — ^ a). — LîUlfL.
et
DE n F N A M I QUE. 145
ict«-tirfû?tf.'c=(i2J+-:/- 2) 1 * " f ^' ) . j! pirfUptiant par >•'?
d ou l on tiçe. 7r=:5===-; .==^r~ '^ "^ : . -:?
parce, cme r croissant, u diminue: donc m = ^ cos,
grales qui sbntcompîettes, parce que âx eiJy éîant = o' lorsque. f p. o^jl. faut que fiM £t.^ /fNsjoie^^ itj 9 lorsque t = o '; de-là on tirera les valeuris de x et de y , et oîfi déterhïîWèrâ' les coristahféë-^ et .B'^p» léSf V*^ iears cônmies e t données de.a: et de»jrlorsqne < =±3 cuo
I il ï jf --^ 21 Q rr £ . i.
: j ^j9-îc^;Î>!^9 cherche .dftns, le cas . qi^e.,n9uj .yefliia?? d*examîn^r au Corollaire précédent , ç est-à-dîre lorsqne-P =7 ^M^intiL^P, quef ^'dôit ' èt^è^^l^^i^âpL porldes lignes X, Jrppuravie les corps ^^^ A^n-îvçnt dans le même tems à la verticale , orf trouve¥a (À^t. 116)
^nv*j£tip^ v.i)' I. •::>{/ \ ^ -: ^ ' ^:;')Ci /^.")r ooI'J'm^ .*"^1?!!^
et -^ = + »/ 2 , la même valçur au ori a trouvée pour
•j/ilTcîbci iïï / •j!:;\''^ y • . •' î! — - t; > : .'î'^ ^'' » . . Vf lil
JL Kn effet,. PQur peu qu'on fasse dlattention à la iïb.-
ture du problème , on verra que c^^i^Q^hyM é^Wifiwsp^
i46 , TRA ITJE
m , M, les 4çux valeurs de \ doiveat éttie les mêmes
gttc celles qye tJoît avoir -^^^^ » pour iifiè les poids » »
iljf ,arriYertt tous deux en même . tems à la verticale, tar lorsque les deux corps arrivent en ménie tems à fa verticale, le rapj)ort àexky^àedx à dy etde ddx diddy est toujours constant et ëgàl au rapport de jf à -P; Or supposons dans ce cas Tiadéterminée f telle que
J Z-; iijest clair que dans Téquation-r-û?^^ —
le pBeipîjge^n«mbre sew Z(^o;;Çt par çons^qvieïijt Ie,spcand devrfif J'être. aussi;; ce qui arriioera^ x» si Too a
^ — ^ ^ ^ :J: ZL î— , ou bien si
on a à la fois 2 — 2 if=6,et 2 v — 1=0. Or ce idélrrtier icâi^"renfermant ctjntradlction i.il'^'ensuît que
réqim^ion. <jui dçnne la valeur de v lorsque — =:— — 5^^
est l?it^ JLI 1 -. -L , ta même précisément qifon .4
[C r t .^^VTi■f /i.'. ■.^' ■:-, ,'.' . ■. ■ •■• i' ■■:■■■ ■<■■ -a; - .-t. , .»
ifaiY^é§ 4 -^^esfeus ^ g^éf^d ,; lorsqueJe , rî^qrtik P i yiSTest quelconque. Donc dans cette dernière équation;
la valeur négative de 3- doit être égale a la positive de réquàition qui donne le rappoH de'JP à j£, étia
DE DFNjiMiqUE. 147
R E M Jt BQU E II.
i'20. Or^sent. assez <jue le; raîsonueraent de larticl^ précédent peut s'appliquer an cas où Ton a'a ni P ::z^p^ ni M" = 772, ni L = i; et en effet , si Ton veut prendre la«pèînetle faire le calcul , on verra que Téquation étant
ordonnée par .rapport à -^,. elle ne différera que par
le signe du second terme , de Féquatîon ordonnée par
rapport à -| .
Car en général les équations (K) , (N) dç Tar tiçle ,i 1 5, peuvent être représentées par dda: = .{ a a; + b,y ). d f * ., et ddyzz{cx+ey). d t^. Or pour que les corps ^xn^ veni en même tems à la verticale, il fkuk qiie a x^b'y :
c a: + e./y : : :r : j, et pour avoir, la valeur de — ^îl faut qœ a +- c fi.aç **-i*-i^^-^é Les deiix équaiSckto
ordonnées, Tune par rapport à X, Tautre par rapport à —, ne diffèrent >qHe par b signe. du second terme.
. Ilestaisé .devoir que ki quantité qui est s9tf s je sij radical dans la valeur de -^ ( art. 116), est toujours
réelle. Atnâi les racines de cette équation ne seront ja-
inals «êgéttes; donc réquàtibtf en ràjHJnVfe^ inâmçs r^-
T ij
cines en signe contraire que Téquation en ^» il sen-
suit que ¥ n'aura jamais deux racines égales. On peut voir encore très-aisément que la quantité Radicale est toujours plus grande que Tautre ; d'où il s'ensuit que ja-
mais ^ n aura, une valeur = o , lii par conséquent —,
/ R£ JBH ^ R Q U^ É 11<1.
121 i Au reste, je n'ai considère dans la solution du problême précédent, le mouvement du poids Af, cpni* me composé de deux mouvemens , dont l'un Af /^ lui est commun avec le poids //z, l'autre F^^y'èst un mouvement de rotation autour de >h comme centte , que poiït- préparer le Lecteur à la solution de quelques profclênies qur suivront , et que cette considération rend beaucoup plus aisés à résoudre. Car on auroit pu décomposer d^àbbrd l'action dé ïa pesariteui* M suivant sft/ X, en dejax autife^y doht Fune produisît le mouver pient M V du corps JVf, l'autre suivant MF fût détruite. De cette manière oh eût eu la force accélératrice
suivant Wv=^ k pX ^?VMP z=^ ±£-li l'angle
donc l'angle R m Q auroit été = ^ " [ (z" — -)^ r.A > et par coiiségyent la force accéléraiU-ice sui-
DE DrNAMIQUE. 149
vant m u auroit été le produit de p par cette dernière quantité. Ainsi comme a; est Tespace que celte dernière force accélératrice tend à faire parcourir au corps 772, et a; + y celui que la force accélératrice totale du corps ikf tend à lui faire décrire , on auroit eu
et — ddx — d dy = f— --^-"l r/ r * ; deux équations,
dont la première est la même que Véquation (K) de Tarticle 1 15, et dont Tautre n est autre chose que les équations (K) et (N) de ce même article ajoutées ensemble. Cette solution par conséquent revient au même que celle. que nous avons donnée curU 1 \S.
122« Si on appelle x^y les distances des deux corps à la verticale , qui dans la Remarque précédente étoient X et y 4- x^' on aura les équation^» du mouvement des deux corps en mettant dans celles de larticle précédent y au lieu de a? + j'» et par conséquent y — x au lieu de y^ Soit de plus P — p ^ a IVspace qu'un corps pesant |>arcourroit librement en tombant durant le
^ = >— ♦ n .— ; on aura
( art. 118) pour les équations générales du mouvement
r1»c A^ftir nnt-rkc
des deux corps ,
tSo TRAITÉ
— ddy=^ {p x^ ITj)
Et en suivant précisément la méthode de Tartide 118, on trouvera que les deux valeurs de v sont
^ -A+n+/ir^' + 4r^ ^ Appelions f , » ,
ces deux valeurs , on aura u = A cos. -^ j/ a + » (p ;
u = B COS. -=■ ï/ A + »' (p ; a; = TniTt
v= "~"*^ : (foii il s'ensuit qne si on nomme
« et ^ les valeurs de x et de y lorsque f = o , on aura A =ss'.ei, + f C, B=,» +.»'>»
( F * + ». f' ff > COS, —y- »/ A + »' ^
^ ■ • : • et
{m.+ I ff ) COS. — jr- V^ A,+ » «
. (. • Ht .' C ) C08. -^ l/T+T^
DE DNNAMICIUE. î5i
'île là il e$t fiicib de trouver «ne 'Construction qui do«itie la vaieur de a: et de y ; car sok a? ^ C ces. p lt+ r G co«* tf t; y tsi H cos- p t + N cds; y / ; soient décrits ( fig* 4* ) de« arcs de cercle des rayons Cui^ Gy CD ^ JS , C B ^N , on aura (en feisanl: Tangie ji^ ,C fj ^p, t ^ ^t l'afigle AÇf^^qt")
x=^CZ + r : C G\ et y ^' ^^xcp ^
