II est clair par VarU 84 que non-seulement dans
(46) La force arec laquelle le centre G s'approche du plan n'est plus la pesanteur; puisqu'une partie de cette force est détruite au point C comme on l'a vu. Le centre G ne s'approche du plan qu'en vertu de son mouvement de rotation autour de C ; or quel que puisse être ce mouvement qu'on nomme ici ^, l'effort qui en résulte pour s'approcher de
/h \^ (^ TV
M S sera — ^ — , ( comme on le verra aisément en faisant la dé-
composition }•; il n'est donc question que de connoître f ; or la valeur
de cette force doit être conclue de la condition qu'une partie de la pe«
sauteur du corps est détruite au point C.
iço TRAITÉ
le premier instant, mais dans les suivans, le centre de gravité G descendra toujours dans une droite verticale : or de-Ià il est très-aisé sans calcul , de trouver le mouvement de la figure. Car par un point quelconque E ( fig, 45) , soit tirée la tangente E B sur laquelle on abaissera la perpendiculaire G B : lorsque G sera à une distance du plan égale kGB ,]t point E touchera le plan.
Quand le point C (fig. 47) n'est pas un point touchant, par exemple, si la figure donnée est un triangle dont C soit un des angles, alors le centre étant en V^ , le point C sera au point E, tel que J^ E =GC.
Il ne reste plus qu'à savoir le tems que la figure employé à parvenir dans chaque situation donnée.
Voici pour le trouver une méthode assez simple. Soit (fig. 48) G^F^=: Il la quantité dont le centre est descendu après un tems quelconque t; la distance 2: du centre de gravité au plan sera pour lors = V^ F\ et il est clair qu'on aura du = — dxet- — d duz=:ddx; donc x = A — Uy A étant la valeur de x lorsque r = o ; et Ton aura pour la force perdue verticalement par tou-
xi »• y m d du T
tes les parties du corps, p m — ^ — , ou plus exactement ( art. ly ) p m { l —^ ,JL££JL^\ De plus
l'espace circulaire qu'une particule quelconque du corps placée à la distance b du centre G , aura décrit autour de ce centre G pendant le tems t , sera donnée en A et en // par la nature de la figure, et par censé-
DE DTNAMIQUE. 191
quent pourra être appellée F^, et la force perdue par cette particule sera ~ p d d v. é' j^^^^ (art. 141 )
nommant ^' la somme des produits des particules par le quarré de leurs distances à G , il faudra que p rh
( 1 — JL£^Jt\ X C F -^ r^' ^^ Z:JL^ soit
= o. Or C F' est donnée eu A et en u par la nature de la figure.
Maintenant soit C F = u\ d d J^ = f d d n + s du^ ,
r et ^ étant des fonctions connues de u ^ on aura
„ „, / pmu^ddu.6* -pA'rddu.ê*
KJ if if Uf ^■■■i" I ■ Il ■ ___^ I ■ ■ — ■ .■ Il ^^^
p A'.s du'. é» ^ . Jqj^^ faisant d t = q d u, et
substituant pour d d 11 sa valeur ~ ^ ^ " à cause que d d t = Oj on aura Téquation différentielle
p m u' n' d u + JJll'lAljJL ^ P^'ré' dg ' ' 2 a * 2 a b
^ " — \ — ^ =^^î d'o^ 1'^" tirera aisément par les
méthodes connues C) la valeur de^'en w, et par conséquent celle de t en //.
On peut encore employer à cette recherche le principe de la conservation des forces vives. Soit TJ la vitesse du centre G pour descendre verticalement, TJ'
(*) Voyez les Œuvres de M, BernouUî , Tom. I ; AcU Erud, 1697. etc.
iça TRAITÉ
la vitesse de rotation , on trouvera très-aîsément en nommant M la masse du corps , que la somme des forces vives de chaque particule est M U U^ v. •
maintenant puisque // est la quantité dont le centre est descendu pendant le tems /, on aura par le principe de la conservation des forces vives, 2/? u M = M U U+
J^l^. Or 1^ U = 47-. 2^ L'espace F", dé-
crit pendant le tems t par le mouvement de rotation, est donné en // , et par conséquent on a Î7^ ou ^^
f^ étant une fonction connue de //.
de 5
Donc on aura d t^ = 1^ + ^AlJlU: l'L^ ; ce qui donnera t eu u.
147, Lorsque la figure ne doit faire que des oscillations infiniment petites, la distance initiale G 2^ (fig. 49 ) ne diflfère de la ligne G C menée au point touchant C que d'une quantité infiniment petite du second ordre; d'où il est aisé de conclure que le centre G ne descend que d'une quantité infiniment petite du second ordre, au lieu que l'angle de rotation est infiniment petit dH premier ordre. Donc on peut regarder u comme nul par rapport k J^ : ainsi on a pour lors d d u= o et
p rn.
p m. C r = P ^' àdv. y . ^^ imaginant les ^
rayons osculâteurs infiniment proches CR^ C R, on.
a l'angle -Ç- ou son égal FGF' = CRC' - CGC,
X -^ ; donc faisant C R, r,C G,€, CF^A, on aura C F' ouC G F' . C G = [CG F + F G F' — CGC) xCG = -4- + fl__Çj)x C =
-^ + -^— -^T^. Donc l'équation ci-dessus de-
viendra ddV^ ' "/, ,^ ^' X ( /« ^ +
— A )• Telle est réqnatîon pour le cas des oscillations infiniment petites j ou, ce qui revient sensiblement au même, très-petites.
Si Ton suppose ê < r, en sorte que m € --^ r m soit une quantité négative; et qu'on fasse attention que V] et d T^ doivent être = o , lorsque t — o ; on aura par \ts méthodes que j'ai expliquées ailleurs {*)
— ^^1 j "^ P^*' conséquent 1 espace parcouru circulairement par les particules qui sont à la
(*) Voyez Recherches sur fe système du mond^^y I. Part. art. 25. p. c'q.
distance h du centre G , sera -7:17^- x ( 1 —• cos.
Si C > /• , on aura par les formules connues ces.
t\/ %a,mi — mr — /v/2a.mC — mr
^ V "A'~' I V Af
quantité réelle , et qui croît à Tinfini à mesure que£ croît ; ainsi l'es oscillations ne seroient plus alors infinîment petites comme on le suppose; ou, pour parler plus exactement , la solution précédente ne pourroit plus servir.
Par exemple , quand une ellipse est posée perpendiculairement sur son petit axe , et qu'on la dérange tant soit peu de cette situation , lexpéricnce prouve qu'elle se remet ou tend à se remettre dans son premier état, en faisant des oscillations Jlrès-pelites ; et c'est aussi ce qui résulte de féquation précédente. Car alors € < r, puisque tout le monde sait que le rayon de la déveîopée à lextrémité du petit axe d'une ellipse, est plus grand que ce petit axe. Donc le cosinus d'un angle quelconque ne pouvant être plus grand que l'unité, 6 J^
ne sauroit être plus grand que — ^—J^^ — ^ Au con*
traire si lellipse est posée sur son grand axe , alors r est < €, et les oscillations ne sauroient être infini-
DE dynamique: 195
ment petites. Cest aussi câ que lexpérience confirme , puisque Je cor{>s culbute, ^t ne se réublàt pas dans sa première situation.
De-là il e^ aisé de tirer une méthode générale pour voir si un corps, mis d'abord en équilibre sur un plan, puis dépJacé un peu de cet état, doit-8*j remettre ou culbuter. Tout se réduit à, «avoir si le rayon oscu*- Jateur au point touchant est phis grand ou plus petit que ]a distance du centre de gravité'à ce point Dans lë pre* mier cas le corps se rétablira de lui-même par des oscillations infiniment petites; dans le second il culbutera.
148. Ijb Savant M. Eu/er dans le Tome VII. des Mémoireide PéterhlH}urg , s est proposé de résoudre le Pro-
.Wémc VII, pour le cas seulement où les-vacrllalions du corps sur le plan doivent être infiniment peti^eis ; sa méthode consiste à Êiîre ensorte que les momens des forces des particules pour tourner autour de C, ( Fig. 45)
' soient égaux aux momens de leur gravité absolue par rapport au point Cconsidéré comme fixe; ce qui revient au même que de décomposer la force suivant N Feu deux , dont lune soit la force suivant N O résultante des forces <p pour tourner autour deCj et fautre passe par les points iV^et C, et soit anéantie.
Or la force suivant N C t\e peut être anéantie , que quand N C est perpendiculaire à MX^S , à tooins'qu on ne suppose le plan raboteux, et d'une aspérité assez gran-
' B b ij
ngô TRAITÉ
de, pour détruire TefFet de la force N C parallèlement au plan. Ainsi pour que la solution de M. jÊ^/er ait lieu, il faut supposer que le plan n'est pas parfaitement uni» C'est vraisemblablement ce que TAuteur veut dire par ces paroles : (*) In hoc motu vero nptandum estplanum super qaofit, aUquantuliun asperum esseponendum, ne cmvœ delocosno inter vaciïlandum dimoçeri queant , guod eueniret , si planum maxime foret politum. Ces paroles, ne de loco suo dimoçeri queant , signifient sans doute; de peur queles courbes^ outreleurmous^ementau^ tourdupointtouchanty nuyent aussi un mouvement pour glisser parallèlement au plan. Mais je ne sai ce qnî a empêché que M. Ëuler n'eût égard à ce dernier mouvement dans sa solution. Ce grand Géomètre m'a fait l'honneur de me mandjer depuis , par une lettre du a Octobre 1 746 , que quand il avoît traité ce Problême, il ignoroit la manière de faire entrer dans le calcul le mouvement progressif Notre principe en fournit, comme Ton voit, uu moyen bien simple.
S c G L I E IV.
Î49. Si la circonférence de la figure et la surface du plan surlequel elle glisse ne sont pas par/îiitement unies, voici comment on trouvera pour lors les forces/; et tt au premier instant. On regardera le point C ( Fig. 46 ) comme une petite éminence de masse donnée, et on supposera que l'on connoisse de quelle force accéléra-
(•) Page 108.
trîce g ce petit corpuscule devroit être animé suivant es ou CM, pour que , si cette force étoît tant soit peu augmentée» il fût capable de surmonter la résistance provenante des inégalités du plan. On décomposera d'abord la force absolue suivant N G tn deux , dont Tune soit la force cherchée suivant iV^ O, et Tautre agisse suivant la ligne inconnue N L. Cette dernière force doit être décomposée en deux, dont Tune suivant L K = TT. m, et l'autre suivant L C regardée comme poussant le point Csuivant C T, donne à ce point Cun effort suivant CiS= à J effort connu g. -
Soient les données G P , a^ G N , h , G O , c, C Ry € y R G , f, et Findéterminée G L :=^ y , on aura la puissance suivant JV Z à la puissance suivant
NG {pxm)::\e sinus de Tangle G N O ou
au sinus de langle Z N L ou ,, ^ ; mais -z^-zr- =
^; L Z = G P X -^-^ = ''•^^+-y) ; et
N L = \^ [ b b ■\- y yl. Donc la force suivant
plus la force suivant L C est égalée la force suivant NL multipliée par le rapport de sinus de l'angle N LG ou
au sinus de l'angle R L C ou ^ f ; enfin la
force suivant C 5 est égale à la force suivant L C, mul-
t98 TRAITÉ
lîpliée par ±^; d'où Ton tire ^iJ^^J^ on
p. m — L21rpL.^ pour la valeur de cette force sui«vaut C S : soit f4, la, masse de la petite éminence C, il
faut que p. m. -^^/f^'Y' ^S- 1^'^ ^'^" ^'^" tirera
la valeur dey , et par conséquent les valeurs absolues des forces suivant N L, L K et N O, qui sont celles que l'on cherche.
Mais il y a ici une chose importante à observer, xî'est que la force du point C suivant C S , doit être <îans la naênie direction que celle suivant laquelle les parties du corps C RN glissent parallèlement au plan ; doù Ion voît que le point L ne peut être qu'entre R dt A, A étant le point d'intersection des droites iVC, jR G; et lexpression delà force suivant CAf sera pour
lors ^' ^\ - i\ ^ff* M'j dbii Ton tirera la va-
leur de y. Si cette valeur est plus grande que G R, ou plus petite que G A, ou négative , la figure ne peut faire autre chose que tourner autour du point C , qui dans chaque instant variera, et pourra être regardé comme
fixe pendant un instant.
La valeur de y est g-^. /^ 7""^^ ^ ~ : cette va-
leur dans la figure présente ne sauroit être plus grande quey, comme il est évident, puisque// mfc — g f^cc
fst < ^ ;u ey + p mfc ; mais elle seroit négative si p mféioit <g /^ e ; et elle seroit plus petite que G A
OU f^^ , si p mfc éioii <gfJL ec + gm c b+gmbf.
Si on veut que la force nécessaire pour faire mouvoir le point C malgré la résistance du plan^ ne soit pas donnée, mais seulen^nt son rapport à la pression de ce point sur le plan , on fera R L k R C dans le rapport de la force du frottement à la force de la pression; et on aura par là le point L qui doit toujours être placé entre Ret A j sinon la figure n'aura aucun mouvement parallèlement au plan.
i5o. Pour trouver le mouvement de la figure dans les fnstans qui suivent le premier, on emploiera des méthodes analogues à celles qui ont été données ci-dessns. Tout se réduit à trouver le mouvement du centre G parallèlement et perpendiculairement au plan , et en même tems le mouvement de rotation de la figure autour de ce centre. Or soit v le mouvement du centre G
suivant G K, on aura jrLELUlAz^ on j=JL!^±^JLi^
pour la force perdue suivant GX , et conservant d'ailleurs les noms de Tarticle 1 46 , il faudra que la force
résultante de la force perdue -II/L!!L^^J!1, de la
ioo T B A I T Ê
force aussi perdue ^p^^^"*^* et de la force
perdue de rotation, soit détruite. Pour cela il faut que cette force résultante i?. passe parle point touchant C 2^. Qu'étant décomposée en deux forces, parallèle et perpendiculaire au plan, ces deux forces ayant entr'elles l'équation qu'exige la loi supposée du frottement On aura donc deux équations par le moyen desquelles on pourra déterminer les inconnues u et v. C'est ce qu'il est inutile d'expliquer plus en détail
Au reste, lorsque la figure se meut sur un plan qui n'est pas uni, et que le frottement est supposé proportionnel à une partie donnée de la force comprimante, les lignes C RetC L (Fig. 46 ) ont entr'elles un rapport constant; par conséquent le centre Gi se meut sur la courbe qu'il décrit, comme s'il étoît mû par une force dont la direction fît toujours avec le plan M S un angle constfint.
Des Corps gui agissent les uns sur les autres par des Jilsy le long desquels ils peuvent couler librement.
PRO BLÊME VÏIL
1 5 1 . Unjil A N P M ( Fig, 56) de longueur donnée y étant arrêté fixement en A sur un plan horizontal , cl chargé de deux poids M , P , dont Vun M soit attaché f<tement aujilj et Vautre F ^puisse couler le long du fil
par
DE DFNAMIQUE. ioi
par le moyen d'un anneau s on demande le mouvement de chacun de ces deusç corps,, en supposant quils aient reç^u Vun et Vautre une, impulsion quplcon^iffi.
Soicnt^P Pf M pi, les deiuc lignes parcourues parles corps P, M, dans un instant Ayant djécrît d'unrayoa arbittaire constant A N l'arc iVnyet fait nix^nN , la question se; réduit à trouver là 'grandeur et ila posîr don du côté p /^ qui suit immédiatement P p, et la position F'T de Tâutre partie tlit fil- Je suppose que dans rinstant que le corps P parcourt p V y il eût parcouru uniformément dans la direction de P.p la» ligne y?p = ^9r + 7rp=:P/? + ';rp,et que dp même l^ corps M eût parcQuru uniformément tno^ nj fA.+j^o z^Mm + fAO. Par notre principe, il faut décomposer les mouvemeus^ p, w o chacun en deux autres/? x ', pk V y et m L, in jT, tels que par les mpuvemeçis p J^ , m T, les corps /7, m ne se nuisent point l'un à l'autre, cest-à-dîre qu'on ait A J^+ J^T = Ap + p m, et queparlesmouvemens/? x, m L, ces corps se fassent équilibre. D'où il s'ensuit i^. que m L doit être dans le prolongement de p m. 2^. Que le corps p pouvant couler ( liypO l^ long du fil , il ne sauroit y avoir d'équilibre , à moîn« que sa direction p x ne divise en deux également Tangle Ap ni. 3!îr Enfin, que la force suivant m L doit être à la force suivant pjc, comme le sinus de la moitié de l'angle Ap m est au sinus de cet angle entier.
Les lignes A p, p wi, p x étant données de position ,
Ce
202 T R A ÏT È
on voit assez , que si on connoîssoit la grandeur des lignes ;p a;, ^ p,'Ie problème seroît résolu , et qu'il n'y auroît plus que le .calcula faille ^. or i^. les lignes /? a?, t p doivent être telles que les angles T^Aptip A P soient égaux; 2^. les lignes px^^rip étant donnéeis, les lignes A V et V^ T sont donnée!» de grandeur et de position, et la somtoe de ces lignes doit être constante. On aura donc deifx conditions , d^oii lori tirera deux équations qui serviront a trouver/; a: et ^ p. En voici fanàlyse.
Soit A N^ V.Nn^dx, A P:^y\ pQ^dy, }e sinus de la moitié de Vau^ït A Pitftj t^ eBffiri ola longueur du fil •
1^ La différence P A p { d x ) + celle de rangle A P M ( ' ^"^ ) , est égale à Tangle
de P Af avec p m : donc cet angle de P M avec
^dx + —^L±z
y/ [i^zz]
2°, -^ — et -^ — , c'est-à-dire, les sinus des andes
p P D et P p D, sont donnés par le sinus z et par celui de Tangle ApP;]e les exprinoe donc ainsi C) (p (^ ,
4^)et. (., Z^) . ou , (.. ^^^^)
. I I I ■ ■■ ■ ■■ " ■ ■ ■ Il
(*) Les quantités ^9 A , mises au-devant d'une autre quantité quelconque, marqueront toujours dans la suite une fonction de celte quan* tlté.
DE DYNAMIQUE. aoS
3°. P M — /; m = dy et m B — p D' — d y (dx+ *— ?- > (<"-y)
