COS X

d cA a dx

= sin X,

d x < cas * x

d arc sin ^

et que généralement

, xl «rc tang t

\ X —y I ” Tt

d (a-4-a?")’ = mn (a-t-x*)* 1 x* ' dx :

sin x — x "i « * -+ "ï » * â r etc. ,

COS X = l

— etc..

(a) ( tangx = i -+- -j-j -+- -,-5-3- -h etc.,

. >îd ’x 3 sin

arc x = sin x -H ri h k - r h etc..

tane ’i lang s *

arc x = ta,ng x jj — -h —

— etc.

6. Si l’arc x est donné en degrés, minutes ou secondes, il faudra le réduire préalablement en parties du rayon , afin de pouvoir l’introduire dans ces diverses formules. Pour faire ces transformations il faut connaître le nombre de degrés , minutes ou sefcondes que comprendrait le rayon R d’un cercle , si on le couchait sur la circonférence. Or puisque 2 it R = 360°, on aura, en représentant par R°, R', R", sa longueur en degrés , minutes ou secondes :

arel' sin l'

arc 1

sin 1 ”

parce que arc l' = sin 1', arc 1 " = sin 1" à fort peuprès; pour ce dernier cas la différence ne se fait sentir qu’à la dixseptième décimale.

Ainsi un arc exprimé en parties du rayon sera converti en secondes en le divisant par sin 1", et réciproquement un arc

exprimé en secondes sqra converti en parties du rayon en le multipliant par sin 1".

Le nombre constante, qui représente le rapport de la circonférence au diamètre, a pour valeur ir=. 3,14 159265..

et pour logarithme . . log tt=i 0,4971 4987..

D’après cela on a pour les logarithmes de R°, R', R":

log R° 1,758122652....

log R' = 5,556275883....

log R" = 5,314425133....

7. Les logarithmes hyperboliques ou népériens des quantités de la forme 1 -+-x, 1 — x, s’expriment aussi en séries au moyen de la formule ci-dessus , en y remplaçant successivement f[x ) par Log(l -t-x), Log(l — a:), et observant que généralement

rfLog(adhjr) | 1

d x àdtzx

Nous désignons ici par l’indice Log les logarithmes népé riens; l’indice log représentera les logarithmes vulgaires.

Si l’on effectue les diverses opérations que nous venons d’indiquer, on trouvera :

Log (1 -+- x) = x — y- 4 -, y — y etc ’ Log (l — x) =-x — y — y — t — e,c - L °g (t^t) = 2 (*-+- y -t- y •-*- y *t- etc.).

De cette dernière relation on tire , en posant x = — — 1

to ^=*1 (£3~t& - -t€=3V~.

• DE GEODESIE.

Mais on sait qii'èn général

Log népérien de çe nombre l Log népérien de 1 U *

log valgairc a un nombre =zl QU

( Lot] népérien de ce nombre x M ; par conséquent les logarithmes vulgaires des expressions précédentes seront donnés par les équations suivantes, dans lesquelles le module M a pour valeur :

et pour logarithme

log M = 9,65778451 15.... :

/l 0 g(l+x) = ML 0 g(l+x) = M(x-y + y-^ + -f....)

ll0g(l-x)=ML0g(l-x)=-M(x+y + y + y + y....)

( 1 lo 8({S) =ML °g(ïS) =2M (■ *+ y +y + )

( logi=MLogf= 2M[(^) + |(^)U(:-")V..

Si on prend les logarithmes de chacun des membres des équations (a') qui donnent la valeur du sinuls et du cosinus en fonction de l’arc, on aura :

log sin a; log x -h log ( 1 — Ç -4- ~—‘ctc.) ,

log cosx = mais puisque

t- log ( 1 — y.

lo g(l—

on pourra remplacer chacun des facteurs Log par sa valeur

en série, au moyen de la deuxième des équations (b') où Ton mettra successivement , au lieu de x :

on aura alors , après les réductions :

log sin x = log a; — M logcosx= — M (l+4 + -t)'

CONVERSION DES NOUVELLES MESURES CIRCULAIRES ET LINEAIRES EN ANCIENNES, ET RECIPROQUEMENT.