R JE M A B Q ,U E

196. Si le levier A B C{ Fig. jj) étoit fixe en quelque point, en r par exemple, et qu'on imaginât le levier dans une autre situation Fv GE, la proposition seroit encore vraie, et se démon trerôit d'une manière semblable.

De la conservation des forces vives, fCjuand tes corps se tiennent par des verges inflexibles , et qu^on les regarde comme des points.

î 97. Il est clair que par le Lemme précédent (60) on

(59) Par la propriété connue des mouvemeos de plusieurs forces en équilibre ehtr*elles.

(6©) Il n*y aura qu'à considérer A Q, AF; BR,BG; Ce, CI? ( fig.

démontrera la conservation des forces vives, quand les corps se tiennent par des verges inflexible^, et que chacun de des corps est fixe à la verge» Si Fuu des corps coipme JB (Fig. yS} pouvait couler le long de la verge , alor$ la vitesse JB2Î qu'il perdrpitç.devroît^tre perpendiculaire à la verge, et il se irouveroit daos Tiustant suivant, i^qh au. point G tel que FG==i A Bj mais à un poiut^ iufi- ■nlnient proche de celui-là (*). Ôr à Cause que. les points JB19 G sont infiniment proches, et que Gg, B Jl doivent être censées parallèles, la ligne G g doit êlre regardée .comme perpendiculaire à BK, et partant on peut prendre JEfvi et jRlK.runp pour l'autre, parce que leur différence est infiniment petite du second ordre. Donc la conservation des forces vives a encorp lieu dans ce cas.

De la conservation des forces vwes, quand les corps sont de masses finies y et quih se tiennent par de^fi/s ou par des i^erges infi.exihle^s.

198. Nous avons vu dans le Lejmme XIII. que si trois . corps ^, S; C animés des forces -^i QrBJl,Cc de directions quelcoaques, sont en équilibre, on aura C* Ce. CZ + 4 . A Q. 4 X=^^BR.BK. p'6ù il s'ensuit, que si on prend B régale et contraire à ÈR (Fig. 75) , c'est-àdîresi on cherche la force résultante des deux puissances

t«fc

«76 ) coaoïiie les vitesses détruites ,«J: le« vitesses restantes aux'^orps A , B^-C:, et suivre exactemejst le même procédé qu'a Tarticle u^i^

(*.) On suppose icj que le Jevifry/ B.Ç e^t unj; courbe aussi hîçn qiie F G E y et que B R est perpendiculaire à cette courl^c en B, H a pa^u inutile défaire pour çri«i;unf; 9oufp|le/jg^re..

DE D r N AM IQUE. a63

C. Ce, A. A Q^ on réduira toujours C. Ce. CJZ -^ A. AQ. AX k un seul produit B . Br. B K. Ainsi quel que soit le nombre des corps atta^ohés à' une verge inflexible 9 si on prend le point B par où pàssela force^^ré-: sultante>et qu'on imagine ce point J5'parvenuenG:, il raffira de prendre le produit deJ5iiCparlaforce.ré$ullan^ te, au lieu delà somme de: tous ce» produits^- '

Oîpourque la conservation.deïs forces vives aîîf lieu, il faut, comiïienouè Tavons vu, qUe la $ornmjg*de Iqus ces produits soît = o. Donc il faut, ou queia forcer résultante soit = o, ou que ^ j£ soit = ô. Or i^; quatld il n'y a pas de point fixe, la force: résultante est =o. 2?.Quaodj il y en a un», la vitesse du point B doit être nulle, ou aUi moins sa direction est nécessairement perpeijdiculairé à, la direction de la force-résultaîiite; En efFeï , si lobstaçle, est un point Mathématique", comme lepoint d^appui d'uq. levier, la direction de [a force résultante >passe par ce point dappui, et le mouvement du point 5. est un moja-. vemervtderotation autoiir de ce point, ou le, point B n^est autre chose que le point dappui même, doijt le mouvement est zéro. Si l'obstacle' est une surface immobiJe, le* point B par où passe la direction de là force résultante) est nécessairement un point qui touche celle surface, et dont le mouvement instantatié est suivantla direction &€ cette surface même, tandis que la direction de la force résultante pstperpendiculaireàçelte.çprfftce. Donc en génial BK^o, quand il^y a qn point fixe. Il est donc démontré, que quand les corps se tiennent par des leviers

ii^flexîbles, fixes ou non fixes, la conservation des forces vîvei a lîeu.'

199. Si les corps se tiennent par des fils, alors on imaginera aux éxtréqiités de chaquepôrtion de fil qui est en-« tre deux corps, deux puissances égalés et opposées qui tirent dans la direction du fil , et la démonstration se dé« duira aisément de ce qui a été dit ci-dessus ( art. 194 ) quand les corps étoîent regardés comme des points.

200. Silefil passe à travers un ou plusieursdecescorps, de manière qu'ils puissent y couler librement, alors comitae la directioil de la force résultante des mouvemens perdus à chaque instant passe (art. i53 ) par le point de doncours (? (Fig. 78) des lignes CSj A R, et divise cet anglfe en deux paiement; ii faudra, au lieu de cette force réstiltatite^ imaginer deux puissances égales qui tirent suivant S G, et R G dans la direction des fils CS, AR; dé plus si on. suppose que S V, RJV soient les chemina de& points 5"^ R, et qu'on mène les perpendiculaires F^ D, N P, on aura, à cause de AR+ SCconstante, SD = RP. Moyennant ces deux remarques , on viendra aisément à bout de démontrer dans tous les cas, la conservation des forces vives.

t}e la conservation des forces vives dans le choc des

corps élastiques.

201. Nous pourrions démontrer la conservation des forces vives dans le choc des corps élastiques, en regardant ces corps comme durs, et supposaht que la compression

•pression et la restitution du ressort se fit dans un instant, nous avons même déjà donné dana l'article 189 un essai de démonstration de cette tspèce ; mais comme nous avons observé (art. 176 et suiv, ) que cette hypothèse pourroit tromper surles véritables lois du choc des corps élastiques, nous l'abandonnerons ici , et nous démon-r treronsia proposition dont il s'agit, en supposant un res* «ort placé entre les deux corps, et qui leur donne en sens contraires des forces motrices égales.

202, Soient A,B (Fig. 75) , deux points unis par un ressorte J9, lesquelsayant reçu des impulsions quelconques A G, B b y décrivent les courbes Ama^BMb pendant le tems de la compression et de la restitution du ressort : soit (p la force motrice variable , qui est égalé à chaque instant pour les deux corps, et qui les pousse ensenscontrairesdansla direction du ressort Mm, F^lâ vitesse de M, u celle de /7ï> G la vitesse de J?, ^^ celle de AjMK, dz, mu, dx, on aura J5 KV = BGQ *— 2y ^ d z, etAuu^=^A g g + if<p d x. Mais lorsque a b :=i A B , on 3L lf<p r/ a; — 2/*^ û? z = o; car dx-^d z est la quantité dont le ressort se comprime ou se dilate à chaque instant, et quand a bzz^A B ,\q ressort est remis dans son premier état. Donc A uu + B f^F^ ^ A gg+B G G, \orsque\a compression est finie.

Il est clair que cette démonstration peut s'étendre à tant de points qu'on voudra, liés ensemble d'une manière quelconque. On voit donc que la conservation des forces yiyes a lieu pour des points liés par des ressorts.

z66 TRAITÉ

Quand les corps sont finis, il suffit ( art. 198 ) pout* prouver la conservation des forces vives , de prouver que cette conservation a lieu dan? les points par où passe la direction de la ferce résultante des forces qui se font équilibre ; ces points sont dans lun et dans lautre corps le point parlequel ils se touchent, et que nous supposons demeurer toujours le point touchant pendant la compression et la restitution , que nous regardons ici comme achevées dans un tems très-court. C'est par ces points qu'il faut imaginer que passe le ressort, qui leur communique en sens contraire à chaque instant des forces mo* trîces égales, qui se distribuèfit ensuite dans toute la masse. Donc ce cas se trouve par-là réduit au précédent.

2o3. Si les corps A^B{ Fig- 80) se choquoient par* le moyen d une verge CB A fixe en C^ alorçles Ibrces motrices appliquées en ^ et cnJ? ne séroient plus égales i mais elles, séroient en raison inverse des bras CA > CjB> et comme les chemins des points ii? et ^ en tems ^aux, sont en raison directe de ces bras de levier; il s'ensuit que le produit des forces motrices par le chemin des points A , B seroit égal de part et d'autre. Ainsi on peut encore ici démontrer la conservation des forces vives ^ soit par le principe de Yart. 189, en suj^osant les corps incompressibles, soit en înmginant un ressort infiniment petit placé en A et un autre en B. Ce qu'il est inutile d'expliquer plus en détail pour des Lecteurs intelligens.

Donc la conservation des forces vives aura encore lieu dans le cas dont il s'agit ici ; et il est clair en combinant

lés principes établis cî-dessus , qu'on pourra toujours la démontrer dans le choc des corps élastiques. ^

SCOLIE GENERAL

204. Il résulte de tout ce que nous avons dit jusqu'à présent, qu'en général la conservation des forces vives dépend de ce principe, que quand des puissances se font équilibre, les vitesses des points où elles sont appliquées, estimées suivant la direction de ces puissances, sont en raison inverse de ces mêmes puissances. Ce principe est reconnu depuis long-tems par les Géomètres pour le principe fondamental de lequilibre; mais personne , que je sache, n'a encore démontré ce principe en général, ni fait voir que celui de la conservation des force? vives en résulte nécessairement.

Le principe de l'équilibre dont nous venons de parler, peut toujours se démontrer facilement. Car, ou les puissances sont égales et directement opposées, ou elles sont appliquées à des bras de levier différens , ou enfin la force résultante de ces puîss ances passe par quelque obstacle fixe et insurmontable, comme dans le Problême X. Tout ce que nous avons dit ci-dessus est, ce me semble, sufiisant pour démontrer les deux premiers cas : à l'égard du dernier cas , il est visible que les puissances décomposées dans une direction perpendiculaire à la force résultante seront égales, et que les vitesses dans ce même sens seront égales aussi. Or de là il estaitîé de tirçr Ja démonstration en la cherchant sur quelque cas, p^r

L I îj

exemple sur celui du Problème X, où elle est aisée h

trouver.

Si la force accélératrice qui anime les corps fest la gravité g , et que x, z etc. soient les abscisses verticales des courbes qu'ils décrivent, on aura {art. 191) A V^ V'\'a V V etc. = 1 Agx-^ 2 agz etc. en suppo* sant, comme dans la démonstration de cet art. 191 , que les corps partent du repos ; et si lès corps partoient avec les vîtessesinitîales j5,^, onauroit ^ ^/^+fl««eta = A B B -{-a b b -V 1 A gx+ 2 agz etc. Il est à re* marquer que si z est négative par rapport kx, c'est-àdîre, si le corps a monte tandis que le corps A descend» il faudra mettre — 2ag z. Par exemple si deux corps égaux sont attachés à un levier dont les bras soient c , e, et que celui de ces deux corps qui agit par le plus long bras de levier c, entraîne Tautre et le force à se mou* voir de bas en haut , on aura A F^ J^ + A u u on

^ sr A X L£j^.l^;- doù Ton tire V V ^

..i.^lf vj fji:f^J. équ^^jjQij qu^ontrouveroît aisément

d ailleurs, soit par notre principe, soit par d autres.

Il est de plus aisé de voir que la quantité 1 A gx-^- 2a g z etc. est égale en général au produit de la som«me des poids par le double de la descente du centre de gravité. Car la descente du centre de gravité.

DE DYNAMIQUE. 26^ comme il est aisé de le démontrer par la Statique^ est

jj g^ + ag z etc. ^insi dans le cas où les corps sont ^ s + ^ g etc. • *^

pesans , la somme des forces vives à chaque instant est égalé à la somme des forces vives initiales, plus à la force vive d'un poids unique égal à* la somme de tous les poids, lequel descendroit librement d'une hauteur égaie à la quantité dont le centre de gravité est descendu.

De la conservation des forces vWes dans les fluides.

2o5. Soit un vase de figure quelconque, et indéfini POTQ( Fig/81 ) dont la partie ADCZ terminée par les parallèles AD,CZ soit remplie de fluide. Soit imaginé ce fluide divisé en tranches F KG parallèles a A Dj et que tous les points de chaque tranche soient animés par une force accélératrice représentée par Fordonnée correspondante ^^y^de la courbe dfb^ (les ordonnées a d représentant les forces accélératrices positives , c'est-à-dire, qui tendent de L vers B, et les ordonnées ^y celles dont la direction est en sens contraire); je dis que si le fluide en cet état est en équilibre. Taire ou surface adnm o b c sera zéro, c est-à-dire, la somme des aires positives égale à la somme des aires négatives.

Car pour 1 équilibre , il faut qu'une tranche quelconque F KG soit pressée également de bas en haut, et de haut en bas : or la pression de la tranche F KG suivant L By est la même que si elle étoît chargée du cylindre

E H FG, dont le poids, en appellant L K, x ,et^ la' force accélératrice de chaque tranche, sera FG x/çdx, ou F G xi^din — ^fh); on prouvera de même que la pression de F G suivant BX, sera F G {hfm — mog + ^%c Â) et comme ces deux pressions doivent être égales, on aura a din — ^f f^ znhfm — mog +gc b, etad i n — f^J^^ J^^ -^^ ni o g — gc b= o. Donc etc. Ce quilfalloit démontrer.

Corollaire L

206. Si au lieu de la force accélératrice <p on substitue la petite vitesse r/^quî lui seroît proportionnelle, le tems étant constant, c est-àdire, la petite vîtesseavec laquelle chaque tranche, considérée comme isolée, descendroît dans un instant , on aura fdu dx=o. Donc si le fluide se meut vers AB , et que d u représente la vitesse perdue ou gagnée par<:haque tranche, cest-à-dîre, {^art. 60) la vitesse par laquelle chaque tranche seroit restée en équilibre avec les autres, on aura fd u d x = o.

Corollaire IL

207. Nousavonsfaitvoîrci-dessusen général (^r/. 191) que la conservation des forces vives quand les corps sont animés par la pesanteur ou par une force accélératrice quelconque, dépend de la conservation des forces vives quand il n y a point de forces accélératrices. Nous nous contenterons donc de prouver, que si un fluide^ J9C-Z', poussé et mis d abord en mouvement par quelque cause

DE DFNAMIQUE. 271 (comme par un piston ) se meut dans le vase POTQ, abstraction faite de la pesanteur f la conservation des forces vives aura lieu,

Pourceia, nous imaginerons le fluide partagé en tran^ ches égales et infiniment petites, dont la masse sera appellée m , et dont l'épaisseur sera d x etjy la largeur ; on aura ainsi m = j^ dx. Si on appelle u la vitesse de chaque tranche, etu+du sa vitesse dans Tinstant suivant; il fàu^ dra par notre principe, que les tranches animées des vitesses ^1/ se fassent équilibre, c'est-à*dire, quefdudx sera == o {Cor.préccd. ) Maïs pour démontrer la conservation des forces vives, il faut prouver (61 ) que/m udu =0 :.

or u z=, —^ puisque la vitesse de chaque tranche est en

raison inverse de sa largeur ; m ^y dx) Aowcfm udu ^fdudx = o. Donc, etc.

AVERTISSEMENT

M* Daniel BernoulH dans son excellent Ouvrage qui a pour titre : Hydrodynamica etc. a tiré les lois du môu« vement des fluides dans des vases, delà conservation des forces vives, mais sans la démontrer. Comme notre principe général exposé art. 60 , nous a conduit à en trou-

(61) Sï/m u du:zzoj et qu*oii nomme u^ la vitesse de la même tranche dans l'instant suivant, on aura (en faisantjrc^orou m constant, ce

qui est permis ), y = © ( puisque

*/../ — •«..„ ffg u' u' '^muiA

à.yi TRAITÉ

ver la démonstration 9 il est évident que nous aurions pu déduire immédiatement de ce même principe le mouvement du fluide , ce qui auroit encore été plus lumineux et plus direct. Maïs comme notre dessein n'est point de traiter ici des fluides , nous nous sommes contentés de faire voir en deux mots l'usage de notre principe dans une matière qui paroît si épineuse. Nous nous contenterons donc ici de ce léger essai, et nous renverrons ceux qui désîreroient un plus grand détail, à notre Traité de Véquilihre et du mouvement des Fluides^ dans lequel nous avons déduit de notre principe général, la solution des Problèmes les plus difficiles quon ait jusqu'à présent proposés sur cette matière,