FORMULES DIVERSES EMPLOYÉES DANS LA GEODESIE

1 . Dans toutes les formules suivantes on suppose le ' rayon des tables égal à l’unité , de sorte que les sinus , cosinus, tangente, etc., ne doivent plus être considérés que comme de simples rapports.

Dans cette hypothèse on a , en désignant par a , b deux arcs quelconques :

sin , a -+- cos ’a = 1 ,

tang a =

>in a co s a

cot a =

cos a sin a *

f. ; TRAITE ELEMENTAIRE . ,

sin (a-i-b) — sin a cos b ■+■ sin b cos a,

sin (a — b) = sin a cos b — sin b cos a,

• cos (a-i-b) = cos a cos b — sin a sin b,

cos (a — b ) = xos a cos b sin a sin b.

i° Si l’on combine ces équations pat- addition et soustraction, on en tire les suivantes :

sin [a-i-b) -t- sin (a — b) = 2 sin a cos b,

sin (a-i-b) — sin (a — b)' = 2 sin b cos a,

cos (a -t- b) -t- cos (a — b) = 2 cos a cps b,

cos (a — b) — cos (a-i-b) = 2 sin a sin b. ;

a' En divisant la seconde par la première et la quatrième par la troisième , on trouve : •

sin (a — h) sin (ti.- 4 -fr) cos (a — 6) cos (a-t-A)

long a — tang b tan g a -h tang b ' cot a -4- tang b cot a — tang b *

3° Enfin la première divisée par la troisième et la seconde par la quatrième donnent :

. . . tang a -h tang b

tang (a-i-b) =

. . . tang a — tang b

tang (a — 6) = - 7—1 Ta •

o v • 1-4- tang a tang o

De l’hypothèse b=a dans ces mêmes équations (1) et dans (h) on déduit :

sin 2 a = 2 sin a cos a, r os 2 a = cos a a- — sin 2 a,

2 tang a

tang 2 a

1 — tang *a *

DE GEODESIE. .

Changeant dans ces dernières a en | a, il vient :

sin a = 2 sin \a cos ~a, cos a — cos 2 — sin 2 ÿa,

2 Umc ; a

Un 8 « = I-tang^a -

Combinant maintenant l'avant-dernière de ces formules avec / i

1 = sin. 2 -g- a -t- cos 2 ÿn,

on trouve

. 1 — cos a

cos a = l 1 — 2 Sin s -f «»

1 — co s a

tang 2 1 a = —

. Si l'on suppose actuellement a = 90° -h a, on aura encore les relations suivantes, en observant que tang 45°= 1 :

/, a \ 1 -4- sin a

tflng 2 (45 -4- y) = T^sinT’