Si on fait px=€,yrp = a.fOn aura {art. 92} l'an

p^7^oua?yf/;= ^* Donc ^ ^y dx

5**. yf7ï- = y+ 2 dy+ydx*;Ap= A v ■{•

— Cy^ Il — zz]: donc en supposant ci x constant, on à ddy=^ydx^^—^±±^,^-^^W\^''Zz\{B).

6^ Présentement, on a feo = a. -^ — ; FM — tf fx^

(«Af.90) 7.dy^{dx^ VU^^^ T^^ (^-J).-

^o = TT^ — o / (on suppose que^/est un arc décrit du

centre tt et du rayon tt ju, et que MB est perpendicu-

laire a jB/? } = tt /^ — — ; o p = tt o + — —^ ^

o J^z:z op — €}/ [i— 2z]. Orà cause de Téqui-^ libre, on a Af X o 2': -^ : : i :•[«—« « ]; donc o r= -j^^-j:^-^^; donc rT^oV- >-^ T- ; donc Fr=c— y— 26?y +

%M)/[i — zz]

2cf« N* r \ " «.mJ5 , M.pD

— €\/ [1 — z z]- J^ Î-. Cette ya-

leur de ^ T ajoutée à la valeur de A F" trouvée cidessus «. 5. doit être = c. De-Ià on tirera une équation , qui , avec Téquation (A), servira à chasser a et €.

. 70. L'angle A V p =^ A p P — d ce — pp F^,et l'angle pVTow p T^o =ppo + ppF + po F".

Or l'angle poJ^=i T^ > ^' l'angle ^ p o = ^^o— 7rop=/;7To— pp/J^y) ; l'angle

pTT Ozi^pv l*-\.fl'7ro=p'7rfA, + um.c-y)

DE DrNAMIQUE. 2o5

[ P 2) + ( c -j) . (^^4---^^i4l j.)] ; l'angle

pTT/bt est égal à Tangle Pp m, plus Tangle deir /u avec p m, et ce dernier angle [art. go ) est = ( d x +

-vfén-rr) • ( ■ + -fli-) • <'°"<= -^ ^z- +

p F'T= ApP + Ppm — </a; — Y^ p F + {dx +

-'''' +p^;^+ il ; mais

ApP + Ppm^AP M+ ^ '^^ , . Donc

r "^J^ + -JL-> + ^-^^ . Si on met

dans cette dernière équation ainsi que dans Féquation (B), les valeurs de «t et de ^ trouvées par le nft. 6, on n^aura plus que deux équations qui ne contiendront que la constante ^ a; avec les variables j et z, et leurs diffërenceâ ; et en faisant évanouir la constante d x j on * n^aura plus qu^une équation difiérentielle à deux varîables j, z) ainsi le problème ne dépend plus que de la séparation des indéterminées. On peut encore simplifier les équations en nommant k langle dont

2o6 TRAITE

le sinus est z , ce qui donnera — ^ = d A ,

ri — z z = COS. Js j et z = sîn. A.

Remu^eque I.

i52. Si Ton attache un fil ^ J5 C ( Fig. 5i ) fixement en A et en C, et qu'un corps B , pesant ou non, puisse couler librement le long duGl A B C, il est évident que ce corps J5 décrira lellipse MB N^ dont A et Csont les foyers. Mais, je dis de plus quil la décrira de la même manière que s*il n'étoit pas attaché au fil , et quil descendit librement dans la cavité de celle ellipse. Car lorsqu'il se meut librement dans Tellipse, la direction du mouvement qu'il perd à chaque instant , est une perpendiculaire à Tellipse au point où est le corps. Mais lorsqu'il se meut le long du fil A BC, la direction du mouvement qu'il perd à chaque instant, est la ligne B F qui divise en deux également l'angle AB Cj et cette ligne B F, comme Ton sait par les sections coniques, est perpendiculaire à l'ellipse ilf-B iV en B. Donc etc.

Remarque IL

i53. Si un fil A MB N C fixe en A et en C ( Fig. 5a) passe à travers un corps KRBGL qui puissecoU- 1er librement dans ce fil , et que toutes les parties de ce corps KRBGL soient animées de vitesses telles qu il soit en équilibre, je dis que la force résultante doit

DE D r N A MI Q U E. 207

avoir pour direction la ligne (y i? qui coupe en deux également langle A C C, fait par les lignes A K, CL prolongées. Autrement le corps K R L^ glisseroit ou vers A ou vers C, et par conséquent il n'y auroît point équilibre, ce qui est contre la supposition.

D après cette remarque, il est aisé de trouver la courbe que décriroient les points K^ L, et la vitesse de chacun de ces points , si le corps avoit reçu une impulsion quelconque. Car il y a pour chaque instant quatreinconnues à trouver, savoir les directions des points jBl et Is, et leurs vitesses. Or il fautqué^fces directions et ces vitesses soient telles, que A K +CL fasse une quantité constante, aussi bien que la distance K L : de plus, les forces perdues doivent être tellement dirigées pour chacun des points du corps K RL.'que la résultante ait pour direction G R; cette dernière condition produit deux équations. Car regardant la force perdue par chaque particule , comme composée de deux autres , lune parallèle, Fautre perpendiculaire à G il, il faut que la somme de ces dernières soit zéro, et que la direction de la force résultante des autres soit G R; on aura donc en tout quatre équations et quatre inconnues, et le problême sera résolu. Je n'en donne point le calcul, parce qu'on imagine bien qu'il est très-long et très-compliqué, et qu'il suffit ici d'en présenter lesprit.