LIVRE DEUXIÈME

élevant les deux membres au carré , et mettant i — sin2 A' au lieu de cos2 A', il viendra

— 4 b2 c2 sin2 A ' — a* + b* c* — 2a2 b2 — 2 a2c2 — 2 b2c2 = N. L’équation (1) sera donc ramenée à la forme

cos A = cos A' — gp sin2 A'.

Soit A = A' -+- x\ on aura, en rejetant la seconde puissance de a:, cos A = cosA' — a: sin A7;

d’où l’on tire, après la substitution delà valeur de cos A,

Nous voyons par là que x est du second ordre par rapport à ^ et^; ainsi ce résultat est exact, aux quantités près du quatrième ordre. Donc , à cause de A = A'-l- x ,

A = A' 4- sin A';

mais \ bc sin A' est visiblement l’aire du triangle rectiligne dont a , ù, c sont les côtés, laquelle ne diffère pas sensiblement de celle du triangle sphérique proposé; donc si l’une ou l’autre aire est appelée s , on aura

et semblablement ,

d’où il résulte que

Ou peut donc considérer comme étant l’excès de la somme des trois

angles du triangle sphérique proposé sur deux angles droits, et l’on doit remarquer que dans tout ce calcul , les angles des deux triangles sont censés mesurés par des arcs de cercle dont le rayon est l’unité. Telle est la démonstration donnée par Lagrange , dans son excellent Mémoire sur la Trigonométrie sphérique (6e cahier du Journal de l’École Polytechnique ), et que Legendre a adoptée dans sa Trigonométrie. M. Gauss en a imaginé une autre fort élémentaire, que M. Liouville a publiée dans son Journal de Mathématiques pures et appliquées (tome VI, cahier de Juillet 1841).

h' excès sphérique e = qui est proportionnel à Taire du triangle,

peut toujours se calculer à priori , et cela en considérant le triangle sphérique proposé comme rectiligne. Si donc deux côtés b9 cet l’angle compris A sont donnés, on aura Taire s = ^ bc sin A. Si au contraire on connaît un côté a et les deux angles adjacents B, C, on aura Taire

s a* * ” , ainsique nous l’avons démontré (art. 53).

La remarque de l’art. 91 est encore applicable dans cette circonstance, où il s’agit d’avoir Y excès sphérique e en secondes; ainsi,

La valeur de s étant toujours d’un petit nombre de secondes, il s’ensuit que celle de Taire du triangle n’a pas besoin d’être déterminée avec une grande précision. Mais veut-on savoir ce qu’on néglige en calculant s par le procédé qu’on vient d’indiquer? on 11’aura qu’à développer en série l’expression

, u tang j a tang 7 b sin C

ar,§> 2 s ! l tang^- « tang! b cos C '

démontrée à l’art. 89, et Ton trouvera, par la méthode de l’art. 93,

= tang | a tang {b sin C — |-tang2^a tang2 \ b sin 2C

■+■ { tang3 1 a tang 3 -J- b sin 3C — etc. ;