Si h' désigne la hauteur d’une des extrémités de la
base au-dessus des eaux de la mer, celle de l’autre sera h' ± d N ( (1 N étant égal à la somme algébrique des dn =
sin l ' i 1); celle de son milieu, ou du sol moyen sur lequel
elle repose sera alors de h' dr — = h, et on pourra considérer comme se confondant rigoureusement avec l’arc terrestre qui passe par ce point la série de tangentes formées par les règles portées bout à bout ot posées horizontalement.
Cela posé, pour obtenir la projection de cet arc AC B = B (fig. 8) sur la surface des eaux supposée sphérique et prolongée sous le continent, il suffira de mener les verticales A O, B O par ses extrémités , et de calculer l’arc quelles comprennent ; on trouvera alors que la valeur de la base réduite acb = b a pour expression, en appelant R le rayon de la sphère,
ou bien en développant et se bornant à la première puissance de — , pc qui suffit toujours , à cause de la petitesse de h comparativement à R ,
Par conséquent, de la base mesurée il faudra retrancher la Hh ■
quantité — pour la réduire au niveau des mers.
On prend pour la longueur de R celle de la grande normale p' à la latitude du milieu de la base (pag., 152), et on se procure la hauteur h' soit par un nivèllement géodésique. soit par des observations barométriques (articles 99 et 102). Quant au niveau absolu d’oii l’on part, on choisit celui qui
tient le milieu entre deux hautes mers consécutives et la basse mer intermédiaire ( article 22).
On emploiera au moins vingt jours pour mesurer une base de 5,000 mètres par le procédé qu’on vient d’indiquer, et , malgré toutes les précautions qu’on aura prises , on ne pourra pas répondre d’avoir sa longueur à un mètre près ; on devra néanmoins la regarder comme très-bonne , surtout si elle n’est destinée qu'à confectionner une carte. —
Dans la plupart des levés hydrographiques «qui n’ embrasseront pas une très-grande étendue de côte , on se servira tout simplement d’une bonne chaîne d’arpenteur en 1er ou en cuivre, de 20 mètres de longueur, dont l’étalonnage sera bien connu. Sur un espace de 5,000 mètres, on ne devra pas être en erreur de plus de 2 ou 3 mètres, pourvu toutefois que, pour le mesurer, on ait eu le soin de la développer sur des poutrelles ou des planches disposées convenablement. • .
39. Quand on devra lever promptement le plan d’une rade ou d'une baie, on pourra, si des circonstances empêchent de mesurer une base à terre, pfendre la hauteur de la mâture du navire au-dessus de l'eau; on obtiendra des résultats suffisants pour une simple reconnaissance, s’il est mouillé à une distance de la côte qui ne dépasse pas 3,000 mètres. On procédera à cet effet de la manière suivante : •
Le navire étant affourché en A (figure 22) vers le point central de la baie, on commencera par faire un figuré de la côte et déterminer l'azimut astronomique de l'objet B le pl h s remarquable; on mesurera cnsuitc'avec un cercle A
réflexion les angles B A C , B A D. . . . , compris entre les points
C, D... et lui. Cette première opération faite, on ira mouiller un canot en un point A', qu’on choisira de manière à ce que les droites A B, A'C, A'D... coupent sous des angles convenables les premiers relèvements faits à bord du navire ; en ce point A' on mesurera en outre l’angle sous lequel on aperçoit la mâture, et au même instant on fera prendre -par nne personne du bord l’angle BAA'; enfin on se transportera en un autre point A" où l’on recommencera de semblables observations.
Les arcs sous- tendus par la mâture feront connaître, comme on le verra tout à l'heure , les distances des points de station A', A" au navire, et les relèvements BAA', BAA" achèveront de les déterminer complètement. On pourra donc, avec ces bases et les angles observés , .placer graphiquement sur un plan de construction les points remarquables de la côte, et s’en servir ensuite comme de signaux pour sonder. . '
Si l’on avait la possibilité de débarquer en B, on vérifierait, par la mesure des angles ABC , ABD les positions
obtenues avec les éléments ci-dessus ; on pourrait même les calculer au moyen de la distance AB, dont on prendrait pour valeur le résultat moyen fourni par les deux, triangles A A'B', A A" B dans chacun desquels on connaît les angles à la base.
On pourrait encore , au lieu de déterminer des points à terre pour y assujettir le travail hydrographique, se faire relever du navire à chaque station, et.se contenter de ne mesurer que la hauteur angulaire de sa mâture.
Cette manière de procéder pour lever un plan ne sera
jamais bien exacte, car très-rarement le mât se trouvera dans une position verticale au moment des observations, et on ne pourra guère répondre d'une minute dans les mesures angulaires de la mâture; or, sur une distance de 5,000 mètres, cette erreur d’une minute en produirait une de 65 mètres environ en plus ou en moins. Il faudra donc n’avoir recours à ce moyen que lorsqu’on y sera forcé, et n’opérer que dans un rayon de 5,000 mètres au plus; si l’on voulait continuer le travail au delà de cette limite , il serait nécessaire de "changer le bâtiment de mouillage.
Voyons maintenant comment ont peut déterminer la distance à laquelle on se trouve du navire', par la seule connaissance de la hauteur de sa mâture et de l’arc quelle sous-tend.
Soit (figure 9) CD^e l'élévation de l’œil au-dessus du niveau de l’eau, AJ3 =.h celle du sommet du grand mât au-dessus de ce même plan, et ADB = l’arc
quelle sous-tend à la distance AC=x, on aura :
tang cl = tang d! = ^
et par suite,, •
tang <T == tang {d-t-d') = x ,'‘^z r] •
Si , après avoir résolu cette équation , on laisse de côté sa seconde racine, qui est étrangère à notre objet, et que dans le développement du radical on s’arrête au second terme, qui est toujours très-petit, il viendra :
tan'gJ / A \ ’
Comme dans un canot on n’est jamais â plus de 1™,7 du
niveau de l’eau , le second terme de cette formule est tou jours négligeable; par conséquent la valeur de x se réduit à >
X taug 3 ’
comme si l’angle <T appartenait au triangle rectangle BAC. Si l’on pouvait compter sur l’exacte détermination de cet
angle, on devrait à la rigueur avoir égard au terme ( h ' \ , ■ V*ng l)
qui peut être positif, nul ou négatif, lorsqu'on observerait la hauteur angulaire de la mâture d’un point de la côte très-élevé au-dessus du niveau de l’eau; mais il faudrait alors mesurer en même temps avec beaucoup de précision la dépression apparente de l’horizon pour en conclure, au moyen de la table III, la hauteur absolue e de l’œil- au moment de l’observation.
Par exemple, pour
h= 40“, Dép” app'*=0° I T 43", et ^=2” 16' 57",
tang <5
(ungi)
on aurait:
et par suite,
Ainsi l’erreur que l’on commettra en négbgeant le second terme sera toujours inférieure h celle qui résultera de l'observation de l'angle <L
40. Lorsque les localités ou d’autres circonstances ne permettront pas de mesurer directement l’espace qui sépare
DE GEODESIE . '61
les deux extrémités d’une base , on aura recours aux observations astronomiques, ou à la vitesse de propagation du son ; mais alors il faudra choisir pour termes extrêmes deux points éloignés l’un de l’autre de trente mille mètres envi ron , afin que l’erreur due aux observations ne soit qu’une très-petite fraction de leur distance réelle'.
On donnera au chapitre X les formules dont on devra faire usage pour calculer une base par des 'observations de latitude et de longitude; quant aux procédés et aux calculs relatifs à sa mesure par la vitesse de propagation du son , nous n’en parlerons que très-succinctement; nous renverrons .pour plus amples détails au premier volume des Annales maritimes de l’année 1857, où l’on trouvera un mémoire fort intéressant publié sur ce sujet par M. l’ingénieur-hydrographe Chazallon.
Voici en résumé ce qu’il dit sur cette matière : '
Deux observateurs munis chacun d’un thermomètre , d’un hygromètre et d’-un compteur, se placent à chaque extrémité de la base , et là font tirer à divers intervalles plusieurs coups de canort. Chacun observe de son côté l’état de l’hygromètre et du thermomètre, et note surtout bien exactement, à chaque coup que fait tirer son collaborateur, le nombre de secondes écoulées entre l’instant où l’éclair frappe sa vue et celui où la première sensation du bruit parvient à son oreille. Ce temps ne sera pas le mcim^pour tous deux; celui qui est sous le vent mesurera un intervalle moindre que celui qui est au vent.
Les résultats moyens fournis par ces observations feront connaître la vitesse du son et. la longueufxle la base, én les substituant dans les deux équations suivantes
V = 341 '“,5 -t- O-, 6058 ] 5 o) + 0 .085 (fif-).
T et T' indiquent pour chaque observateur le nombre moyen de secondes que le son a employé pour arriver h lui;
6 et fl' représentent en degrés centigrades la moyenne des températures accusées par le thermomètre de chaque station. On suppose chacune de ces quantités inférieures à 55°.
f et/' enfin expriment en millimètres, pour chaque station , la mesure moyenne de la tension de la vapeur d’eau contenue dans l’air; on les suppose moindre que 35 millimètres.
La table I fait connaître immédiatement la grandeur de ces quantités correspondantes à un nombre de degrés donné de {'hygromètre à condensation.
Quand on emploiera l'hygromètre à cheveu, sur l’exactitude duquel on devra moins compter, il faudra recourir aux deux autres tables qui suivent la précédente, et pour lesquelles f — yF. On prendra dans l’une la valeur de y correspondante à la moyenne des degrés qu’aura fait connaître l’hy — gromètre , et dans l’autre celle de F relative à la température moyenne de la station où il est placé.
Si , par exemple , on a trouvé à l’un des termes A de la base, ' . .
T = 34", 60, 6 = 10°,5, hygromètre à cheveu = 6 4*; et à l’autre B ,
T'= 35", 50, 8' ^".O, hygromètre à cheveu r^= 60°;
on aura d’abord :
DE GEODESIE.
2 vu 2
Les tables relatives à l’hygromètre à cheveu donneront * ensuite pour 64°.. ^=0,49, et pour 8 = 10°, 5.. F = 9,85; d’où l’on déduira :
On aurait de même :
ainsi, '
par conséquent,
V=34l‘",3-t-Q“,6058(-5,75)-t-0 m ,085 x4,80=559",44, et par suite , •
Les meilleures observations pourront donner une erreur de 222 mètres sur 20,400 mètres, c’est-à-dire 1 1 millimètres environ par mètre; elle serait beaucoup plug considérable si la distance était moindre.
Lorsqu’on ne pourra tirer de coups de canon qu’à l’une des extrémités de la base , il faudra , si l'air n’est pas parfaitement calme, avoir égard à la vitesse et à la direction da vent. En désignant par » et * ces deux quantités, on devra augmenter la valeur de V ci-dessus de « côs a ; elle deviendra alors :
V'~34l^5 + 0^058(^-15°) + 0r085(^) + «cos,t; par suite,
B’ = ( V -+- » cos a ) T.
Ok
Le signe de ce dernier terme dépend de la grandeur de l'angle a qui sê compte toujours de 0° à 360°, et de gauche à droite à partir de la .base.
On trouvera dans le mémoire de M. Chazallon la description d’un instrument ingénieux qu’il a imaginé pour mesurer la vitesse «. Dans la formule ci-dessus on suppose toujours qu’elle ne dépasse pas 1 0 mètres.
Si, dans l’exemple précédent, au lieu de répondre aux coups de canon partis du point B, on avgjt mesuré en A la vitesse du vent u= 4“.68, sa direction a = 160°, et trouvé dans ce cas, pour le temps de la propagation du son de B en A, T == 55'',51, on aurait eu., toutes les autres circonstances restant les memes :
B'= (559", && — 4",68 sin 70*) x 55,51 = 1 1896“, 70.
Si l’on veut apporter tout le soin possible dans le genre d’observations qui nous occupe, il faudra qu’elles soient réciproques, parce qu’âlors la demi-somme des vitesses observées donnera celle qui aurait lieu dans un air calme. De chaque station on tirera au moins cinq ou six coups de canon qui se croiseront de cinq en cinq minutes. On dirigera, si l’on opère pendant le jour, une lunette vers le lieu de l’explosion , et, au moment où l’éclair apparaîtra, on lâchera le ressort qui retenait l’aiguille du compteur ; on l’arrêtera ensuite dès que le son se fera entendre.
Comme l’éclair s’aperçoit instantanément dans le ciel pendant la nuit ,*il en résulte que ce procédé pourrait servir à déterminer la distance de deux points éloignés quoiqu’ils ne fussent pas visibles l’un de l’autre.
Les personnes auxquelles l’analyse mathématique est
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familière ne liront pas sans intérêt, dans le mémoire d’où nous avons extrait tout ce qui précède, les articles dans lesquels l’auteur examine les erreurs provenant du défaut de connaissance de la vraie vitesse du son et de l'incertitude qui existe sur l’appréciation exacte du temps qu’il emploie à se propager d’un point à un autre. Elles verront aussi quelles conséquences il a déduites de la comparaison des divers moyens de se procurer une base, et quel degré d’exactitude comporte chacun d'eux.
