Nous avons vu dans l'article précédent, que si

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deux corps sont attachés au bout d'uue verge inflexible , et qu'on leur donne à chacun une vitesse quelconque, la conservation des forces vives n'a lieu que quand les vitesses qu'ils prennent différent infiniment peu des vitesses qu'ils ont reçues. Or la vitesse initiale réelle de chacun de ces corps, peut différer d'une quantitéfinîe de cellequ'on a imprimée à chacun suivant une direction quelconque. Mais quand ils ont une fois commencé à se mouvoir chacun sur sa courbe, leur vitesse ne varie qu'infiniment peu d'un instant à l'autre (56). Ainsi dans le cas de l'article 188 lasommedesproduits de chaque masse parle quarré de sa vitesse est toujours égale, non à la somme des produits de chaque masse par le quarré de la vitesse imprimée à chacune au premier instant , mais par le quarré de la vitesse initiale réelle de chacune.

191 . Il faut donc présentement démontrer en général , que si des corps se meuvent en se tirant par des fils ou

(56) Que les corps ^ et B joints par ]a ligne inflexibles^ 6 (fig. 71 } aient décrit dans un instant les lignes infiniment petitesse, BD ^ et qne dans l'instant suivant au lieii de décrire CEz^CA, D F=.DB^ (comme ils l'auraieïït fait s'ils eussent été libres ] ils décrivent CH^ DK; je dis que les lignes E Hjit FK qui représentent les mouvemens perdus seront infiniment petites du second ordre.

Car quelle que puisse être la position'des points H et ^, le centre de gravité^ doit être dans la ligne droite G^qu^il a décrite au premier ins» tant, et l'on doit avoir^^rsG^ (ar/. 76); donc^fl^=^C=^Gy maïs {art, 91 ^Eg' — AQoM (ce qui est ici la même chose) Egf ^^g^ H cêt égala 2 (u^ G— C^) moins une quantité infiniment petite du second or* dre; donc puisque-/^ G =C^^E^' ^-^gf H est infiniment petite du second ordre, donc EB ?est aussi : la démonstration est lajméme pour FK, Donc, etc.

par des verges inflexibles , et que la vîtesse de chacùti ne varie à chaque instant qu'infiniment peu, la somme des produits des masses par les quarrés des vitesses sera constante?, si les corps ne sont animés d aucune puissance ; et que s'ils le sont, elle sera égale à la somme des effets des forces motrices pour chaque corps.

Or j'observe d abord , que le second de ces deux cas suit immédiatement du premier ; c'est-à-dire que le premier étant supposé vrai, le second Test aussi nécessairement. Car supposons deux corps //,^(Fig. 72) attachés l'un à l'autre parla verge An, et animés par des puissances motrices dirigées suivant les lignes quelconques jEi^, e/, dont la position à chaque instant soîttelle qu'on voudra; que J5 ^, û^ soient les lignes que ces corps ont décrites pendant un même instant, et qui peuvent par conséquent représenter leurs vitesses. Si chacun de ces corps étoit libre , ils décriroient dans Tinstant suivant les lignes ^0,^0 égales et en ligne droite avec AB,ah; supposant que AD, a d représentassent 1 effet des puissances motrices pendant cet instant, leurs vitesses seroient changéesenyi JV, «^2; et menantles perpendiculaires J5C,Ac sur-/fC, ac, onauroit AN^=^AB^ +2. AD.AC, et a «* = ^1 Z>* -^i.ad.a c ; mais comme les vitesses AB ah sont les vitesses réelles que les corps ont dans le premîerinstant, et que les vitesses ^iV,/7/z n'en différent qu'infiniment peu, ces mêmes vitesses ^iV^, annt diffé^ rent qu'infiniment peu des vitesses dans lesquelles elles sei-bni' changées par l'action réciproque des deux corps.

Donc ,

DEDFNAMIQUE. 257 Donc, si on nomme 7^^ v les vitesses AB,ab;TT,ules vitesses des corps ^^ â au second instant , c est-à-dire les yîtesses qu'ils ont au lieu de A N, an, on aura^ . UU + a.uu=A.AN*+a,an* xA {AB* + i^ADx CA)+a(ah^ + ^ a d. ca) =: A.KVj^ a. v v + 2A.AD.CA+ 2a. ad.ca. Donc A (UU^ J^V) + a(f/« — yy) = 2 A.AD.CA + 2a. ad.ca, cest^ à-dire, 2 A Kd 7^+ 2avdv=:2A.AD. CA +2ax ad. c a, ou (supposant 7^= o et 2^ = o au commence-* mentdu mouvement) A J^F'+a vv^fzA.AD.CA +f2 a.ad^ca. Mais si les corps A, a se mou voient librement sur les courbes GA,ga, il e^t clair quey*2 A x A D. C^ seroit lefFet de la force motrice de A depuis G jusqu'en ^ , et de mêmey 2 a. ad. ca TefFet de la force motrice de a depuis^ jusqu'en a {5j). Donc, etc.

Si au commencement du mouvement, on avoit J^=B^ T^b,i\ est évident qu'on auroit alors A VF'+av v — ABB + abb'\^f2A. AD.CA +f2a. ad.ca.

On voit aisément que cette démonstration peut s'étendre à tel nombre de corps qu'on voudra ; car tout ce qu'on a supposé , c'est que si la vitesse ne varie qu'infiniment peu d'un instant à l'autre, et que lescorps ne soient

(57) La force accélératrice eo A étant représentée par AD^%oii ac-

AD yc A C ,

tîon suîrantla courbe sera ----; ; donc s! u' est la rîtesse du

A T) ^ A C corps A mû librement sur G AyOn aura -j-^ XABm u' du' ^

^MAXADXACzzAufA^' : àow%f AXA DXAC ^ Au' u' ; or ce qu.'oti appelle ici l'eAPet d'une force motrice , est le produit de la masse par le quarré de U vitesse que cette force peut imprimer.

point animés, de forcesaccélératrîces, la somme des produits des masses par les quarrés des vitesses fkît toujours une somme constante. C'est donc ce qui nous reste à' démontrer en général Pour cela nous avons besoin des Lemmes suîvans.

192. Soit un parallélogramme quelconque B V h^ (Fîg. 7^)yj^ dis, que si par un de ses angles quelconques B , on tire à volonté la ligne B D de grandeur et déposition quelconque, et que du point D on tire les perpendi^ culaircs D n, D K, D G ^^/r B b , B V , B N prolongées; on aura.B b . B n = B V . B K+ B N\ B G-