n m où s’arrête ce coin quand on l’introduit

entre deux règles dont les extrémités n, n sont dans un même plan horizontal , il est évident que le petit intervalle n n qui les sépare sera exprimé en millimètres par

• m/fi x on l

Si ces deux points ne correspondaient pas à la même division, que l’un fût en n', par exemple, alors l’intervalle des deux règles serait représenté par

Dans le cas où I = 5 millimètres et m = 1 00 millimètres,

DE GEODESIE.

Si

chaque intervalle nn a pour valeur en millimètres le vingtième du numéro de la division auquel il correspond.

Si le terrain sur lequel on opère était assez ondulé pour ne pas permettre de placer les règles a , a' à peu près dans un même plan horizontal , on ne pourrait plus employer le procédé précédent pour mesurer les distances comprises entre chacune d’elles.; on les disposerait alors l’une plus bas que l’autre , et on s’assurerait que les deux bouts qui devraient être contigus sont dans la même verticale en les mettant en contact avec un fil à plomb ; on aurait soin de faire plonger son poids dans un verre d’eau afin d’éviter au fil toute oscillation de la part du vent. On ajouterait dans ce cas, à la longueur totale de la basé, celle du diamètre du fil à plomb répétée autant de fois qu’on en aurait fait usage.

A la fin de chaque journée, on marque avec un pieu, qu’on enfonce solidement en terre , l’endroit où l’on doit s’arrêter; mais on fait cette opération bien avant qu’on soit dans ses environs , de crainte que l’ébranlement du sol produit par l’enfoncement du pieu ne fasse déranger les règles. Le point où il doit être planté se détermine en les portant grossièrement bout à bout. Quand on l’y a placé, on fait descendre de l’extrémité de la dernière un fil à plomb dont la pointe est une aiguille très-fine; à l’endroit où elle s’arrête sur lui, on enfonce un clou de cuivre à tête plate, puis on y marque avec un poinçon le point que le fil à plomb y désigne. Le lendemain on continue l’opération , en commençant par mettre dans la verticale de ce point l’extrémité de la règle qui devait prendre place à la suite de la dernière posée la veille. Arrivé au terme de la base , on indique, sur la tête d’un nouveau pieu, le point où correspond l'extré-

52 * TR A'’ 1 "’ 1 ' ÉLÉMENTAIRE

üiité de la dernière rèp e, ,juîs on y érige une pyramide régu lière dont le sommet se trouve exactement dans la verticale du lieu où l’on s’est arrêté. Telles sont les précautions minutieuses que le baron de Zacli recommande de prendre si l’on veut arriver à des résultats satisfaisants.

Base brisée.

35. Les localités ne permettent pas toujours d'obtenir directement la distance entre les deux extrémités d'une base AC (fig. 7); on mesure alors les deux côtés AB, B C de la ligne brisée ABC, qu’on a tracée sur le terrain , et on observe avec beaucoup de soin l’angle B qui est toujours trèsobtus. Cela posé, pour calculer AC = 1, on traite comme rectiligne le triangle sphérique ABC, après avoir retranché de l’angle B le tiers de soii excès sphérique, s’il est appréciable ; on a alors, en posant B = 1 80° — * . et observant que <t représente des minutes seulement ,

. (1) i 2 = à 1 -+• c 2 -4- 2 ac cos a = (n-t-c) 2 — aca 2 .

On tire de là, en extrayant la racine carrée et multipliant par sin 1 1 l’arc et qui est donné en minutes , pour l’exprimer en parties du rayon (article 6),

ac (a sin 1')*

2 (a-hcj *

Il est possible aussi que les extrémités de la base ne soient pas visibles l’une de l’autre; alors un côté DE de la chaine de triangles , des extrémités duquel on a observé les angles ADÇ, AEC, ne pourra se calculer avec AC = b qu’autant que l’on connaîtra les deux angles aigus A , C du triangle ABC.

, Or on a, comme on sait (article 5) : .

arc A = sin A -4- | sin J A;V.. ;

4 fl as / a* \

sm A = T sm « = —

ou, en substituant pour 6 sa valeur déduite de l’équation (1),

sin A =

a* (ac — a 1 — c*) | ô(ttH-c) 1 |-

Si l’on introduit cette quantité dans la valeur de l’arc A , et qu’on change A et a en A sin 1', a sin 1' (article 6), on aura, pour la valeur de l’angle cherché en minutes,

fl— +- C

uc (u — c) a ! sin’ f.

celle de l’angle C serait exprimée par

ca (c — a) a* sin* I ' fl (c-tTa)* «

Mesure de l'inclinaison des règles.

56. Au lieu de corriger le défaut d’horizontalité des règles , ce qui est toujours assez long , on préfère évaluer leur inclinaison, qui ne dépasse jamais 2 ou 3 degrés, et calculer ensuite leur projection horizontale. Pour se procurer l’élément nécessaire à cette réduction , on place sur la règle les jambes du niveau à perpendiculc et on amène, par le mouvement de son alidade, la bulle d’air du niveau d’eau dans ses repères; après avoir lu à quelle division du limbe elle s’arrête, on retourne l’instrument jambe pour jambe, et on rend de nouveau l’alidade verticale; il est clair que la moyenne des résultats obtenus dans ces deux opéra tions est la mesure de l’inclinaison cherchée.

Si l’on désigne actuellement par i le nombre de minutes qu’elle renferme, que de plus on représente pal / la Ion-

gueur de la règle et par l t celle de sa projection horizontale, on aura ,

Z i = l cos i = l ( 1 — 2 sin 2 -i- =' l ^1 — 2 (ÿ) 2 ).

à cause de la petitesse de l’angle i.

On tire de là, pour la valeur de la correction, ou la quantité à retrancher de la longueur obtenue avec la régie l :

La différence de niveau dn de ses deux extrémités sera donnée par l’équation :

d n = sin 1 ' il.

Mesure de la dilatation des régi A.

37. La chaleur fait varier la longueur des règles de métal; par conséquent, si la base a été mesurée avec des règles de cette nature à une température autre que celle à laquelle elles ont été étalonnées, les résultats obtenus seront ou trop forts ou trop faibles; il faut donc chercher 1© moyen de les corriger.

Soit a la dilatation linéaire de l’unité de longueur du métal, ou, en d’autres termes, la quantité dont s’allonge • celte unité pour un changement de 1° du thermomètre centigrade; sur une règle contenant l de ces unités, la dilatation linéaire sera al; par conséquent, si l’artiste qui l’a construite a trouvé en l’étalonnant que sa longueur était 1 à la température t, elle sera à la température T exprimée par

. DE GEODESIE. 55

Ainsi, en notant la température de chaque règle pendant tout le temps que dure la mesure de la base, on aura les éléments nécessaires pour calculer la longueur réelle de l'espace mesuré avec chacune d’elles; on suppose d’ailleurs que l’on connaît leur rapport exact avec l’unité de mesure ■ et la dilatation linéaire de leur métal.

Cette dilatation est de

0 ( 0000188 = a pour le laiton,

0,0000122 = a pour le fer doux forgé,

0,0000108 =£ * pour l’acier non trempée

Il suit de là qu’une règle en fer de 2 mètres de longueur à 10° deviendrait, à 28°,

Si, à cette même température de 28°, une base contenait 1000 fois cette règle, sa longueur réelle .serait :

On pourra toujours se contenter de prendre pour la température des trois règles , dont l'ensemble forme ce que l’on nomme une portée, la moyenne de cèlles qui seront indiquées par les trois thermomètres; la correction à faire à chaque portée sera alors de

et sera positive ou négative, selon le signe du dernier facteur. .

Rédaction de la baie mesurée au niveau moyen de la mer