LIVRE TROISIÈME. ao

mites, en divisant 9", 1 8 par 60 , et il vient . 9i°3o', 1 53

on réduit les minutes en fractions décimales de degrés,

en divisant de meme par 60, et l’on trouve . 9i°,5o255

on ajoute le neuvième . 10 , 16695

et l’on a en grades . . . ioig, 66950

Ces deux règles sont évidemment fondées sur ce que le grade est au degré dans le rapport de 10 à 9. Les Tables trigonomé triques décimales de Borda sont terminées par une table de conversion de ce genre, qui n’exige que de simples additions.

Lorsque les distances zénithales doivent être employées, comme dans l’exemple précédent, pour réduire les angles à l’horizon, il est nécessaire quelles soient observées avant, ou immédiatement après ces derniers, afin qu’ elles se rapportent autant que possible aux memes circonstances atmosphériques , quoiqu’une erreur de plusieurs secondes soit à cet égard de peu d’importance.

On conçoit aisément que lorsque les trois angles d’un triangle sont réduits à l’horizon, ils représentent ceux d’un triangle sphérique dont les cotes sont compris entre les verticales des trois signaux observés, si toutefois les observations ont été faites dans l’axe même de ces signaux; autrement il faudrait réduire les angles horizontaux aux centres des stations, afin qu’ils jouissent de cette propriété; c’est ce que nous enseignerons bientôt.

Réduction des angles horizotitauæ aux angles des cordes.

130. Il est peu de praticiens qui, à l’exemple de Delambre, réduisent les triangles sphériques aux triangles rectilignes formés par les trois cordes , pour déterminer, par le moyen de ceux-ci , les distances respectives des objets. Cette méthode, qui a tout le degré d’exactitude que l’on peut désirer, mais qui est trop longue, exige que l’on réduise d’abord les angles horizontaux aux angles des cordes, et que l’on substitue ensuite à la ligne géodèsique , prise pour base, la distance rectiligne qui joint ses extrémités (art. 108). De ces deux problèmes, le premier est le seul qui nous intéresse pour le moment , et se trouve résolu à l’art. 64 : car soit le triangle sphérique ABC (Jig- 20) qu’il faille

réduire au triangle rectiligne A'B'C'; s i a, b, c sont les côtés du premier, opposés aux angles A, B, C, et a', b ', c’ les côtés du second, opposés aux angles A , B , C'; que du point C, comme centre, on décrive avec un rayon = i, les arcs s'a', z' { 3', a'j3', et qu’on rnene aux arcs £, a les tangentes ou les horizontales CT, CT'; l’angle de dépression T 'CB, formé par une corde et une tangente, aura pour mesure \a, ou la moitié de l’arc connu AC. De même l’angle de dépression TCA sera = {b.

Cela posé , l’arc z' fi' = i oo« - | a , l’arc s' a ' = i oo* - ± b , et l’angle horizontal TCT' est donné; ainsi dans le triangle sphérique s'a'] S', on connaîtra deux côtés et l’angle compris : reste donc à trouver le troisième côté a'/3', ou l’angle C' qui est l’angle horizontal réduit à l’angle des cordes. Mais sans faire usage de la formule de l’art. 64, laquelle serait d’ailleurs peu propre à donner l’angle cherché avec précision, 'u a petitesse de a et de b , il est clair que la question à résoudre est précisément l’inverse de la précédente. Si donc on dénote par « la ré- < uction cherchée , et par C l’angle horizontal connu , on aura fart. 96 ) ,

et à cause de — a = - , — R = ~

w = ~ T ( * a ) tang^Csin 1" ’ -f- { cot^CsinV)

fornnile dans laquelle a et b sont toujours de même signe. Pour en faire l’application, il faut commencer par calculer approximativement les cotés des triangles considérés comme rectilignes, en supposant que les observations ont été faites aux centres des signaux, ensuite convertir les cotés a et b en minutes centésimales.

Si, pour se conformer aux notations ultérieures, on désigne a par K, et ^ par K', et qu’on représente par G la longueur du grade moyen pour le heu où l’on opère; ces arcs seront convertis en minutes centésimales , par ces formules

Mais cette conversion, pour l’objet qu on se propose, sera suffisam