PROBLÊME VII

145. Soit unefgure quelconque C K O (Fig. 45) teU lement située sur un plan horizon talMÇ S, que la direction GFde soti centre de gravité G ne passe pas par son point touchant Cj on demande ce qui arrivera à cette

fgure.

Cette figure ne peut avoir que deux mouvemens ; lun de rotation autour du point touchant C qui change à chaque instant; Fautre, qui sera le même dans toutes les parties de la figure, pour glisser le long du plan vers A/ ou vers 5 : il faut donc déterminer d abord , si ce dernier mouvement se fait vers M ou vers 5 ; en second lieu, la valeur de la force qui le produit, et que j appelle tt ; en troisième lieu, la force du centre G pour tourner autour de C, et que je nomme (p\ enfin, si cette dernière force fait tourner G à droite -ou à gauche.

Quelles que soient les forces cp, il est certain qu'on peut trouver Qart. 140 ) laxlireclion Z NO At la force qui en résulte , el que cette ligne N O sera perpendiculaire aC G prolongée. De plus, la force résultante des efforts absolus de chaque particule en vertu de sa pesanteur, sera dirigée suivant iV G F, et sera =: p. //z, en appellant /// la masse du corps, et/; la gravité absolue. De même la ligne KG R parallèle à M 5, sera la direction de la force résultante de toutes les forces tt, et cette force sera tt . m. Or par notre principe , il faut que la force suivant iV F puisse se décomposer en trois , dont la première soit la force résultante du concours d action des forces (p, la seconde la force résultante des forces TT, et la troisième s'anéantisse. Cette troisième ne peut s'anéantir, que sa direction ne soit la ligne CD perpendiculaire au plan en C. De là il est aisé de voir par la seule inspcclion de la figure, i^ que ZVO et non pas JS Z sera la direction de la force résultante des forces 9 >

A a ij

i88 TRAITÉ

et qu'ainsi la figure tournera de gauche à droite. 2^ Que la force suivant N G sera composée de la force suivant JVO, et dune force dont la direction N L passera par N et par Tintersectîon L des lignes C D; KR.3^. Que la figure glissera de G vers Kj non de G vers R. 4^. La force suivant N F étant donnée, et les lignes -ZV£, NO données de position , la force suivant NO sera donnée, et par conséquen^t (p. De même la force suivant JV L sera donnée; et comme son rapport avec la force TT.m. est celui de X Q à Q C, la force tt sera donnée- Donc le problême est résolu , et Ton a le mouvement de la figure au premier instant.

Nous avons fait voir ( art. 84) que le centre G descendoit dans une ligne droite verticale. Pour savoir la vitesse avec laquelle il descend au premier instant, çberchons la force accélératrice initiale, c'est-à-dire au premier instant de la descente. Soit ( Fig. 46) G P\ x^ et (p la force accélératrice du point G pour tourner autour de C, m la masse du corps , on aura 1 ^. la force suivant NO =i(p.m (^art. 139); de plus, G Fêtant donnée, on doit par la nature de la courbe connoître G C, que j'appelle X, et G P que j'appelle z. La force suivant N R sera à la force suivant N O ::le sinus de Tangle F N G au, sinus de l'angle G N R. Donc la force suivant N R =

, et la force suivant R L = la

force suivant NR multipliée par

DE DYNAMiqjIE. 189

f . m • G F^^ Donc la force du point G suivant Q L,

est à sa force (p pour tourner autour de C : : G jF: G C : or la force suivant G F est k la force (p ( 45) : : CF:CG;

donc la force suivant G F = —L--^ • mafs la for-

ce suivant N G {p . m) doit être à celle suivant NO {(p . m):: le sinus de RM A au sinus de RNG, c'està-dire : : R k h C F ; donc <p = ^ ' ^f " ; donc la

force suivant G F = ^ ' ^J* ; et comme C F,

CG, R k sont données en ar, il est clair qu'on aura la force initiale suivant G F exprimée en x.

On peut employer une méthode analogue pour trouver la vitesse dans les autres instans : mais l'article sui-

vant donnera une nléthode plus simple.