COS

en ce cas si cos. -~>^ A + i^ ? = o , on aura aussi

COS. ^ »/ A + v'^ =?= o. Et il faudra pour que toutes les demi-vibrationsfinîssenten même tems, que4//a— 3 ne puisse être égal à //^^;+;^] ni à ] + \,\ ; or

c'est ce qui arrivera si on prend par exemple , at et ^ tels que ci + v' S soit fort petit, sans être absolument zéro ; et ce seul cas fait voir qu'il y a une infinité d'autres semblables qui ne sont pas moîns possibles.

Le premier des quatre cas de Vart. 1 24 n'est pas non plus le seul où les vibrations et demi- vibrations soient à la

fois synchrones. Car soit par exemple — -^^"+11-^^- =: ^p

m étant un nombre entier impair ; il est clair que sin.

ty/ A + >y __ Q ^ rendra sin. -57 V^ A + r'4>=o;

car alors on aura ^*^A + r'<p = àun certain nom-

bre de fQÎs la demi-circonférence , et par conséquent aussi ^ »^ A + ir>, ou -^ 1/ A + v (p = à un cer-

tain nombre de fois la demi - conférence. Dans ce

DEDTNAMiqUE. 159 même cas il est aisé de voir que cos. ^ i/A-fy^ = o,

donnera aussi cos. ^|/A + y'<p=o; car alors

■jr *^ ^ + ' ^ sera égal à 90 degrés pris un nombre impair de fois ; donc il en sera aussi de même de ^ *

|/ A + r ^. Donc en ce cas les vibrations totales , et les demi-vibrations finiront toutes en même tems, si les autres conditions énoncées plus haut dans cet article 1 25 et dans Varl. 1 24 précédent , sont observées 9 par exemple, si « + y' ^ est très-pelit etc.

Remu^bqub V 1 1 1.

1 26. Si les deux corps avoient une vitesse initiale, ensorte que ^f^ fôt =^> ^t ~ ^ — h ; les équatiens ne seroient guères plus difficiles à intégrer. On considérera pour lors que d x étant =z ' àu-^^ du

tX d y étant = du-^ du — ^ ^^ ^^^^ 1^^ valeurs de

^'* et AJtL. lorsque ? = o , et ces valeurs seront exprimées par. une équation fort simple en ^.et en hj soit donc -~^ = n et r^y ■ = y lorsque « = o ,

i6o T R A I TÉ

et Téquation — ddu^Kudt^ donnera ^f^* -

^n^z=:Kuu-^KAAp A étant la valeur connue de // lorsque i = o ; donc d t ^ K ^

~ ^ " — : donc si on appelle <^

Tande dont le cosinus est ^ , et le sinus — 4=r t on

aura u = cos. (ty^ K + J") =cos. /cos. t}/ K — sin. S" sin. t \^ K; d'où il est aisé de voir que u sera = A cos.

t v^ K =7 sin. * i/ iC ; on trouvera de même

la valeur de u\

Corollaire IV,

1 27. En général, si un fil CM m jjl (Fîg. 42) est chargé de tant de poids Af , m, fjL etc. qu'on voudra , infiniment peu éloignés de la verticale , on peut toujours déterminer la fiîrce accélératrice de chacun de ces Corps, par Tune des d'eux solutions données arU wS et 121 , pour le cas de deux Corps.

Supposons , par exemple, qu'il y ait trois Corps M , TJij y, , dont les pesanteurs P ,p^ tt suivant M A, m a, fi «, $e décomposeiiit chacune en deux autres, dont les unes soient les forces accélératrices des corps M, rn^/i suivant MV ^ m w, /* u ; les autres, dirigées suivant

MB,

M B,mb, luZfSe fassent équilibre; et que les fils CAf^ M m , m fjL^ soient prolongés suivant M R, mr^ /j^Ta^ il est clair que les puissances suivant fxTjymb^ qui doivent être censées égales aux poids des corps ft, w, doivent se réduire à une puissance suivant m r, qui peut être regardée comme égale à leur somme ; que de même là puissance suivant mroM Mm , et la puissance suivant M B qui doit être censée égale au poids du corps M", doivent se réduire à une puissance suivant Mr. On aura donc la force accélératrice du corps f^ zuTT. angl. Z yu fit ; celle du corps m =:p[ angl. rma,

— angl. "^^'^'^ ] ; celle du corps M= P [ angl RMA^ angl ^^^x(^,.m+>.^) j ^

, En général il est visible, que si pour simplifier le calcul , on suppose toutes les pesanteurs égales à une même quantité ^ qu'on prendra pour Tunité, et qu'on appelle Pj q, r, s etc. les angles M CO, m M R, fM m r etc. etB , C , Dy E etc. les masses à commencer de haut en bas, les forces accélératrices seront par ordre à commencer du corps le plus bas :

j62 traité

Cç qui s'accorde avec ce qu'a trouvé M. Daniel Ber* UQulUj^ Tom, VIL des Mémoires de Pétersbourg^ p* j 70.

COROI^I^AIRE V. *

1 28. Supposons que le fil ne soit chargé que de trois corps égaux entr'eux, dont x^y eiz soient les distances à la verticale à commencer par le plus haut ; et que les portions du fîl interceptées entre ces corps , soient égales : si on veut que ces corps arrivent en même tems à la verticale, il faut faire a: <j ;: /? — 2(f:p + ç — r, etz :y: :/? + ^+r:/? + ^— r; oii( mettant pour p 9 (fp r, kwrs praportionneltes x^y — 2 ar, z^^^y+x)

x:y: :Sx — 2j^ : 3j-^ aa;— *z; etziy : : z — y : 3 y — 20:— z; donc ( 3 y 2 x — z ).z=:(z — y ) •Jf ^t

{3 y — 2 X — z).x = (3x — 2j' + 2 x).y j, donc

f-^^y^ — 2y — 2a;);(roùrontire^i:^ — 3y —