TRIANGULATION

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15. Lorsqu’on veut lever avec exactitude la carte d’une côte étendue , il est indispensable de la couvrir, à l’aide de signaux et des points remarquables qu’elle présente , d’i/ne suite de triangles dont l’enchaînement forme un réseau continu, figure 22.

Ces triangles réunissent les conditions les plus avantageuses, lorsqu’ils approchent, autant que les circonstances locales le permettent, de la forme équilatérale. Les petites erreurs commises dans la mesure des angles ont alors la plus faible influence possible sur la longueur des côtés. Ils doivent aussi être liés à une base mesurée exactement et s'agrandir peut à peu à mesure qu’ils s’en éloignent. On fera bien de ne pas employer souvent des côtés plus grands que 25 ou 50,000 mètres, à cause de la diiliculté qu’on a d’apercevoir avec netteté les signaux placés à leurs extrémités lorsque l'atmosphère est chargée de vapeurs, ce qui arrive assez communément dans le voisinage de certaines côtes. Il faudra aussi n’admettre que très-rarement, dans une triangulation du premier ordre,, des angles inférieurs à 50° ou supérieurs

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à 120, surtout s’ils doivent être opposés à la base du triangle. On conçoit qu’une légère erreur commise dans la mesure de chacun des deux autres en donnera une d'autant plus grande sur la position du sommet, que l’angle en ce point sera plus aigu , ou plus obtus.

16.' Les considérations analytiques suivantes vont éclaircir les principes que nous venons d'énoncer.

Dans un triangle dont A, B, C sont les angles, a, b, c les côtés opposés, on a, en supposant que b soit la base connue : sin A . sin C

sin B

sia B

Si l’on désigne par d \ , dB, dC les excès en plus ou en moins des angles observés sur les angles réels , on aura par la différentiation des équations précédentes , pour les erreurs

qui correspondent aux côtés a, c, en supposant dB aA.

dB = rit dC :

ia = bd\2£3p-, de =. bdC i

sin*B * nn*B

ou en remplaçant b par ses valeurs a

sin B sin A ’

sin B sin C

, ,. sin (B^:A) , sin (Bq:C)

da — ad A . . „ , de = ad C , ^ g- •

Cela posé, lorsque B=AetB=C, il vient , selon que les erreurs JB, d \ , et dB, dC sont dans le même sens ou en sens contraires :

da = 2ad\ cot A, de = 2adC cot C.

ou bien

Dans le premier cas le calcul fait connaître avec exacti-

Ete. s..

tude la valeur des côtés a, c, quoiqu'on soit parti de données fautives; dans le second , les hypothèses B = A, B = C

rendent un minimum chacun des facteurs *' ■ ' < ; Bh ~ A | !

sTiTïï^nl’ ( l u ‘' en vertu de la quatrième des équations (2) de la page 6 et des relations B A = 1 80 — C, B -t- C — 180° — A, sont égaux à

2 sin C 2 «in A

cos (A — B) -I- eosC ’ cos (C — B) cos A *

Il importe donc, pour affaiblir les erreurs sur la longueur des côtés, que le triangle soit équilatéral ; mais, comme cette condition est presque impossible à remplir, on se contente de satisfaire à celle que nous avons indiquée.

17. Les signaux qu'on emploie sont généralement formés d’une poutrelle de 7 à 8 mètres de hauteur, sur deux des faces adjacentes de laquelle sont clouées des planches longues de 2 mètres (figure 2). Le sommet est maintenu dans la verticale du pied au moyen de haubans. On leur donne aussi quelquefois, lorsqu’ils doivent être aperçus de très-loin, la forme d'une pyramide quadrangulaire dont la hauteur est environ le triple de la base. En général, il faut toujours que leurs formes soient régulières, afin qu'on n’ait point d’incertitude sur leurs sommets dans l'observation des angles.

On les peint en noir ou en blanc , selon que des stations d’où on veut les relever ils se projettent sur le ciel ou sur la terre. S’il était nécessaire de ne point avoir d'incertitude A cet égard, on prendrait en B (ligure 5), où l'on veut placer le signal, la distance zénithale zBA du point A duquel il

doit être vu, ainsi que celle du point opposé de l’horizon. Suivant qne la somme des deux angles zBA -+- zBC sera plus petite ou plus grande que 180°, le signal placé en B sera projeté sur la terre ou sur le ciel lorsqu’on l’observera du point A. Quand cette somme ne dépassera deux angles droits que de quelques minutes, on pourra encore le voir dans le ciel à cause de la réfraction qui l’élèvera un peu. Dans tous les cas il sera bon de blanchir les planches les plus basses de chaque signal , ainsi que les jambes de force de ceux auxquels on en aura mis pour les consolider.

Aprèsavoirétablilc canevas général des triangles principaux le long de la côte qu'on veut lever, on y rattachera, figure 22, par des triangles secondaires et tertiaires tous les objets remarquables quelle présentera, tels que clochers, moulins à vent, tours, phares, sémaphores, etc. A ceux-ci se lieront les petits signau#qu’on aura fait élever sur les roches ou îlots principaux, et le long du rivage à une distance moyenne de 12 h 1,500 mètres les uns des autres selon les localités.

On disposera ces derniers de manière è ce qu’ils puissent être aperçus à la fois de la mer et de ceux des points de la triangulation principale ou secondaire qui pourront former avec eux des triangles convenables. On aura de cette manière le moyen de déterminer par le calcul les positions d’une multitude de points rapprochés sur lesquels on appuiera avec sécurité les opérations relatives à la topographie et à l’hydrographie.

Il sera utile, avant de placer tous ces signaux, de faire imc reconnaissance du pays sur lequel doit s’étèndre le réseau que l’on veut former. A cet effet on se transportera sur les édifices les plus élevés, et sur les sommités les plus appa-

rentes. De là on relèvera grossièrement, avec un petit théodolite, ou simplement avec un cercle à réflexion, les points qui paraîtront disposés convenablement pour remplir le but qu'on se propose; en rapportant ensuite ces relèvements „ sur la carte terrestre du pays, ou bien en s’en servant pour construire un canevas, on saura quels sont les points visibles les uns des autres , sur quels édifices on pourra faire station , et en quels lieux de la côte ou de l’intérieur il faudra faire ériger des signaux. On devra aussi aller en canot à une certaine distance du rivage afin de reconnaître celles des sommités intérieures qui se remarquent le plus de la mer; on y dressera des signaux si cela est nécessaire , et on les rattachera à la triangulation principale ou secondaire. Ce travail préliminaire, pour l’exécution duquel on ne peut que donner des idées générales , sera d’un grand secours pour bâter le travail définitif de la triangulation.*