FIN

Quoiqt

Quoique VEcrit suivant soit étrange^ à Vobjet de ce Traité , cependant comme il a trop peu d^ étendue pour être publié séparément , et quit a rapport au dernier Ouvrage que fai mis au jour , fai cru quon me permettroit de V insérer ici.

l jEs réflexions que j'ai faîtes sur les Tables de la Lune, dans la trpîsièiue Partie de mes Recherches ^ sur le système du Monde, publié en 1756 , ont donné lieu à quelques observations , auxquelles je vais tâcher de répondre ; et j'espère que cette réponse suffira , sans multiplier davantage les écrits, pour mettre au fait des questions controversées , le petit nombre de Juges qui sont à portée d'en connoître.

I. Si le Problême des monvemens de la Lune , sur lequel plusieurs Géomètres se sont exercés, pouvoit élre résolu exactement et rigoureusement, il n'y au roi t entre ces Géomètres aucun sujet de partage sur le degré de perfection dont la solution est susceptible. Maiy dans l'état où est aujourd'hui l'Analyse , le Problême dont il s'agît ne peut être résolu que par approximation , c'est-àdire d'une manière qui est toujours nécessairement imparfaite. Or il m'a paru , et je n'en répéterai point ici les raisons qui, ce me semble, ne peuvent être combattues, que la multitude des quantités qu'on est forcé

de négliger dans ce Broblême , jetoît beaucoup d'încertîtude sur la valeur des coefficîens des équations qu'on trouve par la théorie; je ne vois pas comment on peut être assuré d priori d avoir déterminé la valeur d'aucun de ces coefficîens à une minute près ; il y en a même sur lesquels je croîs que Terreur peut aller fort au-delà, puisque ceux qui prétendent avoir fait ces calculs avec le plus de besoin, ont varié quelquefois de deuxnaînutes et plusdanslesdéterminations successives d'un même coefficient. Je n'ai cependant point donné ces doutes sur l exactitude rigoureuse de la théorie pour des raisons démonstratives, mais pour de fortes présomptions, le seul genre de preuves qu'on puisse employer dans cette matière. Elles paroissent avoir frappé M. Euler ainsi que moî, comme on le peut voir pag. 1 8 de la troisième Partie de mes Recherches sur le système du Monde) et ce grand Analyste s est exercé assez long-tems sur la théorie de la Lune, pour en connoître parfaitement les diflficultés. D'ailleurs il ne faudroît, ce me semble, que Terreur dans laquelle les Géomètres ont élé long-tems par japport au mouvement de Tapogée, pour les rendre trèscirconspects dans leurs assertions sur cette matière; ils ont cru que la théorie ne faisoit trouver que la moitié de ce mouvement, parce qu'ils supposoient faussement que les quantités qu'ils négligeoient ne pouvoient jamais donner qu'un résultat très-petît ; ce résultat négligé et regardé comme presque insensible, étoît pourtant de près dun degré et demi; qui osera répondre après cela

d'une minute et plus d'erreur dans la valeur des aulres coefficîens ? On seroit d autant moins fondé fi le prétendre, que la différence, s'il y en a, est ici toute à l'avantage du mouvement de l'apogée. Ce mouvement étant très-considérable, et de 3*^ à chaque révolution , il faut nécessairement ou que la solution du Probîéme de la Lune soit mauvaise, ou qu'elle donne ce mouvement à peu près tel qu'il est ; trois ou quatre minutes d'erreur sur trois degrés ne seront ici d'aucune considération ; mais une ou deux minutes le seront sur certains coefficiens de l'équation lunaire , sans qu'il en résulte pour cela d'erreur trop grande sur le mouvement total de la Lune. En lîn ptiot pour pouvoir compter sur Texactitude d'un coefficient, il faudroîtêlre assuré, i°. que la série qui exprime ce coefficient çsi constamment et rapidement convergente. 2^. Qu'on n'a négligé dans cette série aucun des termes qui pou voient être de quelque considération. Or je le demande à tous ceux qui ont travaillé à la théorie de la Lune; peut-on jamais rester sans nuage sur ces deux points dans les calculs énormes et très-compliqués que cette théorie demande? Ce ne seroit pas ici le premier Problême qu'on ne pourroit résoudre par approximation que jusqu'à un certain point , et il ny auroît à cela rien de surprenant. Aussi les partisans les plus déclarés et les plus exclusifs de la théorie conviennent-ils que le succès seul peut en constater l'exactitude ; pour lors les raisons de douter céderont aux faits. Mais ils conviendront aussi que jusqu'à présent on n'est point en-

M m ij

çore arrivé à ce succès ; puîsqu*après des calculs immenses, Terreur des Tables s'est encore trouvée de plus de ■4' sur 100 observations.

/ II. C'est par toutes ces raisons qu'en publiant mes Tables, je n'ai pas cru devoir rien prononcer -sur leur degré d'exactitude , me contentant d'inviter les Astronomes à s'en assurer. J'aurois fait moi-même cet examen si des occupations indispensables me l'eussent permis; mais pour le faciliter aux Astronomes , j'ai publié au commencement de 1756 des Tables de correction , àovA le calcul est très-expéditif, et par le moyen desquelles on peut vérifier très-promptement les résultats de la théorie. Personne n'ignore que depuis le commencement de ce siècle les Astronomes ont observé et calculé avec soin un grand nombre de lieux de la Lune, et inscrit dans leurs registres la différence du calcul à l'observation ; il n'y aura plus qu'à appliquer les Tables de correction aux lieux calculés , pour voir si ces Tables donnent le lieu de la Lune plus exactement, ce qui ne demande que très-peu de travail. C^i usage si simple et si naturel de mes Tables de correction suffiroit, nonseulement pour justifier la peine que j'ai prise de les . dresser , mais pour les faire préférer a des Tables entièrement nouvelles , dont la comparaison avec les observations sera toujours sans comparaison plus longue et plus épineuse. C'est aussi cet usage que j'ai eu principalement en vue en publiant mes Tables, et qui doit, ce me semble, sauter aux yeux de tous les Géomètres et

de tous les Astronomes ; ce qui me justifie suffisamment de n'y avoir pas autant insisté que quelques Lecteurs auroient paru le vouloir. Il me suffit que ces Lecteurs ne puissent se dispenser de reconnoître cet avantage de mes Tables I et de l'approuver. Mais ce n'est pas le seul. L'expérience montre que les Astronomes ont beaucoup de peine à se détacher de la forme de Tables qu'ils ont une fois adoptée, surtout lorsqu'ils ne connoissent pas assez le degré d'exactitude des nouvelles Tables qu'on leur présente. Ainsi quand ils aurontobservé eux-mêmes un lieu de la Lune , ils trouveront encore plus simple de calculer d'abord ce lieu par les Tables dont ils se servent pour l'ordinaire, d'examiner la différence du lieu calculé à celui qu'ils auront observé , et de voir enfin ( par un calcul d'un moment ) si des Tables de correction diminuent ou non cette différence, que de calculer d'abord le lieu de la Lune par de nouvelles Tables qu'on leur aura présentées.

III. Ces réflexions au reste tombent beaucoup plus sur la grande utilité dont peuvent être en général des Tables de correction pour vérifier la théorie , que sur l'avantage particulier qu'on peut tirer des miennes. Encore une fois , je me suis proposé simplement d'offi^ir aux Astronomes dans ces Tables les résultats que la théorie m'avoit donnés ; tout ce que j'ai dit dans mon Ouvrage, prouve assez que je n'ai point prétendu répondre de ces résultats. Le calcul, par exemple, m'a donné la variation sensiblement plus petite que dans les autres

Tables , et ydi cru sur des raisons qu on a trouvées plausibles, et qui le sont en effet, que les Astronomes pouvoîent Favoir fàî le trop grande. Maïs il se pourroît que je Teusse aussi trop diminuée , et que f eusse en même-tems un peu tropaugmenté Yéi^ection. J'avertis cependant que f aï calculé ces deux élémens avec un soin et une patience extrêmes, en ne négligeant que les quantités du même ordre que la cinquième puissance de Texcentricité; et si ces termes négligés avoient pu produire une erreur de deux minutes , je n*en serois que plus convaincu de ce que j'ai avancé sur Fincerlitude où Ton est toujours dans la théorie de la valeur des quantités qu on néglige. Cependant avant que de prononcer définitivement sur la valeur que j'ai donnée à la variation et à Vévection , il sera bon d'examiner si la différence du lieu calculé au lieu observé, ne viendra pas en très-grande partie des autres termes de Féquation lunaire, dont plusieurs sont jusqu'ici très-incertains , et très-dîfférens dans toutes les Tables. Enfin des Tables de correction , quelles quelles soient, auront toujours un avantage, c'est que les équations en étant fort petites, il sera plus aisé de voir en quoi peuvent pécher ces équations, et de les faire approcher davantage de la vérité, que de • pratiquer cette opération sur des Tables entièrement nouvelles. Quand par ces différens moyens , on aura donné aux Tables de correction toute la perfection possible , il sera facile pour lors de les refondre dans les anciennes Tables,

vi;

IV. Les Tables que J*aî choisies pour y appliquer des Tables de correction , sont celles des Institutions Astro^ nomiques, i^. parce que ces Tables sont celles dont les Astronome^ me paroissent faire actuellement le plus d usage^ le calcul en étant incomparablenient plus court que celui de quelques autres Tables publiées depuis. 2°. Parce qu ayant été comparées à un très-grand nombre d'observations dans toutes sortes de circonstances , on peut se flatter de connoître assez bien le degré d erreur dont elles sont susceptibles, et que M. leMonnier assure monter rarement à 5'. 3°. Enfin parce que Terreur de ces Tables est toute calculée pour une quantité considérable de points. En effet on a déjà Terreur des Tables de Halley pour une période entière : or Ton sait que les Tables des Institutions ne différent que très-peu de celles de Halley, quant au résultat et quant à la forme ; elles ne s'en écartent que sur deux points, auxquels il est très-aisé d'avoir égard. On sait de plus que M. le Monnier continue sur ses propres Tables, ce que Halley^a fait sur les siennes , pour en déterminer Terreur à chaque période, et quil publie de tems en tems le résultat de son travail.

V. De tous les Mathématiciens qui ont donné en dernier lieu des Tables de la Lune, M. Mayer est celui qui se flatte le plus d'avoir approché de la vérité. On assure que M. Bradley y ayant comparé depuis peu plus de 3oo observations, n'a pas trouvé une minute de difFél'nce; ce qui sup pose, ce me semble, que M. Mayer a

fait quelques corrections àses premières Tables;car les observations qu'il avoit d abord comparées à son calcul ( les seules qui aient été publiées jusqu'ici ) s'en éloignoient quelquefois de deux minutes , même dans les Syzygies. Cest cette différence qui avoîi principalement fait naître mes premiers doutes sur Texactilude des Tables de M. Mayer. Car elles avoient le défaut auquel de bonnes Tables ne paroîssoîent pas devoir être sujettes, de n être pas plus exactes dans les syxygîes qu'ailleurs; et l'exactitude qu'elles donnoient dans les syzygies n'étoit gûères plus grande que celle des Tables Newtoniennes , s'il est vrai, comme on le prétend, que Jes pre- ^ miers Astronomes qui avoient borné à l' le degré d'erreur de ces dernières Tables, ne les eussent guères vérifiées que dans les syzygies. Quoiqu'il en soit , bien loin de refuser à M. Mayer la justice qui lui est due, je désire au contraire que l'exactitude de ses Tables soit en effet constatée de plus en plus ; i**. Parce que ces Tables sont de la forme la plus expéditîve pour le calcul 2°. Parce que si l'erreur de ces Tables ne va pas au-delà d'une minute, comme on l'assure, il n'y a guères lieu d'espérer que la théorie donne jamais une exactitude plus grande ; car les Tables formées sur la théorie présentent un très-grand nombre decoefRcîens, dont aucun , de laveu de tout lé monde, ne peut être réputé exact à quelques secondes près : or quelqizes secondes d erreur sur plusieurs çoefficiens seront bientôt une minute sur le tot^l, 3"". Enfin parce que M. Mayer a vraisemblablement

dressé

dressé ses Tables^ moitié sur une théorie qui ne paroît pas avoir été fort rigoureuse , moitié sur une espèce de tâtonnement éclairé par les observations; ce qui serviroità confirmer Topinion où je suis, qu on peut construire plus promptement et plus exactement des Tables de la Lune^ en joignant les observations à la théorie » qu'en employant la théorie seule « ou les observations seules. Ce n'est pas que je ne convienne de la grande utilité, de la nécessité même de la théorie, pour perfectionner les Tables; ce n'est pas non plus que je veuille blâmer les Géomètres qui croyent pouvoir s'en contenter. Mais je crois lautre méthode plus courte et plus sûre, et c'est celle-là que je me propose d'emploj'er, si mes occupations me permettent de terminer mon travail sur U Lune; travail qui ne demande plus que ^e la patience et du teïnst et dans lequel je ne serai point facile d'être prévenu par d'autres. Il me suffira d'avoir résoluyle Pro^ blême des trois corps par une méthode, qui n'est je croîs inférieure à aucune des méthodes connues, et d'à» voir fourni auxGéoœèlreSt comme je l'ai fait , un grand nombre de vues pour tirer tout le parti possibie de la so^ lution de ce Problême, vainement cherchée jusqu'à ces dêmierfi tems*

VI. Il n'est pas douteux qu'il n'entre d'autres quan-' lités que l'excentricité dans Téquation du centre de fa Lune ; il n<e faut quavioir calculé avec exactitude cette équation pour en être convaincu. On peut même prouver qu'en ayant égard à celte remarque, et rédui&ant

toutes les Tables à la même forme, les différentes équations du centre s'accordent à très-peu-près. Mais cela n'a pas dû m'empêcher de dire Un mot de la diversité entre les excentricités trouvées par dilFérens Géomètres et Astronomes, et d'en laisser, comme je lai fait, la décision aux observateurs à venir; cet élément de la théorie de la Lune ne pouvant être trop examiné.

VU. La comparaison des deux méthodes dont oh peut se servir pour trouver rerréur du mouvement moyen, est en elle-même peu importante, puisqu'on est à peu près le maître de préférer celle des deux qu'on juge à propos; j ai donc cru qu'il étoît inutile d'employer une méthode sévère et pénible pour cette comparaison; et je lui en ai préféré une autre, moins rigoureuse à la vérité, mais aussi d'ime utilité plus générale, et qui donne lieu , comme on en est convenu , à des remarques curieuses. D'ailleurs les Astronomes différent entr'eux de près de i5" sur la quantité quMl faut ajouter au lieu moyen pour corriger les Tables de Halley ; îl auroît fcdlu discuter les raisons de cette difï'érence, et cette discussion m'auroît mené trop loin, d autant qu'elle n'étoit pas essentielle.

VIII. Quand j'ai donné une méthode plus abrégée que celle des Institutions^ pour calculer le lieu de la Lune, je n'ai pas prétendu que le résultat des deux méthodes dût être absolument le même ; cela n'est- nullement nécessaire ; il suffit que Indifférence des résultats 60Ît d'un côté considérablement plus p<îlite que le ré-

3CJ

sultat total, et de lautrfe fort au-dessous de Terreur dont les Tables des Insùi/utions sont susceptibles. 11 y a de. plus deux manières de simplifier des Tables; soit en réduisant plusieurs équations à une seule, qui donnent ou. exactement, ou à peu près le même résultat ; soit en retranchant . celles qui paroi$sent n'être pas nécessaires; cVst pour cett<î dernière raison que j'ai retranché quelques équations, comme une seconde équation du moyen mouvement que le calcul ma fait.trouver trop petite pour toériter attention/ Au reste il me seroil aisé de prouver ( mais cela est eu soi fort peu important) que favois trouvé les abrégés dont il s agit, avant la publication des Tables de M. M<}yer.

' IX. I-a méthode de trouver les coefficîens des équations lunaires par la théorie, ne peut être pratiquée que par un très-petit nombre de Géomètres. Au contraire celle que j'ai donnée de trouver ces coefficiens. par les seules observations , peut être mise en usage à la fois par un très-grand nombre d'Astronomes ,, en se servant de tous lès moyens de simpHfication que je leilr ai fournis. Sans être attachés à aucune théorie, ils auront du moins davantage de connoître déjà à peu près par les différentes théories qui ont été publiées la valeur des principaux coefHciens^ et cette connoissatice peut abréger et^simplifier leur travail Un tâtonnement éclairé pourra leur apprendre;le reste;, et pourquoi ne sVo flatterpitron pas, •lorsqu'on voit ce qu'un pareil.tâtonriement a donné. vraisemblablement d'exactitude aux Tables de M. Mayer?

N n ij

D'aîlleUM c'est pour fournir aux Astronomes tous les secours qu'ils peuvent attendre de l'analyse, que fai donné la méthode dont il s'agit. Dans une matière telle que celle-ci , on ne sauroit se procurer un trop grand nombre de ressources, et de trop d'espèces. C'est par la même raison que j'ai donné en passant la méthode de dresser des Tables d'après la formule du Heu moyen , dont on ne peut contester l'utilité, au moins quand ii sera question de trouver le tems par le Heu.

X. Si je n'ai point construitdes Tables du mouvement horaire, c'est qu'il m'a paru que tout Astrc^omepouvoit les construire avec beaucoup de &cilité et de promptitu-^ de, par la métliode fort simple que j'ai expliquée. Au reste je ne puis croire (vu le peu de certitude qu'onasur Feïactitude des coefficiens) que la théorie donne, au moins jusqu'ici , le mouvement horaire à une seconde près; une minute d'erreur sur la seule variation, donne plus d'une seconded'erreurdaasle mouvement horaire, et il est aisé de juger par la seule inspection des difFérentesTables pu^ bliées jusqu'ici , que ces Tables doivent diiFérer de plu« sieurs secondes dans la détermination de ce mouvement Je ne croi pas non plus que dans aucun cas^ par exemple dans la recherche de la parallaxe, il soit nécessaire d'avoir égard aux erreursd\me secondedans la détermination du mouvement horaire , tant à cause de l'incertitude cfoi reste encore dans ce mouvement, que parce qu'il s'en faut beaucoup qu'on puisse déterminer à une seconde près la parallaxe , cet élément si incertain par tant de raisons

xuj

XI. Je finirai par une réflexion <juî ne doit pas être passée sous silence. Les différens objets de contestation agités aujourd'hui entre les Géomètres sur la théorie de la Lune, ne doivent pas paroître surprenans, puisqu'ils roulent sur des points que le calcul et Tobservation n'ont pas encore suffisamment décidés, et sur lesquels il n'est pas étonnant qu'on se partage au jourd'hui , pour se rap* procher sans doute un jour, lorsque le tems aura pleinement fixé tout ce qu'on peut attendre de la théorie. Mais un point çssentiel, et dont tous les Géomètres conviennent unanimement, cest que la théorie, dans l'état où elle est, fournit les preuves les plus convaincantes du système de la gravitation , et de l'accord de ce système avec les mouvemens de la Lune.

Addition de l Auteur d P article ij6*

Dans cet article , qui est exactement semblable à l'art. 145 de la première édition, fai\ remarqué qu'il y avoit des cas où une boule-, qu*oh suppose infiniment dure, rencontrant à la fois quatre autres boules, ne communique point de mouvement à deux de ces boules 9 mais seulement Bxm deux autres.

Ce que j'ai avaecé sur ce wjet > qùoîqu'appuyé par des preuves qui me semblent démonstratives^ n'a pas frappé de même un savant géomètre , qui a cru pouvoir assigner ies vitesses des cinq corps après le choc. C'çst cç quç Ja yAÎs,ç)^miner, / . .

Soit a\dL vitesse de la boule A ( Fig. 62 } , dont |c 8upç>Qse que A soit I4. masse ^ et A L la direction avant le choc ; D la masse de chacune des boules Z? et C , dont je suppose , que la vitesse avant le choc soit parallèle à ^ i v ^t = A; enfin soit E U inasse de dbacune des boules Jp, F, dont je suppose que la vitesse avant ]e choc soit p^rgllèle h A Lj et = c ; il est visible que b et c doivent chacune être plus petites que a.

Cela posé.

Si on nomme l'angle LAX), « . çt Fangle LA E ^

xvj

€j X \di vitesse perdue par la boule A suivant AL, z la vitesse communiquée aux boutes D, C , suivant A DetAC, et j la vitesse communiquée aux boules JE y F, suivant A JE , A F; on aura par notre principe de Dynamique , les trois équations suivantes :

(a — x) cas, e^^z + b cos. a.

\a — a; ) cos. ^ = j* + c cos. C -4 ar = 2 Z) z COS* a + 2 Fi y COS. ^. - D'où Ton tire

Par conséquent la vitesse à — a; de la boule A après le choc, sera t •. .

La vitesse z+ ^ cos. tt de la boùle'Z) suivant -^I>, sera

égaleàr^— ^)C0S.*= {AaJt%pbcos.^-4f^^^ccos:i^Sco^.^ ^

£tla vitesse de la boule "E suivant A JS sera de même, et * par les mêmes raison8=(-^''t;^*^°'*'ty^i?*-^'^/°i:5.

Ces formules sont précisément semblables à celles que le savant Géomètre dont il s^àgit , a trouvées par une méthode particulière ; sur laquelle néanmoins on pourroit lui faire , ce me semble, quelques diâ^cultés trèsrbien fondées , dans le détail desquelles je n'entrerai point ici. Quoiqu'il en soit i conune ce r^ultat

xvi)

est le même par sa méthode et par la mienne , c'est uniquement à ce résultat que je vais m'attachen

Je dis donc qu il faut nécessairement que les vitesses des corps D , E ^ après le choc , estimées suivant A D , AÈ , soient plus grandes que les vitesses b , c> de ces mêmes corps avant le choc, estimées aussi suivant AD , A E; car, si les vitesses étoîent égales avant et après le choc , il n'y auroit point eu d'impulsion ; et il est absurde de dire qu'elles puissent être plus petites , puisque l'effet nécessaire du choc est d'augmenter la vitesse du corps choqué.

Il faut donc qu'on ait

A a + 2 E c COS. €*>Ab+2Eb cos. C* ;

. Et de plus » A a -^ 2D b cos. a^>Ac + 2Dc cos. a'.

Soit supposé comme à l'art. 176, c = o; il est visible que la seconde condition aura lieu, et que par conséquent les boules Ey F, recevront du mouvement par le choc de la boule A s mais la première condition n'aura lieu qu'au cas que A a soit >Ab+2Eb