JiL^+JijZZ — LJ.V+ -^5^ — loy — loa

divisant le tout par x, et ordonnant Téquation par rap* port à Jl, on aura3^ — 13l^!— + JjL+ 8=0,

ce qui est conforme à ce qu*a trouva M. Bernoulli , Mé-

DEDTNAMiqUE. i63

moites de Pétersbourgy Tom. VL p* ni, où il nom* me 1 ce que nous avons appelle Xj et x ce que nous

avons nommé <2L^

.REMÏJÊRqUE IX.

1 29. En général » quel que soit le nombre des corps et la distance des uns aux autres , si on veut qu'ils arrivent tous en même tems àla verticale, les distances du troisième et quatrième etc. à la verticale ^ se trouve*

font toujours par des équations linéaires en -—•. De plus

Téquation ordonnée par rapport à ^ sera d'un degré

égal à Texposant du nombre des corps , et aura toutes ses racines réelles. Car il est visible que s'il y a trois corps par exemple, et qu'on suppose celui qui esf le plus haut placé à une très-petite distance de la verticale, on pourra toujours trouvar trois situations pour chacun des deux autres corps , pour qu'ils arrivant à la verticale tous deux en même lems que le premîet ; savoir , en les mettant ^ ou tous deux du même côté de la verticale que le premier^ ce qui fait un cas; ou l'un du même côté , et l'autre du côté opposé , ce qui fait deux cas. En général, la situation du premier corps étant donnée 1, le second corps et les autres ont toujours autant de st""

tualions possibles, qu'il y a de corps ; donc -^a tou-

jours autant de valeurs réelles qu^il y a de corps ; et ainsi

X ij

i64 TRAITÉ

Féquation ordonnée par rapport à -^ aura toujours

toutes ses racines réelles. Donc la distance infiniment petite du corps supérieur à la verticale étant donnée , chacun des autres corps pourra avoir autant de situations différentes qvTû y a de corps en tout.

Corollaire VI.

i3o. Les mêmes choses étant supposées que dans le Corollaire V. si on veut avoir le mouvement de chaque corpsen particulier,sans s embarrasser qu*ils arrivent tous en même tems à la verticale » on aura les trois équations

— ddx = {5 X — 2j). -^yT-- (S) I

-ddz=(z-jr).^'- (V).

Pour intégrer ces équations, je multiplie la seconde par 9, la troisième par ^u, et je les ajoute ensemble : j'aurai -—ddx — f d dy — fjtddz = [{S -^^t) , X'¥

5 — 2 » = ~^ '" = ^"~' , ce qui donne

A* = ~~" 2 + 3 r — • S V -j- 2vi' = 2ri' — 2 r — - 2« ®'(^ — 2»'). (21»» — 2 r — 2}=2Fr — 3f — 2; !

d'où l'on tire l'équation -4- + -V ^ + 4 = o.

DE DF N AMl^QUE. î6S

Si on ordonne cette dernière équation par rapport à y , on trouvera qu'elle esjt la, mêoie qpe Téquaticft)

^•^ —^ + ^^ '- +8=0' trouvée ci-dés-

•P se iC

SUS art. 128, et quVinsî QarL 129) elle a toutes ses racines réelles ; ce que nous prouverons d'ailleurs d une

autre manière dans larticle suivait. .

Soient donc v , /, /' les trois racines de cette équation y

on aurayb6= ii.ir — 2v — 2; /ut =z 2 v y — 2v — 2; ft" = 2 /' v" — ^^ 2 /' — '2 ; et supposant x + vy + i^z ^szu , X + f j + 114,' z = u'y X + /'y + /a" z =i u\ Qn.a\u:a

les trois équations — iLd u= (5 — a f^.-^UL— —

—- dd u tz:{S ^ 2 t'y. ■ ' "^ * ■; — dvlu" xs ( 5— 2' /') . -iJil^il..; d'où Ton tiré comme dans

Tarticte 118, les valeurs de w, li iu.y et par .conséquent Celles dé a:, j, 2; * .-• r

On résoudra le problême de la 'tfiêmé manîëré , quel <}uesoit le nombre dï^s: corpsv, et le rapport é& leurs masses;" ''-•','

- ' - • jR j? ia A B Q u s Xi

o<4-i3i^ .Q«»n4AeQii*tioa cr (» nkurolt pas toutes se$ racines réelles, il est aisé de voir que la solu^iOQ ne t^ilasircâtp96 jAoifis. G^rt^o^unieied quantités variables '^c^yr^ eta.doiyettt évidemment avoir des valeurs T^elles exprimées eirr/les iraagtnaîres, s'il y en ai se

détruiroient dans les eicpressions de ces quantités. En «flfet j*aî démontré ailleurs que toute quantité imaginaire donnée^ et toute racine imaginaire d'une équa« tîon se réduit à la forme a+Cv^— *i,aet€ étant des grandeurs réelles. Donc dans le cas même ou r ayroit toutes ses racines imaginaires , les équations en w , u' , etc. pourroienl être réduites à cette forme

— (/fl?£^=:(+a + ff i/ — O udt*, dont rmtêgrale (*) est 1^ C3 ^ 9 ^ ii c : or

on sait que c * ~ := cos. z +^ »/ — i x sîn. jc, et

•^■^•^ta

que c " = COS. z + »/ — i sîn. z. Donc

ttz± A e " X ( COS. I f •+ ï/ — 1 . sîn. i < ) +

i5 c X Ccos* $ t ^ Y — 1 . sin* 1 1 ). U e«6erà

de même des valeurs de «', de u" etc. Donc ks valeurs de x^jf z etc. ne pourront jamais contenir tout

au plus 9 que des .quantités de; cette forme c , sin.

i r» co6v I ^> avec des coefficiei». réels, au im&gioaires; et comme il faut que les valeurs de ar, j-, z etc. ioieojt réelles t et que la solution donnée étant générale» doit infailliblement faire trouver ces valeurs, il s^nsuit que les toiàgin&ires ( s*il y en a ) devront tiéèesMtijAeBient se détruire.

Mais on peut prouver aisément par la valéàr htiéme de u qu'il n'y aufà jamai* dlmagiivaires. Car tes équa-

■ p— «— — t I ■ • » I ■■■ I - ■! »y I ■ ■ III ^

C) Poycz les Mémoires de T Académie de Berlin , 1748 et lySo.

DE DTNANIQUK xôy

lions z + ihy + fi z^ H etc. prouvent que- les valeurs de u, 14' QtQ. 8ont formées des valcura dt x^y, t. Or lorsque / == o , pn doit avoir d ^=^ o^dy «01 dz=Oj parce que les corps sont supposés partir du repos. Donc aussi lorsque f ;= o, on doit avoir du— o^

du! ^Q etc. Doac ou *ura ê^ A-^^B ±% V — 1 x

A'^ % iZ-^i . Bt^o. Dqdc on aura » ou ^ =: J9^ eu <f^ 35? o et f =5 o. Or je vai« prouver que â doit, être nécessairement «; o. £n effet ka valeurs de ^ 9 de jr et de z «t€. doivent toujours être extrêmement petites^ par }a nature du problème , puisqu'il est clair que cha^ çun des corps ne, peut hïte que des oscillations de peu d'étendue; ainsi les valeurs de ar, j, 2 etc- ne peuvent

renfermer dés quantités de Fespèce c. , parce qu'alors elles croitroient à Tinfîni ; donc u ne doit pas en renfèraaer non fJos : donc J^ = o. Donc u x {A^B)

çQS. i t±iA--^B) V -^ 1 «in. f 'i et coQuoe: « ne doit point avoir de valeur imaginaire, il ^'çqçi^U qiie

QA — J5) >/ -p^i sia ( tsso ; donc An^B^ Donc puisque

u = (^A + B} ços, % ï^ou aura . '^ ^ -^ «"; donc

Téquation différentielle en u ne contiendra jamais d'imaginaires; et comme le coeflSciçnt de u dans cette équa* tion ne renferme d'indéterminée que v , îl s^ensuit que la valeur de tt sera toujours réelfe

Au reste il ef t visible que ^^^ le cas où il y a plus de deux corps , on peut faire $ur Jeuffs niiovvemens et

i68 TRAITÉ

leurs vibrations plusieurs: remarques, analogues à celles que nous avons faites ^tir le mouvement du- fîi chargé de deux corps : mais Ce détail nous mènerait trop loin.

R s M ui tt q u E XL

^ i32. Si on suppose que les corps attachés au fil se meuvent dans un milieu dont la résistance soit proportionnelle à y + J'u^ y et cT étant des constantes quelconques, et u la vîtesàe, en ce cas les équations pourroîent. encore s'intégrer» Par exemple supposons pour simplifier le calcul^ quUq'y art que deux corps égaux ^

A^ — ^ ; équations qui peuvent s'intégrer pardifféren-

tèë méthode^,' que j'ai expliquées dans" les Mémoires de' V Académie de Berlin , pour les années 1 748 et 1 750. C'est pourquoi je ne m'y arrêterai pas davantage.

Corollaire VII.

i33. Soit une courbe chargée de poids infiniment petits et égaux, placés à des distances infiniment petites les unes des autres, et tous infiniment peu éloignés de la verticale; soient x les abscisses, y les ordonnées infiniment petites de cette courbe, s les arcs, qui différent infiniment peu des or correspondantes, enfin / la longueur

du fil, il suit deTa/t. J27. que la force accélératrice de chaque petit poids, est comme la somme des sinus des angles de contingence depuis le sommet, moins Fangle de contingence multiplié par le rapport des poids inférieurs à ce poids; donc cette force est pour chaque point

(^7)/-^7 ^"^-^-^-^î ^^ 9"i s accorde

avec ce que M. Daniel BernouUi a trouvé dans le Tom, VIL des Mémoires de Pétersbourg^ p. 171.

M. Daniel BernouUi a tiré de-là Téquation que doit avoir la courbe, pour que toutes ses parties arrivent en même tems à la verticale. Koy. ibid. p. 171.

Uéqualion de celte courbe est en générât -^^^

-^^-fj^^^^ = -^- C 38 );. faisant / -

y = c j et p X = Z9 on parvient à Téqualion

ddy (37) On prend —j — pour Tangle de contingence, quoîquecet angle ait pour expression générale — ^ ^— x —] — ; maïs comme on

a s as

suppose tous les points de la corde infinîment près de la verticale, doj et fi? 5 peuvent être pris l'un pour Tautre.

(38)Uéquatîondelacourbee8t -^ (/^5)r7^ ^

as d S' Il ^ ^

ce que la force accélératrice est représentée par —•^ iiZL^^^IAZ^

ds d s"^ f

et que cet te force étant supposée proportionnelle à l'espace j^ qui reste à parcourir jusqu'à la verticale, tous les points de la courbe arriveront à cette verticale en même temst

nd z+ ^ ^ - — — = — dx^ qui tombe dans le ca«

de Ricati, et qui n est pas intégrable par les méthodes connues; ce qui est d'autant plus singulier, que si on fait cp = /< w ", A et m étant des constantes à volonté, oa aura nudz + n mzz du + km u^' du =o, équation qui n'est guères plus composée que la précédente, et dont je nai pu cependant séparer les indéterminées, quoique les deux quantités k , m , puissent être telles qu on voudra , pourvu qu'elles ne soient pas zéro:

Si la courbe na pas cette équation, alors elle changera d équation d un instant à lautre , et la valeur générale dune ordonnée y, ne pourra être exprimée que par une fonction de lare s ou de Fabscisse x correspondante , et du tems t écoulé depuis le commencement du mouvement; cette fonction , lorsque t= 09 deviendra la valeur de j* en ^ donnée par Téquation de la première courbe ( 3g ). Soit donc en général

(89) Quand on suppose que tous les points de la courbe doivent arriver en même tems à la verticale, il suffit pour avoir toutes les figures qu'elle formera successivement , d'avoir par le moyen de l'équation doot on a parlé ci-dessus , la figure initiale ; en effet les ordonnées de l'une de ces .figures quelconque, ont un rapport constant avec les ordonnées delà première , ensorte qu'il suffit de déterminer au bout d'urvtems quelconque / , quelle doit être la valeur de l'une d*entr'elles , c'est à quoi on sa-

tisfait aisémeut en intégrant l'équation — ddj^ = -^ , jr' étant

l'ordonnée qui dans la nouvelle courbe répond au même point delà corde que j' ijisji9 la première. Mais lorsque tous les points de la courbe ne sont

jr = (*) (p ( /. 5 ), d y ^ p dt + q ds^ — d d j la différence seconde de j, en faisant s constante, (je mets — d d j, parce que t croissant j diminue, et que la vitesse augmente) d dy la difF, seconde en prenant t

constante ; on a — ddj=: [-j-j {l — 0- "j^r^V^^*»

ou —-^ = q — O—O • "j-^— (40); on observera

pas supposés devoir arriver en même temsàla verticale, alors la figure initiale étant donnée, les figures qu'elle doit prendre succesbivement ne peuvent plus en être déduites sî aî&ément. Néanmoins on voit assez que la position d'un point quelconque delà corde au bout d'un tems quiconque /, ne peut dépendre que de ces trois choses , de la longueur . de la partie à l'extrémité de laquelle ce point est placé, du tems depuis lequel tous les points sont en mouvement , tt de la figure initiale. Donc l'équation générale qui donnera la valeur dey doit renfermer l'équation de la figure primitive , et doit être telle par conséquent que si on fait y±z^[t,s), cette équation soit celle de la figure primitive, en y supposant / =: o.

(*) Cette quantîtéf (f . 5) exprime en général une fonction de/ et Ae £•.

(40) On a vu ci-dessus que la force accélératrice d'un point quelconque de la courbe étoit ■ -^(Z — s) —f-r^j donc pour avoir le

mouvement de ce point il faut faireT-^— — ( /—s ) ' y -^di* égal

«Q petit espace que cette force tend à faire parcourir à ce point dans le

teœsti^/ > c'est-à-dire égal à la différence seconde de Tor donnée^; or cet te

différence doit être prise en supposant s constante ,ifiuisque le polnt^dont

on considère ici le mpuvement est supposé ne point changer de place sur

, . .11 • ^ f^y ( ^ — s ) d dy là corde. Au contraire dans la quantité ~ — — -> —-' ^^ ^

dy etffJ^ doivent être pris en supposants variable et ^constant, parce que cette quantité marque pourun même tems, pour une même position de la corde, la force accélératrice de chacun de ses points.

Y il ^

que dp doit être prise en ne faisant varier que *, et d q en ne faisant varier que s. Soit dp z=:adt+vds^ dqz=zhdt + rnds; à cause que /?£// + y û^^estune différentielle complette, il faut que ^~= ^~ > cest-à-dîre

^ ;= r. De plus , Téquation r^^ = ^ (i-jhdq

donne — a = q — C l — s) . m ; donc m d s = yc^5 + ^c?g . ajoutant de part et d autre bdtoxxv dt^on

aura mds+ hdt owdq zn. ^ */ "* ^ + v d t. Donc

^^. (7 — 5) — q d s — V dt . (/ — ^)+a ^^, et q . (/ — s") z=.fv d t . (/ — ^5)+ aû?5. Cette équation doit avoir lieu , en cas que toutes les courbes variables dont il s'agit, puissent être renfermées dans Téquation générale j = (p ( if . ,s ).

REMuiJSiquis XII.

184. On renîarque une analogie singulière entre la fonction ^ (^t. s) qui doit exprimer j^, et les différentielles de cette fonction à finfini. Soit / — $ = i/ , on aura \^.p dt — q du une différentielle complette*

^ '-d'r-'i -^^d^^^^-dT - — dié ' " P"

conséquent q u d t — p d u une différentielle complette ; de plus , en faisant encore / — ;s = 1^ , il recuite du Corollaire précédent que a d t — t d u, et

D :ë dynamique. 173

V udt -^ a d u seront des différentielles complettes ,

dont la seconde sera =d{q.l — s)oud(ç u) : donc si oh fait dy = p dt — if d u,dp — hdt — v d u, d a ^ ^ d l — dû d u etc. et ainsi à Tinfinî , on aura les différentielles complettes deux à deux,

pdt — Ç du; adt — v du; ^ d t — co du; etc. •

et et r et

qudt — pdu; udt — a,du\ cùiidt — ^du\

et ainsi à l'infini; de sorte que si on trouve un seul cas d'intégrabilité , on pourra en remontant , en trouver d'autres à l'infini. Par exemple soit ç = A + B ty et

ù) = C -^ D u , on trouvera que ç d t — c» d u est égal à une différentielle complette, et que û) udt — ç du est aussi une différentielle complette , pourvu que C = — jB. De plus comme on a trouvé d {q n) = vudt — adujOndMïdLàeTaèmed{vu)z=^(êudt — ^du;

donc Aouf^dt — co d u ^ A t + * — B u +

i>. Log. « + E, et V =-5Lf A'^Bt + Jl;

trouvera de la même manière p çt q au moyen des valeurs de et, v; et toutes les quantités qu'on trouvera ainsi deux à deux en remontant, et que je nomme en général P et Q , seront telles que P dt — Qduj et Q udt — JP d u seront des différences complettes^ C'est pourquoi le problème dont il s'agit, sera résolu analytUfuement pour une infinité de cas. Je dis analy^ tiquement , et non relativement à la question présente ;

car il fèiut avouer qu aucune de ces solutions ne pourra représenter la courbe cherchée, i^. Parce que ces solutions donnant des termes où t se trouve seule ^ycoîtroit à Tinfîni, à mesure que t croîtroit, ce qui ne sauroit être ici par Thypothèse, 2°. Parce que ces solutions renfermeroient encore des termes de cette forme D • Log. u , qui sont infinis lorsque w =0, c'est-à-dire lorsque s est égale à toute la longueur de la corde.

REMuânquE X I I L

i35. C'est pour la même raison qu'on ne sauroit supposer/ = S + S' t' + 5" r* eta S, 5', 5^' étant des fonctions indéterminées de s; car quoique Ton trouve assez facilement par le calcul les valeurs de S , S'y S"^ etc. les valeurs dey qui en résulteroient auroienl le même inconvénient que !a précédente, par rapport à la solution du problème en question (41 ).

Si on fait j = jT* vS, T étant une ^ ctîon inconnue de r, et 5 une fonction aussi incom . de 6-, l'équation

^ =i 7 - iizillii. donner - 4^ x 5 =

dl ' d s dt*

(41) Car si on substitue kj cette valeur dans l'équalion — d d ^ 1=

•■ * '—(/—») ■ ^ - I c/ 1% en obaerrant de prendre les diflRî-

rencps de la niaistère qu'on a déia dit , et qu'on égale k 2éro (es termes affectifs d'une uiéme puissance de /, on trouvera cjue réquation qui dé-

terimneroitS est. — — ^ = — . Les autres suppostUons que

Ton fait pour j' se vérifient à peu prè^ de la mOaae manière.

DE DYNAMIQUE. ijS

TdS ll—s)TddS „ , ,, ^. —ddT

-^^ -i fp ; dou ion tire -^— =

-L ; et i- - 4i ( / — O 4^- La seconde

équation est celle de la corde dont tous les points arrivent en même temsà la verticale, et la première donne

T=:A cos, — ? — , d T devant être = o lorsque t=o.

Ainsi cette équation n'apprend encore rien, puisqu'elle ne fait trouver les vibrations que dans le cas où la corde a une figure telle que tous ses points arrivent en même tems à la situation verticale.

On pourroît aussi supposer j* = T*. S + T" S" , et faire -irJ^AZL = m ; -Z^^-J^f^l = m\ m et m'

étant des constantes positives indéterminées, et en-

• . . o dS'' f 1 \ ddS"

suite supposer S m== — — — ( / — s) —- ^ — , et 5" m" =-^^ — ( ^ — O -^f- ; mais cette

ds ^ ' d s^ ^

méthode donneroit une équation différentielle du quatrième ordre pour la valeur de S'\ De plus il faudroît que les valeurs de T et de T" fussent telles, i^.^Que y fût toujours très-petit. 2°. Que y fût = o lorsque tf = o, 3°. Que i = o donnât d y -s, o. Or il est assez facile de s'assurer que les valeurs de T et de 2^' tirées

des équations ^^£L ^m T'dt',ttT= ^n^"!^

^ m" . ^ m" dt^ ^

tj6 TRAITÉ

ne peuvent satisfaire à toutes ces conditions à la fois. Car en intégrant la première de ces équations par ks méthodes enseignées dans les Mémoires de Berlin 1748

et 1750^ on verra que T[ contiendra des quantités de

^ t cette forme c . , cT étant une quantité réelle. Donc

toutes les méthodes proposées jusqu'ici ne peuvent servir à trouver la valeur de y.

RemUbque XI F'.

i36. Mais voici une méthode qui peut réussir dans plusieurs cas. Soit y =^ T S + T S' + T' S" etc. et

so t — — -— = Uy — = m, =^ r etc.

riy m, r, étant des quantités différentes, on aura y = A S COS. t \/ n+ B S' COS. t \/ m + CiS" cos. t \/ retc. et on déterminera S, S\ S" etc. par les équations suivantes qui ne peuvent être intégrées que par les séries

— d S' ( 1 „ \ ddS'

d s ^ ' ds

ds ^ ^ ds^

Mais il faudra pour cela que Téquation primitif de la courbe, lorsque ^=0, soit j'= A. S^ B.S'+ C. S" etc. Ainsi le problème ne peut être résolu par cette méthode que dans certains cas particuliers.

Remarour

D E D T'N AM I(IU E. 177 R E M A A q u E XF".

'%3y. Pour faire arec précision les calculs précédens î! làut mettre féquation sous cette forme

-.ddj-=[4^-(/-.)^]. \^p^,

d'étant lé tems quun corps pesant mettrcHt à descen-

4rç de la hauteur û; et on aura j = 'AS cos. . '^ " + •s S' COS. i±^etc. et -1^ = £i -^ ( ^ -- * )

,M. Daniel BernQullî prétend ( 'hiem. de F Académie de Berlin^ 1753, pag. 194 ) que la corde vibrante. ne peut jamais reprendre sa première position j excepté dans

le seul cas de j = A . S' cos. lX-1. , c'est-à-dire ,;

daniile cas ou ^toutes les vibrÂtions Qppur parler le langage de çeigrand Géomètre) sont siu^p^set d'une seule et même espèce.^ Pour que cette proposition fût hors de doute, il faudroit avoir prouvé^ i^ que les quantités m ,n etc- àTinfini sont incommensurables entrVIles, ce que M. Bernoulli4ife p/roît-poîrit àvoîr fait. Il est vrai qïif! trouve q\ïe' ççs qoanlités sont les racines d une équation composée d'une infinité.de termes, mais cela ne^ suffit pas, c,c me semble, pour établir leur încoïn- «Mtpçi^rabUitéimuti^eUe. Ôr si i^Ies^ pespnt.pa^i incom:

mensurableô, ft que v^ m par exemple soit =q \/ n, q étant uni nombre quelconque, entier ou fractionnaire ^ il est aisé de voir que la chaîne -reprendra sa première

forme , quand JL}^^ et ^ii^JL sèrotit chacun

un multiple de 36o degrés. 2°, II faudroît de pIuB avoir prouvé que Téquatioti y -à^Tl-^^S ^ T' S^ +'etc. ou

y ^ A. S COS. --Lv^I^ + B. S' cos. -iîlï. «te.

est la seule qtu puisse exprimer la <x>rde' vibrante. Ot . c'est de quoi on n est nullement assuré.

Remu^rque XVI.

i38. Nous avons vu ci-dessus {^art. i25) que le cas de 1 art. 1 1 6 n'est pas le seul oïi tous lès poids dont un fil est chargé arrivent en même tems à la verticale, et fassent leurs oscillations en mêmt tems% Ilpourroit donc très-bien se faire que Téquation trouvée ( art. 1 33 ) ne fut pas la seule q\ii fendît' syn'chfotie's les Vibrations de la chaîne. Mais il eôt difficile de pttmonctr là^dessus , faute d avoir d'une manière générale" et camplette Té* quation de la chaîné vibrante.

LemmeVUL

1 39. Soit un corps CRM f F^. 48 ) défgurt quet^ conque y dont le centre de^rayîtè soit'G , et que je considérerai pour plus de facilité comme une jftgure p/ahe ; que toutes 2esparties\de ce corps soient animées par de^

DE D r N AMiqUE. 179

forces V M dont les ditections soient perpendiculaires à la ligne V C, menée dei pQfnt^ V ^v/fi pçi{fpjis;e Ç\,pris à volonté dans le corps, et que ces forces soient entr elles eQmme /m distantes V C ; je dia qve lu diœcuon de la

force'' résultante sera une ligne K L perpendiculaire à la droite C G menée par G , et par le point donné C*

Car d^cpmpQs^nt chAquc force F^^ en deux, Xxxxx^ suivant F'.ZV^parigillôleà C(?a Taijtresuiygipt J^ P perpendiculaire a CG ; il est aisé cje vpir Que le^ forces suivant V'N seront comme Jes distances CQ 4^ çè^ forces. à la ligne C G, qu'ainsi les sommes de ces forces siéront égales à la somme des produits de chaque pa|rticule par sa distance à la ligne CG, Mais comme CQ passe par le centre de gravité G, cette somme est rè o. Donc la force résultante des forces suivant /^ iV est = o . D/ddc la dîrçctîon et la valeur de la force que npu§ cfaerchons, sera la même que celle qui résulte des seules forces suivant V^ P perpppdiGU)l%ire6 kCP- O^iïC h dir^ecti^on de cette force ne peut m^fiq»^ fii'étre utie ligné QKL perpear diculaireà CG.

A l'égard de la valeur delà force suivant O L, elle est^gajeà J^^solnrTîe lies^fwces suivant V P multipliées pai^ les pejtiles niaçse^ correspondantes V^; et comme les forces yP pont prpporUoiînellesà F"Q> et que/vp^* VQ^ «^ ég^i k^CG muItipUé par la masse MxRiC, par là propriété d^ ^exkir^ de gravité ; ii s'ensuit , que si on app^ ^ \^ force accéMrajtfiee du point G ^ la force suî-

i8o - TRAITE

La distance C i! de la ligne O Lk C= ^g —

— U-lJ-Jl-^ Car , puisque toutes les forces ^ se

réduisent à une puissance dirigée suivant O X L , il s'ensuit que la même puissance dirigée en sens contraire suivant LKO feroit équilibre aux forces <p ; cet équilibre étant supposé, il continuera d'avoir lieu , si on suppose le point C fixé. Or dans ce dernier cas, le moment de la force (p . MR C agissant suivant LKO doit être égal ( par le principe du levier ) à la somme des momens des forces K M:\e premier de ces momens est

<p.MRCxCR;\e second est//^^. ^. -Ç|-. /^C

Donc etc.

Corollaire I.

1 40. On voit par-là que la position de la ligne OKL est toujours donnée , quelle que soit ^.

Corollaire IL

141. Si un corps C R M, entièrement libre, est animé par une puissance qiielconque JK, dirigée suivant une ligne quelconque G B, qui passe par le centre de gra* vite G, et quen même tems ce corps tende à tourner autour de son centre de gravité G , avec une vitesse quelconque ; on prouvera, comme dans le Lemme précédent , que la force résultante sera = Jt , et dirigée

DE DFNAMIQUE. î8i

suivant une ligne O KL parallèle k GB. Donc cette puissance dirigée suivant L KO feroit équilibre à la puissance K passant par le centre G , et aux puissances qui tendent à faire tourner le corps. Donc le moment de cette puissance par rapport au point G doit être égal au moment de la puissance JK, par rapport au même point Gj et au moment de toutes les puissances de rotation. Donc si on appelle •*• la puissance qui tend à faire tourner autour de G un point quelconque placé à la distance A, et a la somme des produits des particules par le quarré de leurs distances à G, on aura KxG K =

K xo + ^ ^. ; ou — j— = K. G K.

Il est à remarquer que pour x\ue la force suivant O K L soit du côté où nous l'avons supposée dans la figure ,'la force de rotation doit agir dans ce même sens. Autrement il ne pourroit y avoir d'équilibre entre la force suivant Z X O et la force de rotation.

Dans rhypothèse contraire G^sera négative, et on aura Z x G X = — JL^ ouKxG K+ ^^ = o.

Corollaire III.

142. Delà il est aisé de conclure, pour le dire en passant , que si un corps libre et en repos est poussé par une puissance quelconque K suivant OKL, son centre de gravité G sera mû suivant G B parallèlement à O if £ , de la même manière que si la puissance K

passoit par le centre Gj et que de plus le corps tournera autour de ce môme centre C suivant O I^L avec

yne vitesse '*, telle que * "* = K. G K, c'est-à-

dire avec la même vitesse qu'il lourneroît, si le centre G étoît supposé fixe, et que la puissance K agît au point K çuivant O KL pour faire tourner le corps.

Car ( art. 6 1 ) le mouvement que le corps doit prendre doit être tel, que si on le lui donnoît en sens contraire, il fat en équilibre avec la puissance K. D'où il s'ensuit par farticle précédent qu'il doit prendre le mouvement que nous venons de dire.

Soit M la masse du corps ; toutes ses parties se mouvront parallèlement k G B avec uqe vitesse égale à

— , et de plus ( nommant x leurs dislances à G) elles tourneront suivant O K L autour deG.avec une vitesse = JL^ - ^'^^'^ ; d'où il est aisé de

voir que tous les points de là ligne C G auront parallèlement a G J? une vitesse ^— ^' ^^' ^ ; donc

si on prend sur la ligne C G un point iî, tel que G 11:=. ? .. ■ la vitesse de ce point H sera nulle.

Donc ce point sera en repos , et sera par conséquent ce que M, Bernoulli appelle le ce/itre spontané de rp^ talion du corps. Au reste il est visibje que ce centre

DE DYNAMIQUE. i83

change à chaque instant , puisqu a chaque instant la ligne G K change de situation.

PROBLÊMEVL

1 43. Un Corps C R V ( Fig. 44 ) défigure quelconque, dont G est le centre de grwitèy étant suspendu à un fil A Cy et les lignes A C, C G étant infiniment peu édartées de la verticale, trouver la vitesse des points Q et G pour un teins donné X (42 ).

Les parties du corps CR T^ ont chacune un mouvement égal et parallèle à celui du point C, et elles tournent eu même tenis autour de ce point C avec des vitesses qui sont entr'elies comme Ic^s distances à ce point. Soit/? la pesanteur absolue d'une particule quelconque /^suivant la verticale 7^ Q , et soit cet effort décomposé pour chaque particule en deux autres , dont Tun suivant J^ u soit égal et parallèle à la force accélératrice du point C suivant C P ^ et 1 autre soit dirigé suivant Vru Cet effort V^ n dont on ne connoît point encore la direction, sera égal et de même direction pour toutes les particules : c'est pourquoi on peut regarder tous les efforts /^/z comme réunis au centre G, et agissant suivant Û'N parallèle h,V n.Vi faut de pliîs décomposer cet effort V /zpour chaque particule en deux autres , dont Tun Soit Teffort nécessaire pour faire tourner la particule T^autoûr ^ C, et Tautre soit détruit. J appelle ce dernier effort 5, et puisque tôUs les efforts s doivent être

■^i»**** Il I* »

(42] On suppose que les points A, CyG sont dans un même plan jrenical.

i84 TRAITÉ

détruits, il faut que la force qui en résulte soit dans la direction de AC.

On a déjà trouvé que G N parallèle kVn^ei dont la position est inconnue, est la direction de la force résultante des forces J^ n ; on trouvera ( art. 1 40 ) la position de la ligne X i, direction de la force résultante des efforts des particules V^ pour tourner autour de C, quoiqu'on ne connoisse pas encore la valeur de cette force. La force suivant G N étant composée de la force suivant K L, et de la force résultante des forces ^, cette dernière passera par le concours L de G Net KL; de plus elle doit être dans A C prolongée. Donc le point L est dans A C prolongée : donc la ligne G N doit passer par le point où se rencontrent les lignes K L donnée de position, et ^ C prolongée; et CL sera la direction de la force résultante des forces s.

Soit TT la force de C suivant CP, laquelle est commune à toutes les particules, (p celle de Ç pour tourner autour de C, on mènera G i parallèle k C P ^elG M kA P, et on nommera A C, l, C G, a, G K, b , //ila masse du corps, C P^ Xj Tangle fait par C G^ et par

la verticale , — (43} : G jBl et G Z pourront être censées égales, et Ton aura Fangle G L M = — —^ =

(^3) La di$(ance de 6 à ]a verticale qui passe par Ces t supposée ^; -donc l'angle dont M s'agît = ' — , puisqu'il est infiaimeat petit»

DE orNAMIQUE. i85 (i - T> T. e' l'ansle- £ G Af = ^ - (^ - -j-J "f- ; niaîç la force tt — p * E» G M = p (-/ — •

(-J ~ T") fI» ^* '^ ^°''*^^ suivant -K L ( <p . w) doit être à la force suivant G L(p, m) : : Tangle G L Msm sinus total (44). Donc (p = ;? ("T"* T") T » °" * donc^ddx = [a:— (^ — x) -l]i4p-, et

^ddy = {I±. ^ -^). ^-,£1 ; équations qui

s'intégreront par une méthode pareille à celle dont on s'est déjà servi pour des cas semblables , dans les art. 118 et 122.

Corollaire.

144, Si on veut que les points C, G arrivent en même tems à la verticale, on fera

aonc -3 j-^ = —r - "À- + — ÂT-*

donc^=^+-i=^+»/r-^ + (-^*-^i)a

(44) L'angle SLOest considéré comme droit , et dans l'équation sui" Tante T est pris dans le même sens ^u'à l'article xi8.

i86 TRAITÉ

Si l est fort grande par rapport à a et à ^ , on a {V = •=î^ et 07 = — j. La première de ces équations donne -£- = -^1 ; c'est-à-dire • que si le fil est fort

long, les lignes CG etAC doivent être à très-peu-près dans la même droite, pour que les points C, G arrivent en même tenjs à la verticale. La seconde donne les angles des lignes AC^ CG avec la verticale , et du même côté , en raison inverse de A C k C G; c'est-à-dire que pour les points C, G arrivent en même tems à la verticale, il faut par la première équation, que CG et A C soient dans la même ligne droite, et par la seconde, que le centre G soit situé au premier instant dans la verticale A P, ou au moins fort proche de cette verticale.

Au reste ce problême étant absolument analogue à celui du fil chargé de deux poids, est susceptible de remarques semblables. Nous les laissons à faire au Lecteur.

Des Corps (jui vacillent sur des plans.