r— cos C := 2 sin 2 -j C

cos C = cos 2 -j- C — sin 2 -j C ;

donc, en substituant ces valeurs et effectuant la division, il viendra :

B B' = 2 ç' tang 2 -j- C ( 1 -+- tang 2 ÿ C ).

Si l’on prend l'arc exprimé en parties du rayon pour la tangente, ce qui est bien permis, car cette hypothèse ne

produirait qu’une erreur d’un mètre sur une élévation de 4,600, l’altitude cherchée aura pour expression :

L'angle C a pour valeur HBA'-+-A'BA=«f' — 90° -+- nC, d’où C = -i — — . Avant de l'introduire dans notre for-

mule, il faut le multiplier par sin 1" afin de convertir l’arc

-j— — en parties du rayon; on a alors

et par suite, au moyen des logarithmes et des équations (d') de la page 15 :

(3) log altitudè=logf (izjr) 2 +log (<f-90°)=+^

81. On pourrait, en s’appuyant sur cette formule, et au moyen de distances zénithales, déterminer assez exactement les limites d’un plateau de roches, ou d’un banc de sable , sur lesquels se trouverait une tour d’une élévation convenable. En effet, on prendrait d’abord plusieurs séries de la distance zénithale de l’horizon de la mer, au moment de la basse mer, puis ensuite on observerait ( fig. 2 9 ) les distances zénithales ZOA=«f, ZOB = <T' des divers points

dont l’ensemble forme la limite du plateau ABCD ,

ainsique les angles S O' A, S O' B que font les projections

horizontales des plans verticaux Z O A , ZO B. . . . avec un signal connu S. (Ils se liront sur le limbe inférieur du théodolite ou du cercle répétiteur.)

. Cela posé, de la distance zénithale de l’horizon de la mer.

on déduira, au moyen de la formule précédente, la hauteur 00' = h de l’instrument au-dessus du niveau de l’eau pour le moment de l’observation; les triangles rectangles 00' A, O O' B... donneront ensuite AO' = h tang (180" — <P), B O' = h tang (180° — <P' ); enfin , avec ces longueurs calculées et les angles observés SO'A, SO' B. ... on aura toutes les données nécessaires pour construire graphiquemenf sur le plan de construction la limite ABCD. . . . du plateau à l’instant de la basse mer. Ce procédé sera d’autant plus rigoureux que l’élévation de la tour sera plus considérable et que sa hauteur au-dessus du niveau de la mer sera connue plus exactement ; aussi sera-t-il plus convenable de la déduire d’un nivellement géodésique.

CORRECTIONS DIVERSES QUE DOIVENT SDBIR LES DISTANCES ZENITHALES OBSERVÉES AVANT d’ÈTRE EMPLOYEES DANS LES CALCULS.

1" Réduction des distances zénithales aux sommets des signaux et mesure de la hauteur de ces sommets au-dessus de l'instrument.

82. Comme dans la pratique on observe au-dessous des sommets des signaux en a, b (fig. 25), les distances zénithales J\ < P' ne sont pas données immédiatement; or, si l’on appelle A . a' celles qui ont été observées en ces points, on aura :

ZAB' = ZnB' -t- AB'a = a rf a,

Z'BA' = Z'fcA' -t- BA'6 == a' -+- </a'.

Si l’on désigne actuellement par dH, dH' les hauteurs A a, Bi du sommet de chaque signal au-dessus du centre de l’instrument, et si l’on observe que AB' = AD = K' = K h très-peu près , on aura par le triangle A B'a :

85. On ne peut pas toujours mesurer directement la hauteur d H du sommet du signai au-dessus du centre de l'instrument; les moyens à employer pour l'obtenir dépendent de la forme de l’édifice sur lequel on observe. S’il est terminé par une flèche conique ou octogonale, et qu’on soit. en B, figure 26, on fera deux sections ab, cd parallèles et horizontales, puis on mesurera les diamètres 2R, 2r du cône circonscrit à la pyramide, ainsi que la distance h qui les sépare; alors, en désignant par dH l'élévation SB de la flèche au-dessus de la première section supposée faite à la hauteur de l’instrument, on aura :

* R dll

d’où

Si, au lieu de mesurer la distance h entre les deux sections, ce qui est quelquefois assez difficile, on avait pris la longueur ac = l de la partie de l’arête comprise entre elles , alors la valeur de d H serait (page 22) :

dl> = -r=r K ,+ f R r )) (i- (R-'-))J î -

Les rayons R et r s'obtiendront en mesurant les circonférences des deux sections, si la flèche est conique, ou bien ils se déduiront des équations dq la page 2 1 , dans lesquelles on mettra pour a, a' les longeurs dçs côtés des polygones réguliers de ces sections, si elle est pyramidale.

Lorsque la flèche est très-aiguë, la méthode précédente n’est plus assez exacte, parce qu’une légère erreur dans la mesure des longueurs R, r et h ou l peut en apporter une très-notable dans celle de dll; on a recours alors au procédé suivant dont Dclamhre a fait usage plusieurs fois : soit (figure 26) B le lieu de la galerie du clocher où était placé l’instrument, lorsqu'on a pris la distance zénithale Z'BA du signal A, duquel on a observé les angles ZAB, ZAS dont la différence fait connaître l’angle A; si du point B on abaisse sur la droite AS la perpendiculaire BI, on formera deux triangles ‘rectangles BIS, BIA, desquels on tirera la relation

' BI = BS sin S = AI tang A,

i fournira pour BS, ou d H, l’expressioi* suivante i ,i A I tan y A *

On a à fort peu près, vu l’extrême petitesse de l’angle A :

AI = AB=K (distance connue des deux signaux A et B) , et