DAC = 90° — Ÿ C

on aura donc,. en substituant ces valeurs dans l’équation ( * ) :

rfN =

K' .inj (y-j)

cos j- (<5 — 4-*-C)

. Si. au lieu de la corde AD qui passe par le point A , on avait employé celle de l’arc BD' mené par le point le plus élevé, on aurait trouvé :

. Pour réunir ces deux formules en une seule, nous écrirons :

cos J («3 dniC)

Celle-ci devient , après qu’on a développé le dénomina ■ leur, qu’on a réduit et effectué la division :

(b) dN == K ' U ^t ( c T " (l ± ûng I C tang i (ï'-lj).

Il faudra se rappeler que le signe -+- convient au cas où K' représente la longueur de la corde qui sous-tend l’arc mené par le moins élevé des deux points, et que S ' désigne la distance zénithale qui y a été observée ; d’après ces conventions, le facteur tang j (<T — «T) sera toujours positif.

Si l’on observe que, vu la petitesse de l’angle C, on peut (;«

posercosÿC = l — -g et tang -j C = \ C, on aura, en prenant les logarithmes de part et d’autre , puis réduisant au moyen des équations ( n' ) de la page 1 5 : *

78. Cherchons maintenant à exprimer la distance K' en fonction de l'arc mon = K qui mesure, sur l’ellipsoïde où l’on a projeté la base et les sommets des triangles du réseau, la distance linéaire des deux points A et B. Or, si l’on mène la corde mn, qu’on désigne parç' la longueur de la grande normale à la latitude du point A ( page 152), et par h la hauteur absolue de ce point au-dessus de la surface sphérique dont cette normale est le rayon , on aura :

’ AD=K' = ni n.

Mais la corde mn= 2 mi = 2ç r sin ^ = Ç CM — J

DE GEODESIE.

= K ( 1 — 2 ^V, ^ , en remplaçant l’arc C par sa valeur y en parties du rayon ; donc

On tire de là, au moyen des formules (d') de la page 15,

en négligeant les termes en à 2 et les puissances de— /supérieures à la deuxième :

log K' = log K -h y h — yr K 2 . Sj*

Cette valeur étant substituée dans l’équation (c) la transformera dans la suivante, après qu’on aura remplacé l’arc C par y et réduit :

(1) log|N-log(Ktang ^^Ktangi^+ï^K 2 .

(Voir l’article 156, pour une application de cette formule.)

2° Au moyen d'une seule distance zénithale.

79. Si l’on remplace dans l’équation (I).t(^ — «H P ar sa valeur tirée de la relation

il viendra :

log <ZN = log un%{3+r -^

p lang (J+r— jC) 12 p' ;

En faisant r= 90° -+- ^C — \ II' -+- <T) = n C = n-^ —

p sin 1

conformément à la théorie de la réfraction, de laquelle il résulte que le petit angle r est proportionnel à celui

que comprennent les verticales des points A et B, on aura enfin :

(2) logdN=log

M, + -ih

2 P tang^

Nous apprendrons bientôt à déterminer la valeur de la quantité constante n qui entre dans cette formule.

(On en trouvera une application à l'article 158.)

3’ Par la distance zénithale de l'horizon de la mer.

80. Si du point B (figure 28) on aperçoit l’horizon de la mer, on pourra déterminer la hauteur BB' par la seule observation de la distance zénithale Z B A' de cet horizon, A' désignant la position apparente du point A produite par la réfraction. Pour y parvenir, menons le rayon AC et désignons-le par q. Le triangle rectangle BAC donnera :

d’où

Or,

BC ou ç ' -i- B B' =-^çr,

BB' = f,|1 7 C) .

cos L