CB = 9Q° — H", CAB = 180’ — Z

CA = 90° — H, CBA = Z' — 180°, '

AB=|, , BCA = P' — P.

(K, représente la longueur en mètres de l’arc AB que nous supposons ne jamais dépasser un degré , et N , celle du rayon AD de la sphère exprimée en mêmes unités.) .

Ces valeurs étant mises dans la formule générale (A) de la page 9 , qui fait connaître un côté d’un triangle sphérique en fonction des deux autres et rie l’angle compris, fournissent l’équation suivante, lorsqu’on remplace sjn cos par leurs valeurs eh séries , ët qu’on se borne aux secondes puissances de l’arc : J '

(1) sin H" = sin H — cos H cos Z — y sin H . ,

Ainsi l’angle II" pourra s’exprimer par un polynôme de . la forme : •

X., X' étant des coeffieiens indéterminés. Pour en obtenir la valeur , prenons le sinus de part et d’autre ; nous aurons :

sin H" = sin { H. -t— (X (£) -h X' (£)’) j.

Si l’on développe le second membre en considérant X (^)-f-X' comme un seul arc, et qu’on réduise, on . aura : '

. sjn H"=sin H-t-X cos H (£) -4- (X'cosH-iX^nH)^)*;

équation qui , comparée terme à tenne à ( 1 ) . dônne les

valeurs X = — cos Z, X' = — | sin 2 Z tang H.

En les substituant dans (2) on obtient enfin:

(5) H'' = H — | cos Z -t- 1 (y)" sin 2 Z tan g 11 }■

Pour calculer actuellement l’angle D B D' t=(i , observons que dans le triangle D B D' on a, vu la petitesse de cet angle et le peu de différence qui existe entre B D et A D = N

DD' nTvn OD-OD'

sin BD O = s cos I I ;

w BD — N

Mais le triangle rectangle DO II donne OD = O H tang H, pt • cette valeur devient, en menant les ordonnées AF, AG du point A, et désignant en outre par a, b les demi-axes du méridien.:

OD= (AG -sous-normale IIF)tang H=N cos H ( l -ÿ tan gH,

fc*

puisque sous-normale et que x = N cos II.

Maintenant si l’on représente par e le rapport de l’excentricité au demi-grand axe, c’est-à-dire si l’on pose

e = - ' * , on aura pour la valeur réduite de O D :

OD=e J N sin II.

Il est évident que dans le méridien P B E' on aimait pour •. la distance O D' l’expression analogue

OD' = e 2 N' sin H'.

Ainsi p> = e- ( sin II — sin II' ) cos H', parce qu’à fort peu près N = N'. • ;

Transformant maintenant le. facteur compris dans la pa- * renthèse au moyen de la deuxième des relations ( 9 ) page 8,

• DigitizêciJjytdôgle

et remplaçant dans le résultat II 1 par sa valeur H" — /3 posée plus haut, il vient:

A = 2 e 2 sin j— 5 — -t-

1 (II-f-H

[ cos | 2

j cos (H"- S).

Mais & étant extrêmement petit d’une part, et H" différant peu de H de l’autre, on peut supprimer, sans erreur sen-

' sible.la première de ces quantités dans les termes où elle se

trouve, prendre ensuite 1 angle — -, — pour son sinus, et

suppose? II" = H dans les deux derniers factenrs-, on obtient alors, par suite de ces hypothèses et en vertu de l’équation ( 5 ) c * ’

jB=e 2 (H-H") cos 2 H =e 2 cos 2 H | (^-)cos Z+ siri 2 Z tang H J . •

Substituant enfin dans l’équation H’ — H" — £ les valeurs qu’on vient de trouver pour II" et j 8 , on aura pour , la latitude du point B en fonction de celle de A et de l’azimut Z:

H'= H — ju"cosZ+|n" 2 sin l"sin 2 ZtangUj ( l+e 2 cos 2 H);

formule dans laquelle w" = rT^ïïTï“ ex P l ^ ,nc ' a valeur en secondes de la distance linéaire K.

La longitude P 1 se déduira de la relation

sin RCA

sin C A B

sin A B

sin CB

en y remplaçant les angles et les arcs par leurs valeurs ■données plus haut. On en tirera , en prenant les arcs P'- — P, u", pour leurs sinus, parce qu’ils sont toujours fort petits, et supposant de plus H" = H' :

DE GEODESIE.

. a siri 7.

cos II

Enfin l’équation

cot-

CAB ■+• CBA

i »>/-. » cos j (CB-t-CA) — tang T BC A ^rfcB^CA) ’

qu’on déduit de la troisième des analogies de Néper (page 1 0), servira à calculer l’azimut Z'. Elle devient par les substitutions , et en faisant toujours H" =11' :

cot|( Z'-Z) =tang {90*-| (Z'-Z) }= tang j- (P-P) ^^} ,

ou simplement, à cause de la petitesse des angles,

«r— HZ-zi-MP'-PI-Sjjië&j-;

d’où

sin 1(11+11')

' ) cos ; in— il ' 1

cos ± (H— n'j •

Cette équation fait connaître l’angle dièdre PDBA que forment les deux plans P BD, A BD, tandis que celui qu’il fallait réellement calculer est l’angle P D' B A compris entre les plans P BD', ABD'; mais, comme la différence qui existe entre eux est du troisième ordre et ne peut, par conséquent, être appréciable dans aucun cas, on s’en tient à la formule précédente, dans laquelle on suppose même toujours cos | (H — H' ) = 1, à cause de la petitesse de l’angle 7 (H — H').

109. Pour faire usage des trois équations qu’on vient de trouver , il faut préalablement connaître la longueur N de

la normale A D terminée au petit axe. Or l’abscisse A G est représentée par

x = N cos II ,

et l’ordonnée y a pour expression :

y= sous-normale H F x tang H= ^-x tang H , ou bien

7=(1— e 2 ) N sin H, .

en posant comme ci-dessus = e 2 , et remplaçant x

par sa valeur.

Ces expressions de a: et / étant substituées dans l’équation du méridien, qui est :

jy* —I— ( 1 -e 2 ) x 2 = a 2 ( 1 -e 2 ) ,

lorsqu’on met pour b 2 sa valeur en fonction de a 2 et de l’excentricité , donneront :

(1-e‘sin 1 H)«

110. Ainsi les formules qui résolvent complètement le problème dont nous nous occupons sont les quatre suivantes :

n" (l-«*«jn* H)1 K

a sin 1'

H'=H-ju"cosZ + (a" sin Z ) 2 tang H J(l+e 2 cos 2 H),

Z'= 180° -+- Z — sin | (H+H').

CONVERGENCE DES MERIDIENS.