CHAPITRE II

1)E LA MEILLEURE CONDITION DES TRIANGLES; DU CHOIX ET DE LA CONSTRUCTION DES SIGNAUX.

109. Nous avons déjà dit que les triangles d’un réseau de premier ordre doivent avoir de grandes dimensions ; mais la courbure de la Terre et la force des lunettes du cercle répétiteur fixent à cet égard une limite que l’on ne saurait franchir sans s’exposer à nuire à la précision qui résulte de l’emploi d’un bon instrument, quand les objets qu on observe sont bien distincts. Nous avons dit aussi que les triangles réunissent les conditions les meilleures, quand ils sont équilatéraux ou peu différents de cette forme; c’est ce que va prouver l’analyse suivante :

Soient, comme de coutume, A, B, C les angles, et a, b, c les côtés d’un triangle géodésique ; on aura

a sin B = b sin A;

et si l’on suppose que la base b ait été mesurée avec un soin tout particulier, Terreur sur cette mesure pourra être considérée comme nulle. La différentielle de cette équation , en y regardant b comme constant, sera donc simplement

et à cause de

da = d\

sin B

a cos B sin B

on aura

sin B sin A 1

da = a cot A.dA — a cotlk/B.

Dans cette formule différentielle , les variations dA , dB sont supposées positives : elles peuvent en général désigner les erreurs commises sur la mesure des angles A, B, erreurs supposées de quelques secondes seulement, et qui se composent de celles de l’instrument et du pointé. Si l’on admet qu’elles soient égales, et dans le même sens, on aura, pour l’erreur du côté cherché a ,

da = adk (cot A — cotB),

laquelle sera évidemment nulle si A = B.

Si au contraire on suppose que les erreurs dA , dB soient égales , mais de signes différents , on aura

da = db adA (cot A cot B) ;

et puisque, d’après l’art. 45,

cot A -fil s’ensuit que

cotA -+- cot B = s iniA + B) = - —

sinAsinB |cos(A — B) — j cos (A -4- B;

da = ±. adA .

2sinC

cos (A — B) -h cosC’

l’erreur da sera donc la plus petite possible , lorsqu’on aura .

cos (A — B) = i , ou A = B.

Il résulte de ces deux hypothèses , que la condition la plus avantageuse est en effet que les deux côtés cherchés d’un triangle soient chacun égaux à la base mesurée.

Dans la pratique , il est impossible de satisfaire complètement à cette règle ; mais en formant des triangles dont les côtés diffèrent peu entre eux , les erreurs des observations angulaires auront très-peu d’influence sur les côtés calculés. En général , il ne faut admettre aucun angle audessous du tiers d’un angle droit , à moins que les localités ne forcent à s’écarter de ce précepte. D’ailleurs on se procure par là un autre avantage; c’est qu’un angle de cette grandeur s’observe avec le cercle de Borda plus facilement que s’il était plus petit.

La formule fondamentale a = étant différentiée par rapport à