PROBLÈME IX

i56. Un corps dont la masse est m^ et la vitesse u » se mouvant sur une même ligne avec un autre corps dont la masse est M et la vitesse U , trouver la vitesse de ces corps après le choc.

Soit V la vitesse du premier corps après le choc, F" celle du second : on fera {art, 6i ) u= v + u — l'et TT^F' + V — F'. l{ faut par notre principe, que y^z V et que m Ç u — v) +Af( U — 7^) = o. Donc

^our=^1+-^-^

if + m

Corollaire.

1 57. Si un corps M de masse quelconque animé d'une vitesse donnée f7, est choqué par un corps /ra infinimeni petit, dont la vitesse soit «, il recevra par ce choc un< quantité de mouvement égale à m (^u — CI); et si u es infiniment plus grande que U, la quantité de mouvement qu'il recevra sera égale à mM , c'esl-à-dire à iatjuan

D d ij

tité de mouvement du corps choquant. On voit par-là» que quand le mouvement d un corps est accéléré ou retardé par une puissance impulsive, dont il reçoit, pour ainsi dire, à chaque instant des coups réitérés, la quan* tité de mouvement que le corps perd ou gagne à chaque instant, ne doit être regardée- comme proportionnelle à la puissance impulsive, qu'en regardant cette puissance comme une masse infiniment petite, animée d'une vitesse infinie par rapport à la vitesse du corps pouissé. En ce cas, l'effet de celte puissance est toujours le même, soit que le corps se meuve ou qu'il soit en repos.

RjEM^BQUE.

i58. C'est ici le lieu de prouver ce que nous avons avancé plus haut, ( art. 22 ) que le principe des forces accélératrices proportionnelles à 1 élément de la vitesse, ne doit point être employé pour déterminer les mou^ vemens qui résultent de l'impulsion. En effet, supposons, par exemple, qu'un corps vienne en choquer un autre en repos; la quantité de mouvement gagnée par

le choqué , sera ^Jl ^ " , Il faudroît donc que la

cause productrice de mouvement fût proportionnelle à — "^L^Llt — ^ Mais 1^ Comment peut- on prouver

que la cause motrice du corps M est proportionnelle

à — ]g~v— — 9 plutôt qu'à une autre fonction quel-

DE DYNAMIQUE. 2i3

conque des grandeurs M, ///, u ? Ne seroît-îl pas mê* me assez naturel de penser que m u pourroît être regardé comme proportionnelle à la cause motrice, ce qui ne manqueroit pas d'induire en erreur, puisque la quan* tilé de mouvement du corps Af n'est point comme mu^ toutes choses d'ailleurs égales ? 2^ Quand on sauroit

que la cause motrice est proportionnelle à - '" '*

on n'en pourroît rien conclure, sinon que la quantité de mouvement du corps M, regardée comme effet

de cette cause , seroit proportionnelle à -

sans savoir si elle seroit précisément cette quantité même (*). Il faut donc nécessairement employer d'autres principes, pour déterminer la .quantité absolue de mouvement du corps choqué.

159. Soit sur un plan Q R un corj?s A K Q R (Fig«53) dejignre quelconque y qui puisse glisser libre* ment sur ce plan de Q vers 9. y ou de R vers Q ; et soit un corps quelconque M j placé sur K Q en tel endroit quon voudra ; supposons que le corps A K Q R ait suiç^ant R Q une vitesse quelconque ^ et que le corps M ait une vitesse et une direction telle quil fasse, équilibre au corps A K Q R. Je dis que cela ne peut arriver i^ que M G pçfpea-

(*) Voyez l'Encyclopédie au mot Cause, Tom. IL p. 790. Voyez sLiiini le luot Force, Tom, VII. p. 114, coL 2.

diculaire à jK Q ne soit la direction du corps M. 2^. Que la force du corps M suivant MO^ et la force du corp« AKQR suivant It Q , ne se réduisent à une seule foroe dont la direction soit perpendiculaire au plan Q R.

Corollaire.

1 60. Donc la force du corps M doit être à celle du corps A KQR, comme A L est k L S.

161. La direction de la force résultante de celles des deux corps, doit être non-seulement perpendiculaire au plan , mais passer par la base QR. D*où Ton voit que si on mène par le centre de gravité de la figure AKQR une droite parallèle a QR, celte droite doit couper la ligne ikf O en un point, d*oii Ton puisse mener une perpendiculaire qui tombe sur Q R.

162. Supposant le corps M animé à! une force accé^ lèratrice (fuelconcjuè perpendiculaire d la base Q R , ^^f le reste comme dans le Lemme précédent, on demande le mouvement du corps M et de la figure.

Soient A B^ J9 ^(Fîg- 54) deux côtés consécutifs de la figure, tels que A B — B Vy et supposons que tandis que le corps M parcourt A B, la figuré ait parcouru A a ; ensorfe que les côtés A B, B S soient parvenus dans la situation aB^BD: soit a â^z^Auf

DE DFNAMIQUE. mS

B b = Ah y et enfin la ligne b J", celle que le corps Af parcourroit en vertu de sa force accélératrice : les ]ignes âr ce, lB cT seroient celles que les deuK corps parcourroient dans Finstant suivant, sans leur action mutuelle. Au lieu de ces lignes ils parcourront, l'un la ligne a a , Tautre la ligne B z , terminée par le côté h z parallèle k ^ d ; et il faut par notre principe que la masse du corps M animée de la vitesse z S" fasse équi^ libre à la massé m de la figure, animée de la vitesse a et. . D'où il s'ensuit que «Tz doit être perpendiculaire kb Zj étquem.eta : M.z S": :ib: zcT. Donc m. a a= Af. /b; mais ih^kz — ho — aa et a a=:J ( ^ et); donc sî on nomme A a, du, B K j dy , on aura m ddu = Mddy — Mdduy ou d d u.çM+ m^ ::^M ddy.

Equation générale et fort simple pour trouver le mouvement des deux corps , quelle que soit la force accélératrice qui agisse sur le corps Af , pourvu que cette force soit toujours perpendiculaire à Q /?• -

1 63. Les constantes qu'il faut ajouter dans Tintégration de lequation M ddy^ (^M+ my ddu, dépendentdu premier û? y et du premier duj qu'il est toujours facile de trouver. Par exemple, si la direction du raou+vement du corps Af en A (Fig. 55^ est suivant la tan* gente de la courbe A B en A j il faudra tirer la tangente A P, et prendre AO =z — p n. m ^ pour avoir

M 'j^ fn ^

2i6 TRAITÉ

le point O où la figure se trouvera, lorsque le corps M" sera en iV (46).

Si le corps ikf agit par sa seule force accélératrice sans aucune impulsion primitive, il faudra tirer A Q perpendiculaire kBD, et prendre AOzz ^^'^ ^

Au reste , il est clair par larticle 84 que dans ce dernier cas, le centre de gravité commun des deux corps degcend dans une ligne droite- verticale.

S c o L I E IL

164. On pourroit donner plusieurs autres solutions de ce problême, qui toutes font parvenir à féqualion M d d y = (Af+ 111) . ddu : j'ai préféré la solution qu'on vient de voir à toutes les autres , parce qu elle est extrêmement simple.

(46) i b ( fig. 64 ) est l'espace que le corps parcourt de moins dans le second instant que dans le premier, parallèlement au plaii. Or la quantité dont le corps est retardé à chaque instant est la quantité dont il s'a* yance parallèlement au plan par son mouvemeut propre , moins le mouvement avec lequel la Egure Pen traîne ; donc puisque ihz=.ddy — ddu, £i queddti marque ce dernier mouremcnt , ddj marque le premier ; donc dans l'intégration de l'équation Mddjzz(M-\' m) dduy on ne doit pas toujours prendre MX ^ B pour l'intégrale de M ddy ; car fddy doit être ici la somme de tous les petits espaces que le corps M parcourt paTalièlement au plan par son mouvement propre: or cet espace total est déterminé parla direction primitive du corps. S'il tend à se mouvoir au premier instant suivant jiK^BK scraifddj , puisque sans la surface courbe il seroit arrivé an point K ; si au contraire il tend au premier instant à se mouvoir suivant -^ P ( fig. 55), P Nser^/^dd^j puisqu'ên vertu de cette seule tendance il seroit venu au point P.

Tous

DE DT N A M^TQ U E. 2S7

^ Toùs^ les probJêipe» anal(^ed à cebirci qu!ott pour^^^. rà' proposer, seré^udrôDttcuijourspàrrappHcftlkuide notre principe r^t il n'y aura de difficulté , que. dans I9 càtcùL ^ ) V / • .

i65; Soient deux Snlicrcs t>i C CÏ'îg-.^S^V >^?^"^'y ' suivant G B, C D, a^^ec des r/lesses (jui soient rèpré" sentéespar les lignea infinimenl pe^iu§ Gi B , C D ; i/ e^f clair que ^i D B = C G , çesl-à-dire */ D E = B F , les moùvemêns de ces deux Sphères rie se nitïront point Vùfi à t autre ; (fôù îl s ensuir qQ^eri'géhéraf'y pour que ' ces Sphères ne îîe hlirsfent point ,^îî'fati¥ dan» fchacti^eque la vîlesse du point *touchant\^ suivant là|ierperh- * diculaire'Ç A G au^ àéûx corps:","' soft Aà nlênïe de partet d'autre. En effet on aura pour fors E Di=z F B ;- donc ' DB^CG. • \ ^^ ' ^

]66v/Si,deiix corps de^figure queJooiîq^t-'J^^Jpyahienl,, d^rsien regardant comiije une petite surface gphérique leur point dattducheixient comnaun, Qn verra qnç pour que ces ideux . corps ne- se nui^eQt.poîiiti la y]{tfspedu point il attoùchementc estimée $9Jiye»t !iipe^përp)»}idicu-> bore aux deux surfaces en: dè{ poiot.y doit êtrç U o^iéme pom;^chacun d'eux. !

^ . Le m m e X I.

1^7. 5/ tafU d<^ corps tjk'onvoudrà^ viennent se. cUê^

Êe

quwàe manière iqÏL en îcAsuppoiont parfaitement di{rs et:'sdns tesson \\ih\demew[fnt.U)'mefi*'VpQ^ après h choc; yé dis/jué 'sHLs\ soriù d re^sçrt pa/falti Uf^ retour-* neront en arrière chacun avec la vitesse quil avoit autant le choc. Car lefFet du ressort est- de restituer en sens cçntraire- à chaque ^orp^ le mouvemeçit qu'il a perdu par ractibn des autres/

,1 68. Donc §i tant de corps durs qu'on voudra se cnoqv^nt àrjf^ fyi^f çtqup <i,^ ^tc, sp.ient leurs yîtçsses ayant kçfeoçvfllVfi.pQiçnlt cl^ianlgées après le cboc en a, b etc. alçrs rega^flsint Ips vUesseç a^b etc. cjomme composées c^s vUe^ss^esa^ «t; b, .€;,etc. les vitesses de ces mêmes C9rp& après le cboc (dans lç.Cc^s ou ils seront plastiques) seront composées des vitesses a, — «t; b , — C\ etc.

Nous ne parlerons donc A^x^ IfS problèmes suivans que du choc des corps durs , puisqu'on en déduit aisément les lois du mouvement d^s corps élasliqu6s.

Je nVxamîr^e point ici s'il y^- des corps parfaitement durs : c'est uneqwestîoh qui appartient plutôt à la Physîc^jjuequ'àkif Méoa-nkjue,* et je Me j^pposedci d^'oorps par* faiteméntidurs^ que comme on^uppose.d'ordîdaire dans fa Mécanique des leviers Inflexibles^desmadunee sans frottement etc. Je suppose aussi comme une vérité d'expérience , que le resport rend à chaqye corps en sens contraire ce qu'il a perdu de mouvement par le choc , sans exàoïiDer de quelle maoièrë se fait cette restitutioa*^

DE BF NAMI^UE. ^tg

Comme il est assez bien prQiiv^ qije les corps à ressort sapplatisseot et sejÇomprôiiexit par Ig (phoc^^pour se. rétablir epsijiite danglpur p(eguère%ure^ on pOUrroit Qtol* re que ce n'est pas le véritable mofyen de trotovw lesiîois du mouvement de ces corps >. que de Içs supposer, incompressibles » comme nous faisons ict ; et il est vrdi que cette circonstance de plus ou de moins doit apporter à ces lois beaucoup de c'hajûgenient, comme nous leiV rons voir plus bas, Quoiqu UensOit» nousjpiouvons sup poser au moins que les coifps cH^ng^i^t très^n.de figil-** re, et que la compression aussi bSen que la restitutidn sfc fait dans un tems très-petit ; en ce cas , le mouvement après Je choc sera sensiblement le uiême, que si sih>09R4- «déroit les corps comme TinconapressibLes; Qn résou* droit ces problêmes exactement > si on sàvtiit suivant quelie loi la figure du corps change par 1% compression; mais on ne peut faire sur cela que des hypothësesi

• V ÈO B t Ê M E XI. '

1 6^. Sapposcmsxm-un corpus A ( Fîg. Sy ) ^n vienne choquer un autre B O Q en repos , suivant une Ûireetioh A C qui ne passe pas par là centre degtàçité M du âorps chaque ;^ on 'detkande lé mauvemeut de ces deuoù corps après It chàc. . ^ ' ^

Quelque mouvement «que prenfte le ct>r^ B O Q*, îl est certain (^art. 76 ) que son .centre. Af ira toujours eu ligne droite après le choc, tandis qoe toutes ses parties lotfrtiefoYît autour de <îe iMêttié centre. Il faut de plus

flio TRAITÉ

par notre principe » que si onimprimoit à ce €orp$ un mouvement contraire à cefeî qu'il a reçu par le choc , il fît équilibre avec le COrpS .4 animé du mouvement qu'il a perdu par le choc.

On a démontré piuS haut ( art. 141 ) que si le centre de gravité ikf d*un corps se meut suivant une direction quelconque, et que ce corps tourne en même tems autour de son centre , la direction de la force résultante sera parallèle à la direction du centre de gravité (*). Or la direction -de cette force ne peut ici èite que la ligne C A perpendiculaire à l^endroît A du contact ; car cette force doit être détruite par une force égale du corps ^, laqoeile agit suivant A C. Donc le mouvement du centre M rfoit.être parallèle k AC. De plus , la vitesse de rotation doit être telle , qu'étant combinée avec le mouvement du centreAf, les corps ne se nuisent point, c'est* à-dire qu'ils aient dans le même sens une vitesse égale. Or abaissant la perpendiculaire ikfiVsur CA/i\ est aisé de voir que le mouvement du point touchant A suivant A N, est égal au moAvenieot dir point iV, La difficulté se réduit donc à trouver la vitesse du point M y et la vitesse de rotation du point N.

Soit « la vitesse du corps .y4 ^vantJé choo, u sa vitesse après le choc, a la vitesse de M, v la vitesse de rotatioq du point iV, pniauift i^..* + v = u. De

(*) Ceux quivoudront une démonsiratioTi plus détaillée de celle proposition, la troiiTeroot daos dos Recherches sur lapréceniôn des Squi^ noxes, art. 86 et suiv. MaU la déi^nstratîon citée dtVari. 141 parok Hiffisante.

DE D r N A M 1 Q U E. 221

pïus, la force résullante des mouveraenâ des parties du corps Af en sens contraire, doit être égale à A, [u — u); or celte force doit êlre égale k M. a, et avoir pour dîfectîon la ligne CA ; on a donc 2^. M. ct:=iA . (// — u)î 3^ si on nomme/? là somme des produits des parties du corps M par le quarré de leurs distances à M^ on aura

{art. 141 ) '^ ^ ^ M . a. M N. Ces trois équa-

tîons serviront à déterminer les inconnues a, i/, u. Ce quilJaUoit trouver.

1 70. Deux corps spliérUpies K^ a^(^ Fîg. 5^ ) attachés aux verges C A, C a ^ fixes en Q et eh c^ se choquant avec des vitesses données , trouver leurs vitesses après le choc ; on suppose qu avant le choc ils vont tous deux d^un même côté.

• Soient u^ v^ les vitesses des centres^, a^ avant le choc, u, V les vitesses de ces mêmes centres après le choc. Par notre principe, il faut que les vitesses u , v soient telles, que les deux corps ne se nuisent point, et que si leurs centres avoient les vitesses « — u, v — v, les deux corps se fissent équilibre ; c est-à-dire que les points^, a étant animés des vitesses u — u, v — v^ il faut que la force du corps A regardée comme réunie en A et agissant suivant A a , soit égale à la force du corps ^ regardée comme réunie en a et agîijsant suivant a A.

422 T R A ITÈ

Si on mène les perpendiculaires CGf cg k Aa,\a

première de ces deux conditions donne —Â~j- = ^'^^ •

De plus , si on nomme F la somme des produits de$ particules du corp» A par le quarré de leurs distances à C, ou plutôt à Taxe qui passe par C, et /la quantité analogue à celle-là pour le corps a, la seconde condition

donnera ^ -LT^l. + ^Ç'-^- = o. ( 47 ).

De ces deux équations on tirera la valeur de u et celle de V.

1 71* Si les corps sont élastiques, leurs vitesses après le choc seront ( art. 168) u + u — u et v +v—- a^.

La somme des forces vives après le choc , sera — —-

a c^ ^ ^ AC^ ^ a e^

(47) Car u*^ VL étant la vitesse de rotation perdue par le centre

A, la vitesse perdue par tout autre point M ^era(«— ^u) X