DÉMONSTRATION

Des points N, V, h soient menées les perpendiculaires i\rj?, VF, h IIsmBD prolongée; on peut regarder les côtés 5/^, 5 iV comme représentant des puissances décomposées chacune dans les deux B F, VF, etBE, JE N ; et de mêmela diagonale B b comme une puissance décomposée dans les deux BH^ b H. Donc, puisque la puissance Bb équivaut aux deux BJSf, BV on aura B E + B F.= B H : ox à cause des triangles semblables bHB,BDn,on3iBbxBn = BÙxBH^BDx BE + BDxBF=^BN.BG + BV.BK.Cequil

, falloit démontrer (*).

(*) On pOurroit démontrer cette propositiop , par des principes purement géométriques, sans avoir recours à la Mécanique ; mai à la défiions» tration que nouS' avons donnée^ fait voir eoitiment les différentes J^arties des Mathématique* peuvent s'éclairer ïnutuellcifient.

Remarque.

1984 Onvoitaîsément, queselon la position des points Ey Fruh par rapport àTautre et par rsipport an point H, il faudra au lieu de la somme des produitsSW.J^Gi et BK. BK prendre leur différence, el la faire égale à Bb.Bn.

P^ la conservation chis forces vives quand le^. corps J regardés comme des points, se tiennent par desjils. ^

194. Imaginons quie troi« corps ^/J5, C (Fig. 74»), soient attachés au fil -^/jBC, et qu'on imprime à ces corps les vitesses ^«, J5f, C*, qu ils soient forcés de changer parleur action mutuelle dans les vitesses AA^BD^CC^ qui seront telles, que AD = AB^ DC = BC:'û faudra regarder par notre principe les vitesses Act,BCy Cz, comme composées des vitesses AA^BD^ CC, et des vitesses ^û, Bù, Ce par lesquelles seules les corps A, B,Cse feroient équilibre; il faut donc prouve? que A.AA' + B.BD^+C.Ca^^A.Ait^+Ê.B^^ + C.CK%cest-h-dire,{38)queA.Aa.AQ—B.BNx BG+B.BF'.BK — C.Cc.CM==o.OrCM-BK,

et C. Cc=B. B J^,k cause de Téquilibre. De mrême AQ=BG, ttA. A a z=:B.BN. Donc eic.

Siaulieudu corps A onsupposoit u npoi h tfîîie autour

duquel les corps i?, C tournassent, on aurôît A^Q = o ,

(58) Celteéquation revient au mOme que la précédente , en substituant dans celle-ci à la place de /4 A% 5 D% etc. leurs valeurs qu'on trouve aisément par les propriétés connues des quarrés des côtés des tmngles , en "ayant de plus égard k Tarlicle ii)3 précédent , et en néglîgçAÂlètf quantités idfiliinient petites du second brdrd. < j ^>/l c'jr-

■ KkiV

26o TRAITÉ

B G=o, eth proposition seroît encore vraie. Il est visible par la nature de la démonstration précédente, qu'elle est générale pour tel nombre de corps qu'on voudra.

Sî je point B n'étoît pas fixe en sa place, mais pouvoit couler librement le long du fil , alors Bb diviseroit l'angle ^ iî C en deux également, et on auroît A. Aa^= B.BN;B.Br=C.Cc;B.BN=B.BF'; et enfin AQ-^BG = BK-'CM,p3ircequeAD + DC==:

AB +BC; donc A. A a. A Q^B.BN.BG + B. BV. B K — C. Ce. CM=^ o.

On voit donc suffisamment que la conservation des forces vives a lieu dans tous les cas possibles, quand les corps ne sont regardésque comme des points, el se tien-* nent par des fils.

Lemme XIIL

1 95. Soient trois corps A, B , C animés des puissances À Q , B R , C c ( Fig. yS)^ et en équilibre sur un levier défigure quelconcjue; et soient AB, B C /e^ distances de ces corps Vun à Vautre. Imaginons le levier dans une autre situation quelconque infiniment proche de celle-là^ et que les points F , G , E soient alors le lieu des corps A, B, C, ^e sorte ywe F G = A B; G E = B C : ye ^« quen menant les perpendiculaires G K, F X, E Z, on au* raB-BR-BK = A.AQ.AX + C.Cc.CZ.