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et. «a force (m — u ) X ^ ^ X M; mais à cette force on en peut

substituer une agissant suivant G AouAa^ et qui ( en considérant ÂfCG comme un levier angulaire ) doit être sr ' A ' ^ ^ x> ^

par le principe du levier : donc la somme des forces perdues du corps ^ seray— . C^TxC G " CAXCG ^J^ ^ X tf -

(jlJZiLl.>L.^^Donc,etc, C A X C G * ^

i) E DT N A M I Q U E, 2a3

Mais sron multiplie le premier de ces deux derniers termes par ^g- x'-f^-, et l'autre par.-^^ x ^^ ce qui ne change point leur valeur, on verra qu'à cause de -^-!^ = ^'f , et de LLii?^J'J +

=5 0, ils sei détruisent mutuelle*

ment. Donc la somme des forces vives après le choc

— 'aH^^^^'^T? — ' cest^a-dire, que la somme des forces vives avant et après le choc, est la même.

Corollaire II.

. 1 7?, Si les lignes QA^ca sont parallèles dans J'instant du choc, U faudra faire CG zz-C A^ cg=^ c «, et le, reste coœDDe ciide^sija. Ce derniçr cas a été résolu par, M. Jean. Bernoulîi lô fils , dans le Tome. VH. des Mémoires de Pétersbourg , en supposant ks corps éla^r. tiques^ Nos deux solutions sont fori diffi^reot^ , quant £^)a mçthode et quant ^u pési|Ua(;« Car dans le Mçoioilîfi de M. Betnoitîli\ les Yite3Ste après le choc:$ont expri*^ mées par des quantités radrcalçs ; ici on peut s'assurer aisément qui! n'y aura point de radicaux :» les quantités F^fy les seplçs qui pussent faire cptrer des radicaux dans TexpressioD des vitesses , n'en coûtieiineat:powt9

puisqu'en nommant b, Ê les rayons des Sphères A^ a^ CiV^, a, c;z, a, on trouveF=iCaa + 2a^ + iAA).^, ety=( a* + 2 A^+ ^ ^^) . a. Voyez-en le calcul dans le Mémoire cité de M. Bernoitih.

Mais outre que la solution de M. BernouUi n est pas directe, étant appuyée surle principe de la conservation des forces vives , cette solution est encore fondée sur . un autre principe qui nVst pas vrai. Ce principe consiste à regarder le corps A mû par la verge inflexible C A^ comme si toutes ses parties se mouvoîent d'un mouvement égal à celui du centre A^ et quen même tems le corps A tournât sur son centre avec un mouvement angulaire égal à celui de la verge. En conséquence la force du corps A. est la même selon lui, que s'il n eloit point attaché à la verge, elquetoules ses parties eussent une vitesse égale à celle de son centre , sans aucune rotation ; ce qui me paroît contraire aux lois de la Mécanique. M. BernouUi se contente de faire voir art. XV.* de son Mémoire, que dans fun et 1 autre cas là quantité' de mouvement est la même, soit que le corps tourne autour de C, ou que toutes ses parties se meuvent avec une vîtesse égale à celle du centre A} ce qu'on ne peut Jùi contester. Mais dans une Sphère qui tourne atitour d'un point fixe, la quantité de mouvement et la force ne $o.nt pas la niêitie -chose : il fout avoir égaixJde plus au bras de leviei*- par lequel cliaque particule agît; c'est la somme des produits de chaque élémettt par sa vî- 46sse^t par sa distance iau point fixe y qui feit la force,

et

DE Dr N A M I QV E 21S

et non pas seuleoient la somme des produits de chaque élément par sa vitesse.

P R O B L'Ê ME XIIL

1 73. Deux corps A , B ( Fîg. 5g ) attachés aux fils C A, G B fixes en C et en G, venant à se choquer, trouver leurs mouuemens après le choc.

Soit u la vitesse du point A avant le choc pour tourner autour de C, laquelle vitesse est commune à toutes les parties du corps A ; soit outre cela v la vitesse du centre de gravité du coips A avant le choc 9 pour tourner autour du point A par où le corps est suspendu. Soient de même Ï7et /^les vitesses qui dans le corps B avant le choc sont analogues kuetv : qu'enfin. ces vitesses après le choc soient changées pn u et v , U et V , qui doivent être telles, que les corps A^B aillent de compagnie sans se nuire Tinstant d après le choc, et que s'ils n'avoient que les vitesses u — ^u, v — v, U'-^U^ K — V, ils se fissent équilibre.

Toutes les parties du corps A ( Fig. 60) étant considérées comme animées de la vitesse u — u, on peut réduire tous leurs mouvemens à une seule fi^rce, dont la direction O K passera par le centre de gravité G du corps -^, étirera perpendiculaire kCA prolongée vers L. De plus le centre de gravité du corps A étant animé de la vitesse y — v pour tourner autour de ^ 9 on trouvera (^art. 140) sans connoitre la valeur de v — v» la direction NO de la force résultante, La force suivant O F

que je suppose résulter des forces suivant K^N O, doit sanéantir : elle doit donc être telle, qu'on puisse la décomposer en deux autres t Tunç suivant P L dans la direction de C^, l'autre suivant P a perpendiculaire en a à Tendroit du contact des deux corps. Or comme la position des points P, O est donnée par les lignes aP, CA, NOj KO, toutes données de position; il s'ensuit que la direction O P de la force résultante des forces suivant OKet NO est aussi donnée, et qu'ainsi le rapport de ces forces suivant O X et iVO est donné. Mais en nommant m la masse du corps ^ , on a la force suivant O K = m^ (^u — u ), et (^art. iSç) celle suivant jÎVO:= 7/2 • (y- — y). Donc le rapport de/^— u à y — .V est donné. On trouvera par un raisonnement semblable, que le rapport de U — U à J^ — V est donné pour lautre corps. On pourra donc des quatre inconnues u, v, U et V en chasser deux. On a de plus deux autres conditions à remplir; savoir que la force suivant P a soit égale à celle qui agît pour l'autre corps en sens contraire, et qu'outre cela ces deux corps aillent de compagnie l'instant d'après le choc, c'est-à-dire que la vitesse du point touchant a suivant P a, soit la même pour l'un et pour l'autre : ces deux conditions donneront deux autres équations qui serviront à trouver les deux inconnues restantes, et ces équations ne passeront jamais le premier degré.

DE DJTNAMIQUE. 227

D'un corps qui en choque plusieurs autres d la fois.